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1、物体的动态平衡问题解题技巧 湖北省恩施高中 陈恩谱 一、总论 1、动态平衡问题的产生三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化， 但物体仍然平衡，典型关键词缓慢转动、缓慢移动 2、动态平衡问题的解法解析法、图解法 解析法画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式， 然后由角度变化分析判断力的变化规律； 图解法画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型 的不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。 3、动态平衡问题的分类动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2 类） 、其他特殊类

2、型 二、例析 1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定 动态三角形 【例 1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为 FN1，球对木板的压力 大小为 FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不 计摩擦，在此过程中 AF N1 始终减小，F N2 始终增大 BF N1 始终减小，F N2 始终减小 CF N1 先增大后减小，F N2 始终减小 DF N1 先增大后减小，F N2 先减小后增大 解法一：解析法画受力分析图，正交分解列方程，解出 FN1、F N2 随夹角变化的函数，然后由

3、函 数讨论； 【解析】小球受力如图，由平衡条件，有 0sin2Nmg0cos1N2F 联立，解得： ，sin2NFtan1Nmg 木板在顺时针放平过程中， 角一直在增大，可知 FN1、FN2 都一直在减 小。选 B。 解法二：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小 球重力和 FN1 的方向，然后按 FN2 方向变化规律转动 FN2，即可看出结果。 【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成 如右图所示闭合三角形，其中重力 mg 保持不变，F N1 的方向始终水平向右，而 FN2 的方向逐渐变得竖直。 则由右图可知 FN1、FN2

4、 都一直在减小。 【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为 (01)。现对木箱施加一拉力 F， 使木箱做匀速直线运动。设 F 的方向与水平地面的夹角为 ，如图所示，在 从 0 逐渐增大到 90的过程 中，木箱的速度保持不变，则 AF 先减小后增大 BF 一直增大 CF 一直减小 DF 先增大后减小 解法一：解析法画受力分析图，正交分解列方程，解出 F 随夹角 变化的函数，然后由函数讨 FN2mg FN1 FN1 FN2 mg 论； 【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有 0sinNmgF0cosfF 其中 Nf 联立，解得： sinco 由数学知识可知 ，其中)c(12g1tan

5、当 时，F 最小，则 从 0 逐渐增大到 90的过程中，Farct 先减小后增大。选 A。 解法二：图解法可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方 向是确定的，然后按“动态三角形法”的思路分析。 【解析】小球受力如图，将支持力 FN 和滑动摩擦力 Ff 合成为一个力 F 合 ， 由 可知， 。NfFtan 由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右 图 所示闭合三 角形，其中重力 mg 保持不变，F 合 的方向始终与竖直方向成 角。 则由右图可知，当 从 0 逐渐增大到 90的过程中， F 先减小后增大。 2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均

6、与一个几何三 角形的三边平行相似三角形 【例 2】半径为 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小R 滑轮，滑轮到球面 的距离为 ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的 点，Bh A 另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小 球由 到 的过程中，半球对小球的支持力 和绳对小球的拉力 的大小变化ANFTF 的情况是 A、 变大， 变小 B、 变小， 变大NFT C、 变小， 先变小后变大 D、 不变， 变小NT 解法一：解析法（略） 解法二：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个力的三角形，发现这个力 的三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角

7、形对应边长比边长，三边比 值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。 【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形 成如右图所示闭合三角形。很容易 发现， 这三个力与 的三边始终平行，OA 即力的三角形与几何三角形 相似。 则有。OALFRhmgTN 其中，mg、R、h 均不变，L 逐渐减小，则由上式可知， 不变，N 变 小。TF 3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定 圆与三角形 【例 3】在共点力的合成实验中，如图，用 A，B 两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置 O，这 FN F mg Ff F

8、N F mg Ff F 合 F F 合 mg FN mg Ff FN mg Ff O O FT2 mg FT1 时两绳套 AO，BO 的夹角小于 90，现在保持弹簧秤 A 的示数不变而改变其拉力方向使 角变小，那么 要使结点仍在位置 O，就应该调整弹簧秤 B 的拉力的大小及 角，则下列调整方法中可行的是 A、增大 B 的拉力，增大 角 B、增大 B 的拉力， 角不变 C、增大 B 的拉力，减小 角 D、B 的拉力大小不变，增大 角 解法一：解析法（略） 解法二：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨 论变化”保持长度不变 FA将 FA绕橡皮条拉力 F 端点转动形成一个圆弧，

9、 FB的一 个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结果。 【解析】如右图，由于两绳套 AO、BO 的夹角小于 90，在力的三角形中，F A、FB 的顶角为钝角，当顺时针转动时 ，FA、FB 的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。 由图可知，这个过程中 FB一直增大， 但 角先减小，再增大。故 选 ABC。 4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持 不变圆与三角形（正弦定理） 【例 4】如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角 =120不 变，若把整个装置顺时针缓慢转过 90，则在转动过程中，CA 绳的拉力 FT1，CB 绳的拉力 FT2

10、 的大小变化情况是 A、F T1 先变小后变大 B、F T1 先变大后变小 C、F T2 一直变小 D、F T2 最终变为零 解法一：解析法 1让整个装置顺时针转过一个角度 ，画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条 件列方程，解出 FT1、F T2 随 变化的关系式，然后根据的变化求解。 【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如 图所示，设 AC 绳与竖 直方向 夹角为 ，则由平衡条件，有 0)cos(s2T1T mgini 联立，解得 ，si)(1TmgFsin2TF 从 90逐渐减小为 0，则由上式可知：F T1 先变大后变小，F T2 一直变小。 解法二：解析法 2画受力分析图，构

11、建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变， FT1、 FT2 的夹角 (180 )保持不变，设另外两个夹角分别为 、，写出这个三角形的正弦定理方程，即 可根据 、 的变化规律得到 FT1、F T2 的变化规律。 【解析】如图，由正弦定理有 T12sin()siinmg 整个装置顺时针缓慢转动 90过程的中 角和 mg 保持 不变， 角从 30增大， 角从 90减小，易知 FT1 先变大后 变小，F T2 一直变小。 解法三：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力不变，另两个力 的夹角(180 )保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形 的外接圆（

12、任意两边的中垂线交点即外接圆圆心） ，然后让另两个力的交点在圆周上 按 FT1、 FT2 的方向变化规律滑动，即可看出结果。 【解析】如右图，力的三角形的外接 圆正好是以初态时的 FT2为直径的圆周，易知 F FB FA oABB A O F FBFA FT2 mg FT1 mg FT1 FT2 mg FT1 FT2 FT1 先 变 大到最大为圆周直径，然后变小， FT2 一直变小。答案为：BCD 5、其他类型 【例 5】如图所示用钢筋弯成的支架，水平虚线 MN 的上端是半圆形，MN 的下端笔直竖立一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物 G现将轻绳的一端 固定于支架上的 A 点，另一端从 C 点

13、处沿支架缓慢地向最高点 B 靠近（C 点与 A 点等高），则绳中拉力 A先变大后不变 B先不变后变大 C先不变后变小 D保持不变 解法一：解析法分两个阶段画受力分析图，绳端在 CN 段、NB 段，在 CN 段，正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相同，再由几何关系 易知这个夹角保持不变，则易看出结果；在 NB 段，左右两侧绳与水平方向夹角 也相同，但这个夹角逐渐增大，由方程易看出结果。 （解析略） 解法二：图解法画滑轮受力分析图，构建力的三角形，如前所述分析夹角变化规律，可知这是 一个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定，则易由图看出力 的变化规律。 【解析】如右图，滑轮受力如图 所

14、示，将三个力按 顺序首尾相接， 形成一个等腰三角形。 由实际过程可知，这个力的三角形的 顶角先保持不变，然后增大， 则绳中张力先保持不变，后逐 渐减小。 选 C。 三、练习 1、如图 1 所示，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地 移动挡板，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止) ，挡板对小球的推力 F、半球 面对小球的支持力 FN 的变化情况是（ ） AF 增大，F N 减小 BF 增大，F N 增大 CF 减小，F N 减小 DF 减小，F N 增大 【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三

15、角形，其 中重力 mg 保持不变，F 的方向始终水平向左，而 FN 的方向逐渐变得水平。 则由上图可知 F、FN 都一直在增大。 故 B 正确 2、如图 2 所示是一个简易起吊设施的示意图，AC 是质量不计的撑杆，A 端与竖直墙用铰链连接，一 滑轮固定在 A 点正上方，C 端吊一重物。现施加一拉力 F 缓慢将重物 P 向上拉，在 AC 杆达到竖直前（ ） ABC 绳中的拉力 FT 越来越大 BBC 绳中的拉力 FT 越来越小 CAC 杆中的支撑力 FN 越来越大 DAC 杆中的支撑力 FN 越来越小 A C M N B G FT=G F1 F2 FT=G F1 F2 mg FN FN mg F

16、 F FT1=G FNF T FT1=G 【解析】C 点受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很容易 发现，这三个力与 的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形 相似。 则有。ABC ABCFACBGTN 其中，G、AC 、AB 均不变，BC 逐渐减小， 则由上式可知， 不变， 变小。B 正确 3、质量为 M、倾角为 的斜面体在水平地面上，质量为 m 的小木块（可视为质点）放在斜面上， 现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力 F 作用于小木块，拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一 周的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是（ ） A小木块受

17、到斜面的最大摩擦力为 22)sin(g B小木块受到斜面的最大摩擦力为 F-mgsin C斜面体受到地面的最大摩擦力为 F D斜面体受到地面的最大摩擦力为 Fcos 【解析】对小木块受力分析可得斜面上的受力如图所示，由于小木块始终静止则重力沿斜面向下的分 量 mgsin 始终 不变，其与 F 和 Ff 构成一个封闭的三角形，当 F 方向变化时可知当 F 与 mgsin 方向相反时 Ff 最大，其 值为 F+mgsin。对于 C，D 选项一斜面和小木块为整体进行研究，当力 F 水平向左时摩擦力最 大值为 F。故 C 正确。 4、如图所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球，O 为圆心对圆弧面的

18、压力最小的是 Aa 球 Bb 球 Cc 球 Dd 球 【解析】小球受力分析如图所示，其中小球重力相同，F N1 方向始终指向圆心，F N2 方向始终垂直于 FN1， 这三个力构成一个封闭的三角形如乙图所示，从 a 位置到 d 位置 FN1 与竖直方向夹角在变小，做出里的 动 态三角形，易得 a 球对圆弧面的 压力最小。 A 正确。 5、目前，我市每个社区均已配备了公共体育健身器材如图所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座 椅悬挂在竖直支架上等高的两点由于长期使用，导致两根支架向内发生了稍小倾斜，如图中虚线所示， 但两悬挂点仍等高座椅静止时用 F 表示所受合力的大小，F 1 表示单根轻绳对座椅拉

19、力的大小，与倾斜 前相比（ ） AF 不变，F 1 变小 BF 不变，F 1 变大 CF 变小，F 1 变小 DF 变大，F 1 变大 【解析】座椅受力如图所示，将三个力按 顺序首尾相接，形成一个封闭的三角形如图。两根支架向内发 F mgsinFf mgsin Ff G F1 F1 G F1 F1 mg FN1 FN2 mg FN1 FN2 生了稍小倾斜，则这个力的三角形的 顶角变小，从 图中可以得到 则绳中张力 F1 逐渐减小，由于座椅仍静止 所受合力 F 始终为零。选 A。 6、如图所示，在倾角为 的固定粗糙斜面上，一个质量为 m 的物体被水平力 F 推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦

20、因数为 ，且 tan ，求力 F 的取 值范围。 【解析】物体受力如图所示，将静摩擦力 Ff 和弹力 FN 合成 为一个力 F 合 ，则 F 合 的方向允许在 FN 两侧最 大偏角为 的范围内，其中 。将这三个力按tan 顺序首尾相接，形成如图所示三角形，图中虚线即为 F 合 的方向允许的变化范围。 由图可知： )ta()t(mgFmg 即： sincoisincoi 7、如图所示，在倾角为 的固定粗糙斜面上，一个质量为 m 的物体在拉力 F 的作用下沿斜面向上做匀加 速直线运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为 ，为使物体加速度大小为 a，试求力 F 的最小值及其对 应的方向。 【解析】物体受

21、力如图，将支持力 FN 和滑动摩擦力 Ff 合成为一个力 F 合 ，由 可知，Nf 。tan 将三个力按顺序首尾相接，与三者的合力形成如图所示四 边形，其中 mg、ma 不变， F 合 的方向不变。 当 F 取不同方向时，F 的大小也不同，当 F 与 F 合 垂直时，F 取最小值。 由几何关系，得： ，解得：cos)sin(minmag 2min1)sinco(mag 8、如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力) ，盘面与水平面的夹角为 3

22、0，g 取 10 32 m/s2。则 的最大值是 A rad/s B rad/s5 3 C1.0 rad/s D5 rad/s 【解析】垂直圆盘向下看，物体受力如 图所示，静摩擦力 Ff 和重力沿圆盘向 下的分力 mgsin30的合力即向心力 ma。将这两个力按顺序首尾相接，与它们的合力 ma 形成闭合三角形， 其中 mgsin30保持不变、ma 大小不变，静摩擦力 。30cosfmg 由图易知，当小物体转到最低点 时，静摩擦最大，为 ，解得30cosin2f mgr 。故选 C。rad/s0.1 F a mg F F 合maF N mg Ff F 合 F mgsin30Ff ma mgsin30 Ff ma FN mg Ff F 合 F F F 合 mg mg F F 合ma +