1、1 高一数学必修 5 第一章解三角形教学设计 教学过程 理解定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siniabABsincC （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正 数 k 使 ， ， ；sinaibkick （2） 等价于 ， ，iiABsiCsiniabsinicbBsinaAicC 从而知正弦定理的基本作用为： 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；ia 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siniaABb 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
2、例题分析 例题 .在 中,已知 , , B=450.求 A、C 和 c.ABC3a2b 解: 且 A 有两解.0459b 由正弦定理,得 345sinsiin0B00126A或 1) 当 A=600时,C=180 0-A-B=750, 0i2si72sbCc 2) 当 A=1200时,C=180 0-A-B=150, 0ini1564B 练习：1) 求 B、C、b.,32,45,6,aAcBC中 2) 求 B、C、b.0A中 3）已知 ABC 中， ，求sin:isi1:abc 小结（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式： ；iiabinc0isinikA 或 ， ，sikAsikBikC(
3、) （2）正弦定理的应用范围： 已知两角和任一边，求其它两边及一角； 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 2 课题: 1.1.2 余弦定理 授课类型：新授课 理解定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍。即 22cosabA22cosbaB22cosabC 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求 出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： ， ， 22cosbaAc22cosabBc22cosbacC 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就
4、可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边 平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若 ABC 中，C= ，则 ，这时09cosC22cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析 例 1在 ABC 中，已知 ， ， ，求 b 及 A23a62c0B 解： = cos2osbc2()3(62)045 = = (6)418. 求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：A 解法一：cos 22222()6)(1,cab 06.A 解法二：sin 03
5、sinsi45,B 又 62.41.8,21.836, ，即 ac0A090A 评述：解法二应注意确定 A 的取值范围。 练习：在 ABC 中，若 ，求角 A（答案：A=120 ）22abc0 小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。 课题: 113 解三角形的进一步讨论 授课类型：新授课 教学过程 探索研究 例 1在 ABC 中，已知 ，讨论三角形解的情况,abA 分析：先由 可进一步求出 B；则 ，从而siniB018()CABsinaCcA 1当 A 为钝角或直角时，必须
6、 才能有且只有一解；否则无解。 3 2当 A 为锐角时， 如果 ，那么只有一解；ab 如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若 ，则有两解；（2）若 ，则只有一解；（3）若 ，则无解。sinsinabAsinabA （以上解答过程详见课本第 9-10 页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。sinbAa 练习: （1）在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。80a1b045A （2）在 ABC 中，若 ， ， ，则符合题意的 b 的值有_个。2cC （3）在 ABC 中， ， ， ，如
7、果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值xm0B 范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3） ）2x 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例 2根据所给条件,判断 的形状.ABC 1）在 ABC 中，已知 ， ， 。2） 3）7a5b3c;cosBbAacBbAaoscos 分析：由余弦定理可知 22是 直 角 是 直 角 三 角 形是 钝 角 是 钝 角 三 角 形是 锐 角abcC是 锐 角 三 角 形 （注意： ）是 锐 角AB是 锐 角 三 角 形 1）解： ，即 ， 。227532是 钝 角 三 角 形 2）解: 解法一(化边) 由余弦定理得 )2()(cos22acbb
8、cababa , 04242c 0 或 或 0222 故 是直角三角形或等腰三角形ABC 解法二(化角)由 可得;cosBba BRARcosincosin 即 或 即 或 A+B=9002sini 2,180 故 是直角三角形或等腰三角形 3）解：(化角)解法一: 由正弦定理得 , Casinbsin 代入已知等式得 , cBcCAcoosino CBAcosinsi 即 Btattan),0(, 4 故 是等边三角形CBAA (化边)解法二:由已知等式得 CRBRcosin2sicosin2 即 tanttan),0(,C 故 是等边三角形 练习： 1）在 ABC 中，已知 ，判断 ABC
9、 的类型。si:isin1:23AB 2）在 ABC 中， ， ， ，判断 ABC 的形状。06abc 3）判断满足下列条件的三角形形状， sinC = BAcosini 提示：利用正弦定理或余弦定理， “化边为角”或“化角为边” 三角形面积公式，S= absinC， S= bcsinA, S= acsinB212121 例 3、在 ABC 中，求证：（1）;sinCcba （2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC）a2bc 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦 定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k
10、显然 k 0，所以AasinBbiCcsin 左边= = =右边BA2 22isnCBA2sin （2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bc +ca +ab )bca2cab 2abc =(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )=a +b +c =左边2 2 变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30 ,b=6,c=6 ,求 a 及 ABC 的面积3 例 4在 ABC 中， ， ，面积为 ，求 的值06A1sinisincABC 分析：可利用三角形面积定理 以及正弦定理1sin22SabCcbsiniabBiciiiAB 解：由 得 ，则 =3，即 ，132SA22osa 从而 iisinia 练习： （1）在 ABC 中，若 ， ，且此三角形的面积 ，求角 C516b203S （2）在 ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积 ，求角 C 24abc （答案：（1） 或 ；（2） ）060 5 小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简 并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可 以两者混用。 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。
