1、1 第 3 章 平面与空间直线 3.1 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点 和点 且平行于矢量 的平面（2）通过点)1,3(M)0,1(2 ,01 和 且垂直于 坐标面的平面；),5(2xoy （3）已知四点 ， ， 。求通过直线 AB 且平行于直线),(A),6(B)4,5(C)6,(D CD 的平面，并求通过直线 AB 且与 平面垂直的平面。A 解： （1） ，又矢量 平行于所求平面，1,221M2,01 故所求的平面方程为： vuzyx213 一般方程为： 0734zx （2）由于平面垂直于 面，所以它平行于 轴，即 与所求的平面平行，又oyz1,0
2、，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：,71Mvuzyx3152 一般方程为： ，即 。0)(2)(7yx 0172yx （3） （）设平面 通过直线 AB，且平行于直线 CD： ，1,54AB,CD 从而 的参数方程为： vuzyx23 一般方程为： 。0745910zx （）设平面 通过直线 AB，且垂直于 所在的平面 ABC ， 1,AB 1,4,1,0,54 2 均与 平行，所以 的参数式方程为：vuzyx3514 一般方程为： .022x 2.化一般方程为截距式与参数式： .4:zyx 解： 与三个坐标轴的交点为： ，)4,0(,2()0,( 所以，它的截距式方程为： .1
3、4zyx 又与所给平面方程平行的矢量为： ，, 所求平面的参数式方程为：vzuyx24 3.证明矢量 平行与平面 的充要条件为：,ZYX0DCzByAx .0CBA 证明： 不妨设 ， 则平面 的参数式方程为：DzyxvzuvACB 故其方位矢量为： ，1,0, 从而 平行于平面 的充要条件为：vDCzByAx ， 共面1,0, 3 01ACBZYX .ZYA 4.已知：连接两点 的线段平行于平面 ，求 里),20(),5,3(zB0147zyxB 的坐标 .z 解： , 而 平行于AB0147zyx 由题 3 知： )5(2)( 从而 .18z 3.2 平面与点的相关位置 1.计算下列点和平
4、面间的离差和距离： （1） ， ；)3,42(M:032zyx （2） ， .45 解： 将 的方程法式化，得： ，0132zyx 故离差为： ，314)()( M 到 的距离.d （2）类似（1） ，可求得 ，0354356)( 到 的距离M.)(d 2.求下列各点的坐标： （1）在 轴上且到平面 的距离等于 4 个单位的点；y022zy 4 （2）在 轴上且到点 与到平面 距离相等的点；z)0,21(M09623zyx （3）在 x 轴上且到平面 和 距离相等的点。0156zyx 1 解：（1）设要求的点为 则由题意),(0492y 或 7.610y50 即所求的点为（0，-5，0）及（
5、0，7，0） 。 （2）设所求的点为 则由题意知：),(z7962100z 由此， 或-82/13。0z 故，要求的点为 及 。)2,()138,0( （3）设所求的点为 ，由题意知：0x3250x 由此解得： 或 11/43。20x 所求点即（2，0，0）及（11/43 ，0，0） 。 3.已知四面体的四个顶点为 ，计算从顶点 向底)4,1(),5,2()3,5()4,6( CBAS S 面 ABC 所引的高。 解：地面 ABC 的方程为： 02zyx 所以，高 。3546h 4.求中心在 且与平面 相切的球面方程。)2,3(C01zyx 解：球面的半径为 C 到平面 ： 的距离，它为：3
6、5 ，1428146532R 所以，要求的球面的方程为： .56)()5()3( 222zyx 即： .01840622zyx 3.3 两平面的相关位置 1.判别下列各对直线的相关位置： （1） 与 ；0142zyx 032zyx （2） 与 ；51 （3） 与 。6zyx 969zyx 解：（1） ， （1）中的两平面平行（不重合） ；)(:241)(: （2） ， （2）中两平面相交；3 （3） ， （3）中两平面平行（不重合） 。)6(:9)(:6 2.分别在下列条件下确定 的值：nml, （1）使 和 表08)3()1()3( zyxl 016)3()9()3( zlynxm 示同一平
7、面； （2）使 与 表示二平行平面；05z26ylx （3）使 与 表示二互相垂直的平面。13ylx07z 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则： 168391lnml 即： 0927nll 从而： ， ， 。97l13m （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则： 6 632ml 所以： ， 。4l3 （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则： 07l 所以： 。1l 3.求下列两平行平面间的距离： （1） ， ；021849zyx 04289zyx （2） ， 。763163 解：（1）将所给的方程化为： 0281429zyx 所以两平面间的距离为：2-1=1。 （2）同（1）可求得
8、两平行平面间的距离为 1+2=3。 4.求下列个组平面成的角： （1） ， ；0yx83x （2） ， 。126z072zy 解：（1）设 ： ， ：yx83x 2),cos(21 或 。4,213 （2）设 ： ， ：1063zyx207zyx 1837),cos(2 或 。1812cos),(12 3.4 空间直线的方程 7 1.求下列各直线的方程： （1）通过点 和点 的直线；)1,03(A)1,52(B （2）通过点 且平行于两相交平面 ：zyxMi0iiii DzCyx 的直线；),1(i （3）通过点 且与 三轴分别成 的直线；)3,5(zyx, 12,456 （4）通过点 且与两
9、直线 和 垂直的直线；20M1zy01zyx （5）通过点 且与平面 垂直的直线。),( 03x 解：（1）由本节（3.46）式，得所求的直线方程为： 52zy 即： ，亦即 。0153zyx 013x （2）欲求直线的方向矢量为： 212121,BACB 所以，直线方程为： 。210210210zyx （3）欲求的直线的方向矢量为： ， 21,0cos,45,60cos 故直线方程为： 。13251zyx （）欲求直线的方向矢量为： ，2,10, 所以，直线方程为： 。21zyx （）欲求的直线的方向矢量为： ，5,36 所以直线方程为： 。2zyx 8 .求以下各点的坐标： （）在直线 上
10、与原点相距个单位的点；3812zyx （）关于直线 与点 对称的点。024z)1,(P 解：（）设所求的点为 ，则：),(yxMtzt3821 又 225zyx 即： ，25)()8()1(ttt 解得： 或476 所以要求的点的坐标为： 。)7130,6(),201,9( （）已知直线的方向矢量为： ，或为 ，,241,2 过 垂直与已知直线的平面为： ，P 0)1()(zyx 即 ，032zyx 该平面与已知直线的交点为 ，所以若令 为 P 的对称点，则：)3,1(),(zyx ， ，2x021 ，7,0zyx 即 。)7,2(P .求下列各平面的方程： （）通过点 ，且又通过直线 的平面
11、；)1,0(p 3212zyx （）通过直线 且与直线532zyx052zyx 平行的平面； 9 （）通过直线 且与平面 垂直的平面；2321zyx 0523zyx （）通过直线 向三坐标面所引的三个射影平面。04985z 解：（）因为所求的平面过点 和 ，且它平行于矢量 ，所以)1,2(p)2,0( 3,12 要求的平面方程为： 302zyx 即 。15zyx （）已知直线的方向矢量为 ，5,31,21, 平面方程为：05312zyx 即 0521zyx （）要求平面的法矢量为 ，13,8,2, 平面的方程为： ，0)(13)(8)1(zyx 即 。0938zyx （4）由已知方程 0142
12、95zyx 分别消去 ， ， 得到： ， ，3167x0641yx 此即为三个射影平面的方程。 4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦： （1） （2）03231zyx 064zyx （3） 10 解：（1）直线的方向数为： )5(:132:31: 射影式方程为： ，59123zyx 即 ， 59123zyx 标准方程为： ，zyx13 方向余弦为： ， ，35cos351cos 。51cs （2）已知直线的方向数为： ，)4(:3201:40 射影式方程为： ， 41832zyx 即 2946zyx 标准方程为： ，zyx431 方向余弦为： ， ，14cos4
13、13cos 11 。41cos （3）已知直线的方向数为： ，1:0)(:10:0: 射影式方程为： ，2zyx 标准式方程为： ，10 方向余弦为： ， ， 。cos2cs21cos 3.5 直线与平面的相关位置 1.判别下列直线与平面的相关位置： （1） 与 ；3742zyx32zyx （2） 与 ；387 （3） 与 ；0155zyx 074zyx （4） 与 。492tzt 173z 解：（1） ，0)2(3)()( 而 ， ，17023 所以，直线与平面平行。 （2） )( 所以，直线与平面相交，且因为 ，723 直线与平面垂直。 （3）直线的方向矢量为： ，1,95,5 ，0179
14、354 12 而点 在直线上，又 ，)0,52(M07)5(3)2(4 所以，直线在平面上。 （4）直线的方向矢量为 ，9,1 07)2(13 直线与平面相交。 2.试验证直线 ： 与平面 ： 相交，并求出它的交点l211zyx032zyx 和交角。 解： 03)(2 直线与平面相交。 又直线的坐标式参数方程为： tzytx21 设交点处对应的参数为 ，0t03)()1()20t ， 从而交点为（1，0，-1） 。 又设直线 与平面 的交角为 ，则：l ，2161)(2sin 。 3.确定 的值，使：ml, （1）直线 与平面 平行；1324zyx0153zylx （2）直线 与平面 垂直。
15、5tzt 76ml 解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须： 01534l 即 。l 13 （2）欲使所给直线与平面垂直，则须： 3642ml 所以： 。8,4ml 4.决定直线 和平面 的相02211zCyBxA 0)()()( 212121 zCyBxA 互位置。 解：在直线上任取 ，有：),(11M01212zCyBxA )()()(121xA 这表明 在平面上，所以已给的直线处在已给的平面上。M 3.6 空间直线的相关位置 1.直线方程 的系数满足什么条件才能使：02211DzCyBxA （1）直线与 轴相交； （2）直线与 轴平行； （3）直线与 轴重合。xx 解：（1）所给直线与
16、轴相交 使0 且10x2A 且 ， 不全为零。21DA12 （2） 轴与平面 平行x011DzCyBx 01 A 又 轴与平面 平行，所以x22zyxA 1CB0 即 ，但直线不与 轴重合，02x 14 不全为零。21,D （3）参照（2）有 ，且 。021A021D 2.确定 值使下列两直线相交： （1） 与 轴；01546zyxz （2） 与 。2zyx1 解：（1）若所给直线相交，则有（类似题 1）： 0562 从而 。5 （2）若所给二直线相交，则 0121 从而： 。45 3.判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果 是异面直线，求出它们之间的距离
17、。 （1） 与 ；0623yxz0142zxy （2） 与 ；31867z （3） 与 。 2tzytx524zyx 解：（1）将所给的直线方程化为标准式，为： 432zyx7 （-2）：3：4=2 ：（-3）：（-4） 二直线平行。 15 又点 与点（7，2，0）在二直线上，),43( 矢量 平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量为：0,451, ，9,20,4521,3 从而平面方程为： ，0)(1)()7( zyx 即 。0915zyx （2）因为 ，027423168 二直线是异面的。 二直线的距离： 。302731562704,31,256 d （3）因为 ，05743 但是：1：
18、2：（-1）4：7：（ -5） 所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为 ，1,35,7412, 平面的方程为： 。3zyx 4.给定两异面直线： 与 ，试求它们的公垂线方程。01210zyx 解：因为 ，,1,0, 公垂线方程为： 0121123zyxz 16 即 ，02285zyx 亦即 。1 3.7 空间直线与点的相关位置 1.直线 通过原点的条件是什么？02211DzCyBxA 解：已知直线通过原点 022211DCBA021D 故条件为 。21 2.求点 到直线 的距离。),3(p017233zyx 解：直线的标准方程为： 5 所以，p 到直线的距离为： 。153420)2(1
19、1394232 d 3.8 平面束 1.求通过平面 和 的交线且满足下列条件之一的平面：0134zyx025zyx （1）通过原点； （2）与 轴平行； 17 （3）与平面 垂直。0352zyx 解：（1）设所求的平面为： 0)25()14( zyxzyx 欲使平面通过原点，则须： ，即 ，21 故所求的平面方程为： 0)25()34( zyxzyx 即： 。0539zyx （2）同（1）中所设，可求出 。51 故所求的平面方程为： 0)2()34( zyxzyx 即： 。03zx （3）如（1）所设，欲使所求平面与平面 垂直，则须：3520)()1()4(2 从而： ， 所以所求平面方程为：
20、 。057yx 2.求平面束 ，在 两轴上截距相等的平面。)42()3(zyxyx, 解：所给的方程截距式为： 1253145y 据要求： 。 所以，所求的平面为： 。012zyx 3.求通过直线 且与平面 成 角的平面。45zx 01284zyx4 解：设所求的平面为： )()(zy 则： 2)8(41)()5( 2222 18 从而 ， 或1:03:4 所以所求平面为： 0zx 或 。127y 4.求通过直线 且与点 的距离等于 3 的平面。301),4(p 解：直线的一般方程为： 02zyx 设所求的平面的方程为 ，)3()1(z 据要求，有： 349242 有0815)13(922 或:6: 即所求平面为： )2()zyx 或 0381( 即： 或 。04236zyx 1964zyx
