1、1 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 江西省萍乡市上栗中学 彭俊昌 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到 洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综 合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。但无论这类问题情景多么新 颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了 带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。 一、对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出 射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向
2、与边界的夹角相等（如图 1）； 带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过 圆心（如图 2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关 系。 例 1如图 3 所示，直线 MN 上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场。正、负电子同时从同 一点 O 以与 MN 成 30角的同样速度 v 射入磁场（电子质量为 m，电荷为 e），它们从磁场 中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半 径和轨迹（如图 4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射 出点相距 s
3、=2r= ，由图还看出经历时间相差 ，所以解此题的关键是 找圆心、找半径和用对称。 例 2如图 5 所示，在半径为 r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度 v0从 M 点沿半径方向射入磁场区，并由 N 点射出， O 点为圆心。当 MON120时，求： 带电粒子在磁场区的偏转半径 R 及在磁场区中的运动时间。 2 解析：分别过 M、 N 点作半径 OM、 ON 的垂线，此两垂线的交点 O即为带电粒子作圆周 运动时圆弧轨道的圆心，如图 6 所示。 由图中的几何关系可知，圆弧 MN 所对的轨道圆心角为 60， O、 O的边线为该圆心角 的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为 R=r/t
4、an30= 又带电粒子的轨道半径可表示为： 故带电粒子运动周期： 带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动 轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图 7），用这一规律可快速确定粒子的运 动轨迹。 例 3如图 8 所示， S 为电子源，它在纸面 360度范围内发射速度大小为 v0，质量为 m，电量为 q 的电子（ q高中物理学生中心高考向前冲复习策略 带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析 江苏省扬中高级中学 刘风华 近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物 理知识的综合运用
5、能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入 边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动 形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进 行分析。 一、磁场范围为圆形 例 1 一质量为 、带电量为 的粒子以速度 从 O 点沿 轴正方向射入磁感强度为 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从 处穿过 轴， 速度方向与 轴正向夹角为 30，如图 1 所示（粒子重力忽略不计）。 试求：（1）圆形磁场区的最小面积； （2）粒子从 O 点进入磁场区到达 点所经历的时间； （3） 点的坐标。 解析：
6、（1）由题可知，粒子不可能直接由 点经半个圆周偏转到 点，其必在圆周运 动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到 点。可知，其离开磁场时的临界点与 点都 在圆周上，到圆心的距离必相等。如图 2，过 点逆着速度 的方向作虚线，与 轴相交， 21 由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于 轴上，距 O 点距离和到虚线上 点垂直 距离相等的 点即为圆周运动的圆心，圆的半径 。 由 ，得 。弦长 为： ， 要使圆形磁场区域面积最小，半径应为 的一半，即： ， 积 （2）粒子运动的圆心角为 1200，时间 。 （3） 距离 ，故 点的坐标为（ ，0）。 点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界
7、的临界点，注意圆心必在两 临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的 直径等于粒子运动轨迹的弦长。 二、磁场范围为矩形 例 2 如图 3 所示，直角坐标系 第一象限的区域存在沿 轴正方向的匀强电场。 现有一质量为 ，电量为 的电子从第一象限的某点 （ ， ）以初速度 沿 轴 的负方向开始运动，经过 轴上的点 （ ，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后 进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与 轴、 轴重合，电子偏 转后恰好经过坐标原点 O，并沿 轴的正方向运动，不计电子的重力。求 22 （1）电子经过 点的速度 ； （2）该匀强磁场的磁感应
8、强度 和磁场的最小面积 。 解析：（1）电子从 点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到 点，可知竖直方 向： ，水平方向： 。 解得 。而 ，所以电子经过 点时的速度为： ，设 与 方向的夹角为 ，可知 ，所以 30 0。 （2）如图 4，电子以与 成 30进入第四象限后先沿 做匀速直线运动，然后进 入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿 轴向上的速度经过 点。可知圆周运动的圆心 一定在轴上，且 点到 O 点的距离与到直线 上 M 点（ M 点即为磁场的边界点） 的垂直距离相等，找出 点，画出其运动的部分轨迹为弧 MNO，所以磁场的右边界和下边 界就确定了。 23 设偏转半径为 ， ，由图知 ，
9、解得 ，方向 垂直纸面向里。 矩形磁场的长度 ，宽度 。 矩形磁场的最小面积为： 点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例 1 中运动的逆过程，解题思路相似， 关键要注意矩形磁场边界的确定。 三、磁场范围为三角形 例 3 如图 5，一个质量为 ，带 电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC。为了使该粒子能在 AC 边上的 N 点（ CM CN）垂真于 AC 边飞出 ABC， 可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为 B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在 一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求： （1）粒子在磁场里运动的轨道半径 及周期 T；
10、 （2）该粒子在磁场里运动的时间 t； 24 （3）该正三角形区域磁场的最小边长； 解析：（1）由 和 ， 得： ， （2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由 M 点作 圆周运动到 N 点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方 向并垂直于半径，如图 6 作出圆 O，粒子的运动轨迹为弧 GDEF，圆弧在 点与初速度方向 相切，在 F 点与出射速度相切。画出三角形 ，其与圆弧在 D、 E 两点相切，并与圆 交 于 F、 G 两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知FOG60 0，所以粒子偏转 的圆心角为 3000，运动的时间 （3）连
11、接 并延长与 交与 点，由图可知 ， ， 点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度与 从 AC 边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能确定。 另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。 四、磁场范围为树叶形 例 4 在 平面内有许多电子（质量为 、电量为 ），从坐标 O 不断以相同速率 沿不同方向射入第一象限，如图 7 所示。现加一个垂直于 平面向内、磁感强度为 25 的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于 轴向 正方向运动，求符合该条件 磁场的最小面积。 解析：电子在磁场中运动半径 是确定的，设
12、磁场区域足够大，作出电子可能 的运动轨道如图 8 所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆 O1和圆 O2为从圆点 射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆 O2在 轴上方的 个圆弧 odb 就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 O 为圆心，以 R 为半径 的圆弧 O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于 x 轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞 出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线 （图中虚线 O1O2）向上平移一段长度为 的距离即图 9 中的弧 ocb 就是这些圆的最 高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界
13、之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域 面积： 。 还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度 V0与 x 轴夹角为 ，若离开磁 场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（ x， y），从图 10 26 中看出， ，即 （ x0， y0），这是个圆方程，圆 心在（0， R）处，圆的 圆弧部分即为磁场区域的下边界。 点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，磁场下 边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。 由以上题目分析可知，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动 形式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动
14、的轨迹圆心，画出粒子运动的 部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用数 学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。 专题：带电粒子在组合场中或复合场中运动的问题 一、带电微粒在组合场或复合场中运动分析 1、 组合场或复合场 组合场是指电厂与磁场同时存在，但各位于一定的区域内，并不重叠的情况。 复合场通常是指电场与磁场在某一区域并存或电场、磁场和重力场并存于某一区域的 情况 2、 带电粒子的受力特点 要明确电场力和洛仑兹力的不同特点 通常情况下，象电子、质子、 粒子等微观粒子在组合场或复合场中受重力远小于电 场力或洛仑兹力，因而重力在无特别说明的情况下可
15、忽略不计。如果题目中无特别说明， 但给出了具体数据则可通过计算比较来确定是否需要考虑重力，有时结合粒子的运动状态 和电场力、洛伦兹力的方向来判断是否需要考虑重力。 3、 动力学观点 对带电微粒在复合场中运动状态的分析，要着重弄清各过程所遵守的动力学规律以及 各过程间的联系。 由于微粒在复合场中受力比较复杂，因此，进行受力分析时要全面、细致，而其中的 关键是洛伦兹力随着微粒运动状态的变化而变化，洛伦兹力的变化又会反过来导致运动状 态的变化。因此进行受力分析时一定要运动状态运动过程紧密结合起来带电微粒在复合唱 中的运动情况在高中阶段常见的情况有： 带电微粒所受合外力为零处静止或匀速直线运动状态。
16、带电微粒所受合外力充当作匀速圆周运动的向心力。 27 带电微粒所受合外力不为零、方向又不断变化，微粒做变加速曲线运动。 除了复合场外，还有其他的约束条件，例如斜面等，微粒可以作匀变速直线运动。 4、 能量与动量观点 要时刻把握住洛伦兹力对运动电荷不做功，然而却能改变微粒的速度和动量，即改变 微粒的运动状态这一关键点。 总值带电微粒在组合场、复合场中的运动问题是电磁学与力学知识的综合应用，分析 方法与力学问题分析方法基本相同，只是增加了电场力和洛伦兹力，因此解决组合场或复 合场中粒子运动的问题可从以下三个方面入手： 动力学观点：包括牛顿定律和运动学规律 能量观点：包括动能定理和能量守恒定律 动量
17、观点：包括动量定理和动量守恒定律 二、典例分析 1、 微粒在复合场中的平衡问题 依据共点力平衡条件和重力、电场力、洛伦兹力的不同特点进行分析求解 例 1、如图所示，实线表示，匀强电场的电场线，其处于竖直平面内且与水平方向成 角， 水平方向的匀强磁场与电场正交。现有一带电滴沿图中 虚线 L 斜向上做直线运动，L 与水平方向成 角，且 ，则下列说法中正确的是 （ ） A、 液滴一定带正电 B、 B 电场线方向一定斜向上 C、 液滴一定做匀速直线运动 D、 液滴有可能做匀变速直线运动 【解析】 若液滴带负电 ，慢由左手定 则可以判断其所受伦兹国力方向应与 v 垂直且斜 向下，在这种情况下，无论电场方
18、向斜向上还是斜向下，都不可能使液滴受力平衡，即液滴 必定会做变速运动，v 的改变 ，又会 导致 F 洛 的变化，从而使液滴无法沿直线 L 运动。 综上所述，选项 A、B、C 正确 例 2、设在地面上方的真空室内，存在着匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强 度的方向是相同的，电场强度的大小 E=4V/m，磁感应强度的大小 B=0.15T。今有一个带电 的质点以 v=20m/s 的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的荷 质比及磁场的所有可能的方向（角度可用反三角函授表示） 。 【解析】质点在空间做匀速直线运动，它所受的重力、电场力、洛伦兹力的合力必为零。 由此可见这三个
19、力必在同一竖直平面内。设质点的速度的方向不可能 在竖直方向成 角，质点受的电场力为 qE，洛伦兹力为 qvB，如图 所示。由三力的平衡条件，可得： （mg） 2=(qE)2 (qvB)2 得： =2.25c/kg2)(EvBgmq tan=vB/E=0.75， =tan-10.75 即磁场方向为沿着与重力方向成 =tan-10.75，斜向下的一切方向。 2、带电微粒在复合场中运动的动态分析与临界值问题 解题思路是先进行受力分析（结合运动状态分析）并抓住出现临界值勤的条件。 v L mg qE E (B) Bqv 28 例 3、 如图所示一倾角为的足够长的绝缘光滑的斜面置于磁 感应强度为 B 的
20、匀强磁场中，一质量为 m、代电荷量为-q 的小 滑块自斜面的顶端由静止释放，则当小物块在斜面上滑行，经 多长时间、多长距离离开斜面？ 【解析】由于重力的下滑分力的作用，小物块将沿斜面加速 下滑，随着速度的增大，F 洛 也不断增大，但 F 洛 的方向垂直于斜面向上，与物块运动方向 垂直，因此，虽然 F 洛 为变力，但由于有斜面支持力的约束，直至物块离开斜面前，垂直 于斜面方向所受合外力始终为零，而沿斜面方向的合外力等于 mgsin，故物块作初速度为 零的匀加速直线运动。 当 qvB=mgcos 时 物块将离开斜面，即 V=mgcos/qB 又 v=at=gsint 所以 t= tanBqm 由
21、v2=2gsins 故 s= sinco2qg 拓展：若将例 3 的光滑斜面改为粗糙斜面（其他不变） ，并知物块与斜面间的动摩擦 因数为 ，物块沿斜面下滑距离 L 而离开斜面，求整个过程中物块克服摩擦力所作的功。 简析：虽然只是将光滑斜面改为粗糙斜面，但物块的运动状态却发生了质的变化，由 匀变速直线运动改为非匀变速直线运动。原因在于 F 洛的变化会导致支持力的变化，进而 导致摩擦力的变化，因而物块的加速度是变量，匀变速运动规律不再适用。 由离开斜面时，F N=0 得： qvB=mgcos 故 v= qBmgcos 由动能定理得： mgLsin-Wf= 21v 所以 Wf= mgLsin- 2
22、3cosBqg 例 4、如图所示，空间存在水平方向的匀强电场 E 和垂直纸面向外的匀强磁场 B，一个质量 为、带电量为的小球套在不光滑的足够长的竖直绝缘杆上，自 静止开始下滑，则（ ） A、 小球的动能不断增大，直到某一最大值 B、 小球的加速度不断减小，直至为零 C、 小球的加速度先增大后减小，最终为零 D、 小球的速度先增加后减小，最终为零 【解析】无论小球带正电还是带负电，所受电场力与洛伦兹 B F 洛 FN G E B m q 29 力的方向总是相反的。设小球带正电，受力如图 所示所示。小球在在下滑过程中， 1 2 3 随着速度 v 的增加， F 洛 增大，杆的弹力 FN 先减小后增大
23、，摩擦力 Ff 也随之先减小后增大， 当 qvB=qE 时， FN=0，F f=0,此时 a 最大，a max=g；此后， v 继续增大，F N 反向还是增大， Ff 也增大，当 （qvB-qE）=mg 时，a=0，达到最大速度 vmax= ；以后小球沿qBEmg)/( 杆匀速下滑。 故选项 B、D 正确。 3、 带电粒子在组合场中运动问题的求解方法 寻找粒子进入交界处参量的变化规律，并应考虑各种可能性。 例 5、 回旋加速器是用来加速带电粒子使它获得很大动能的仪器，其核心部分是两个 D 形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以使在盒间的窄缝中形成匀强电场， 使粒子每次穿过窄缝都得到加
24、速，两盒子放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，D 形 盒的半径为 R，中心上半面出口处 O 放有质量为 m、电荷 量为 q 的正离子源，如图所示，试问： （1） 、所加交流电频率应是多大？ （2） 、被加速粒子的最大动能为多大？ （3） 、设两 D 形盒间电场的电势差为 U，盒间窄缝距离为 d,求加速到最大动能所需的时间？ 分析：回旋加速器的工作原理是：（1）电场加速 qU= Ek；（2）磁场约束回旋 qvB=m ,r= v；（3）加r 2qBm 速条件高频电源的周期与带电粒子在 D 形盒中运动的周期相同，即 T 电场 =T 回旋 = 。带qBm2 电粒子在 D 形盒内沿螺线轨道逐渐趋于盒的
25、边缘，达到预期的速率后，用特殊装置把它们 引出。 【解析】 （1）加速条件： T 交流 =T 回旋 ， f 交流= = 。交 流1mqB2 B O G F 电 v Ff a FN F 洛 G F 电 v am F 洛 G F 电 v Ff a FNF 洛 30 （2）粒子加速后，从 D 形盒引出是垢能量达到最大，当粒子从 D 形盒中引出时，粒子做 最后一圈圆周运动的半径就等于 D 形盒的半径 R，由带电粒子做圆周运动的半径公式可知 R= =qBmvEk2 所以，被加速粒子的最大动能为 EK= 。Bq2 粒子加速的次数 n= ，每转一圈加速两次，所以在磁场中的运动的总时间为qUEk t 磁 =
26、.T=n. 。2nBm 而带电粒子在电场中的运动连接起来，相当于发生了位移为 nd 的初速度为零的匀加速直线 运动。 即 nd= . .t 电 2，1mdqU t=t 电 +t 磁 = RB)( 说明：由于 dR，故 t 电 t 磁 ，通常可略去带电粒子在盒间窄缝电场中加速的时间。 例 6、如图所示，屏 MN 与 y 轴平行且距离为 L，匀强电场的场强 E 和匀强磁场的磁感应 强度 B 已知，将质量为 m，电荷量为 q 的负电荷（不计重力）从（ 0，-y ）处由静止释放， 欲使电荷能够打在平 MN 与 x 轴相交的 p 点 （1）应该从何处释放电荷，即 y=? （2）电荷从释放到打在屏上共需多
27、长时间？ 【解析】 （1）从释放电荷到 x 轴，应用动能定理， 有： 02Eqyv 粒子在磁场中作匀速圆周运动，有 rmB00 由题意得： L=n2r ,(n=1,2,3,) 联立上式解得 ， (n=1,2,3,) ELqy28 设电荷到点 P 所用的时间为 t，从释放到第一次运动到 x 轴所用时间为 t1，有21m 于是 qEyt1 By xMNPE-y -q 31 粒子在磁场中作匀速圆周运动转半周的时间为 qBmTt2 故 t=(2n-1)t1 + nt2 , (n=1,2,3,) 确定带电粒子在复合场中运动轨迹的方法 例 1 在竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场垂直相交的区域里，一带
28、电粒 子从 a 点由静止开始沿曲线 abc 运动到 c 点时速度为零，b 点是运动中能够到达的最高点， 若不计粒子所受重力，则（ ） A粒子肯定带负电，磁场方向垂直纸面向里 Ba、c 两点处在同一条水平线上 C粒子到达 c 点后将沿原路径返回到 a 点 D粒子通过 b 点时速率最大 解析：图中的带电粒子在电场力和洛仑兹力共同作用下沿曲线 abc 运动，因在 a 点处 由静止释放，粒子的速度必为零，故此时的洛仑兹力也为零，粒子起始只在电场力作用下 向上运动，由场强 E 的方向向下，可判断粒子一定带负电。当粒子运动起来后因曲线轨迹 向右偏，依左手定则可判定磁场方向一定是垂直纸面向里的，因此 A 选
29、项正确。 由 f=qvBsin 知，粒子在运动过程中，所受洛仑兹力的方向总是与粒子运动速度的方 向相垂直，故洛仑兹力只能改变速度的方向而不能改变其大小，因此粒子沿曲线从 a 点到 b 点的过程中，电场力做正功，将电势能转化成动能，而由 b 到 c 点的过程中粒子克服电 场力做功，再将动能转化成电势能，故粒子在 b 点处速率最大，a、c 两点处速率均为零； 又电场力做功与路径无关，场强方向竖直向下，所以 a、c 两点位于同一条水平线上的等势 面上，即 BD 选项是正确的。粒子到达 c 点后与开始从 a 点由静止释放的情况完全相同，因 此从 c 点开始将重复由 a 经 b 到 c 的运动过程，不会
30、沿原路返回到 a 点，其轨迹应向右平 移，即 C 选项错误。 点评：若带电粒子进入的是一个有界电磁场区域，通常按时间的先后顺序分成若干个 小过程来进行处理，在每一运动过程中都从粒子的受力分析着手，紧紧抓住重力和电场力 是两个恒力，洛仑兹力随速度的变化而变化这一特点。 例 2 如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于 轴线的四条狭缝 a、b、c 和 d，外筒的半径为 r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴 线方向的均匀磁场，磁感应强度为 B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域有沿半径 向外的电场。一质量为 m、带电量为+q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝 a 的 S
31、 点出发，初 速为零，如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好回到出发点 S，则两电极之间的电压 U 应是多少？（不计粒子重力，整个装置在真空中） 32 解析：不计重力的带电粒子从正对狭缝 a 的 S 点出发，先经加速电场作用而做匀速直 线运动，设加速电压为 U，则有 。接着粒子从 a 点以速度 V 垂直进入匀强磁 场中，由洛仑兹力提供其圆周运动的向心力而做匀速圆周运动，设其轨道半径为 R，则有 。 又题干中要求粒子经过一段时间的运动之后恰好回到出发点 S，表明整个运动过程存 在一定的对称性和周期性，而外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝 a、b、c 和 d，故应将整个圆周四等分，即每次
32、在磁场中要运动 使速度转向角为 900， 且其圆运动的轨道半径满足 R= r0时，才恰能回到出发点 S。然粒子的带电量为+q，故运用 左手定则可判定粒子应逆时针绕行，依此可绘制粒子在磁场中运动的草图如上，综合运用 上述可解得 。 点评：带电粒子在复合场中每一时段的运动过程中都要充分考虑洛仑兹力永远不做功， 重力和电场力做功只取决于始末位置的高度差和电势差。有时还要充分考虑整个运动过程 中空间和时间的周期性，通过草图找出相应的几何关系。 总之，要正确描绘出带电粒子在复合场的运动轨迹，须充分把握住重力、电场力和洛 仑兹力的性质，正确分析粒子的受力情况，巧妙运用物体做曲线运动的条件，灵活选取特 殊状
33、态，绘制草图促使问题的解决。 带电粒子在复合场中的运动 33 一. 教学内容： 带电粒子在复合场中的运动 二. 教学过程： 1. 带电粒子在复合场中应用问题的分析与力学中的力学中分析方法相同，关键是要注意电场和磁场对带 电粒子不同的作用特点。 （1 ）带电粒子在匀强电场中受到的电场力 FqE 是恒力；电场力作功与路径无关，只与初末位置的 电势差有关；电场力作功多是电势能和其他形式的能之间相互转化的量度。 （2）带电粒子在磁场中受到的洛仑兹力的大小随运动速度的大小改变而改变；洛仑兹力的方向总与运 动方向垂直；洛仑兹力对带电粒子不作功。 2. 带电粒子在电场和磁场共存区域内运动形式的分析和判定：
34、带电粒子在电场和磁场共存区域内的运动形式由粒子的受力情况和初速度情况共同决定。由于电场、 磁场的本身情况不同（例如相互平行或垂直）都可以使带电粒子在场内运动时所受电场力、洛仑兹力的情 况不同，又由于带电粒子的初速度可能不同，这些因素共同决定了带电粒子在电场、磁场共存区域内的不 同运动形式。 3. 研究带电粒子在电场和磁场共存区域内运动的方法： （1）运用牛顿运动定律研究带电粒子在电场和磁场共存区域内的运动：带电粒子在电场、磁场中运动 时，一般来说，带电粒子会同时受到电场力和洛仑兹力的作用，这两个力的合力决定了粒子的加速度，从 而制约了粒子的运动形式，对于这类问题，一般是先利用牛顿第二定律求出电
35、场力和洛仑兹力共同作用产 生的加速度，然后再运用恰当的运动学规律对问题最后求解。 （2）运用动能定理研究带电粒子在电场和磁场共存区域内的运动：由于洛仑兹力对带电粒子不做功， 电场力对粒子所做的功 WE 等于粒子动能的增量E K，即 WEE K。又因为电场力对粒子所做的功 WE 等于粒子电势能的增量E P 的负值，即 WEE P。所以又有E KE P0，即粒子的动能与电势能 之和守恒。 4. 回旋加速器的工作原理 回旋加速器是用来加速带电粒子的装置。 回旋加速器的核心部分是两个 D 形的金属扁盒，这两个 D 形盒就像是沿着直径把一个圆形的金属扁盒 切成的两半。两个 D 形盒之间留一条窄缝，在中心
36、附近放有粒子源，D 形盒装在真空容器中，整个装置 放在巨大电磁铁的两极之间，磁场方向垂直于 D 形盒的底面。把两个 D 形盒分别接在高频电源的两极上， 34 如果高频电源的周期与带电粒子在 D 形盒中的运动周期相同，带电粒子就可以不断地被加速了。带电粒 子在 D 形盒内沿螺线轨道逐渐趋于盒的边缘，达到预期的速率后，用特殊装置把它们引出。 这里需注意：高频电源的周期等于带电粒子在 D 形盒中运动周期，一般情况下带电粒子在窄缝中的运 动时间忽略。 【典型例题】 例 1. 如图所示，三个质量相同的质点 A、B 、C 带有等量正电荷，它们从相同的高度，从静止开始下落， 质点 A、B 分别垂直进入匀强电
37、场 E 和匀强磁场 B，质点 C 继续在空中下落，如果电场和磁场的宽度为 h2，则它们分别达到水平线 MN 时， （1 ）速度的大小 vA、v B、v C 的关系如何？ （2 ）下落时间 tA、t B、t C 的关系如何？ 分析：三个小球运动轨迹如草图所示： C 球做自由落体运动 A 球先做自由落体，进入电场后，向右偏做类似斜抛运动，其竖直方向做 ayg 的加速运动，水平做初 速为零的匀加速运动。 B 球先做自由落体，进入磁场后，向右偏做曲线运动（轨迹不是圆）。 （1 ）要求解落地速度，可通过动能定理： 35 （2 ）要分析运动时间可分析竖直方向分运动。 A 球在竖直方向是自由落体运动，故 v
38、Av C。 B 球运动到 P 点时，洛仑兹力 f 斜面右上方，其竖直分量向上，使 B 球运动加速度小于 g，故 tBt C。 解：（1 ）由动能定理可知：v Av Bv C （2 ）由竖直分运动的分析可知：t At Ct B 例 2. 一束质子流以一定的速度沿水平平行于板进入平行金属板间，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场 B，要使质子沿直线通过，可加一匀强电场场强为 E， （1 ）电场的方向； （2）质子的速度 v0? （3）若使电场强度增大，质子可从 C 点射出两板间；若撤去电场，质子可从 D 点射出两板间；假设 C、D 关于 O 点对称，试比较从 O、C、D 三点射出两板间时，质子的速度大小
39、。 解析：（1）质子受洛仑兹力 f 方向向上，要做直线运动，电场力必与 f 等大、反向，即电场力向下， 又质子带正电，故电场方向向下。 （2）由 Ff 可知，qEqvB 36 （3）增大电场，电场力大于洛仑兹力，质子将沿电场力方向偏转，电场力做正功，动能增大，即 vCv 0。 撤去电场，质子在磁场中做匀速圆周运动，故 vDv 0 所以 vCv 0v D 讨论：（1 ）当粒子以 vE/B 向右通过上述正交电场磁场区域时，可匀速通过。 （2）这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。 （3）若速度小于这一速度，电场力将大于洛仑兹力，带电粒子将顺电场力方向偏转，电场力做正功， 动能将增大，洛仑兹力也
40、将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一 速度，将逆电场力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛仑兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲线。 例 3. 如图所示，在 y0 的空间中存在匀强电场，场强沿 y 轴负方向；在 y0 的空间中，存在匀强磁 场，磁场方向垂直 xy 平面（纸面）向外。一电量为 q、质量为 m 的带正电的运动粒子，经过 y 轴上 y h 处的点 P1 时速率为 v0，方向沿 x 轴正方向；然后，经过 x 轴上 x2h 处的 P2 点进入磁场，并经过 y 轴上 y-2h 处的 P3 点。不计重力。求： （1 ）电场强度的大小。 （2 ）粒子到达 P2
41、时速度的大小和方向。 （3 ）磁感应强度的大小。 解析：（1 ）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示： 37 设粒子从 P1 到 P2 的时间为 t，电场强度的大小为 E，粒子在电场中的加速度为 a，由牛顿第二定律及 运动学公式有： （2）粒子到达 P2 时速度沿 x 方向的分量仍为 v0，以 v1 表示速度沿 y 方向分量的大小，v 表示速度的 大小， 表示速度和 x 轴的夹角，则有： （3）设磁场的磁感应强度为 B，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律： r 是圆周的半径。此圆周与 x 轴和 y 轴的交点分别为 P2、P 3。因为 OP2OP 3，45 ，由几何关系 可知，连
42、线 P2P3 为圆轨道的直径，由此可求得： 38 例 4. 如图所示，套在很长的绝缘直棒上的带正电的小球，其质量为 m，带电荷量为 q，小球可在棒上 滑动，现将此棒竖直放在互相垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度是 E，磁感应强度是 B，小球与棒的动摩擦因数为 ，求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度（设小球电荷量不变且 mgqE） 解析：球在下滑过程中将受到重力、电场力、杆对球的弹力、杆对球的滑动摩擦力和洛仑兹力，其中 重力向下，滑动摩擦力向上，电场力向右。下滑之前，球运动速度为零，洛仑兹力为零，杆对球的弹力向 左，且弹力等于电场力（注意此时并不是弹力最小、加速度最大时刻）。
43、当球开始下滑后，水平方向除受 电场力、弹力外，还受到向左的洛仑兹力，此时，弹力等于电场力和洛仑兹力之差。由于刚开始下滑，球 速度较小，洛仑兹力小于电场力。随着下滑速度的变大，洛仑兹力变大，导致弹力变小，球下滑的加速度 将变大。当球速度大到使洛仑兹力等于电场力时，弹力为零，球受到的摩擦力为零。此时，球下滑的加速 度达到最大值，且刚好等于重力加速度 g。随着球的速度继续变大，洛仑兹力大于电场力，弹力等于洛仑 兹力和电场力之差，随着球的速度增加，弹力变大，摩擦力变大，球下滑的加速度变小，当摩擦力大到等 于重力时，球将匀速下滑，此时球的速度即为最大速度。 （1 ）小球下滑开始阶段的受力情况如图所示：
44、39 （2 ）当 vv 1 时，小球受力情况如图所示： 当 v 大到 Fmg 时，a 0，此时 v 达到最大值 说明：分析该题中球运动状态的变化：vF 洛 F N 大小及方向变化F 先后a 先后。 小球的运动可划分为三个阶段，要对各阶段认真进行受力分析，明确各量如何变化，找出极值条件。本题 中 F 洛 qE ，即 FN0，F0 时，a 最大；F 合 0，即 Fmg 时，v 最大。 例 5. 设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场。已知电场强度和磁感应强度的方向是相同 的，电场强度的大小 E4.0V/m，磁感应强度的大小 B0.15T 。今有一个带负电的质点以 v20m/s 的 速度在此
45、区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电荷量与质量之比 q/m 以及磁场的所 有可能方向（角度可用反三角函数表示）。 分析：质点做匀速直线运动，所以重力、电场力与洛仑兹力的合力一定为零。由于洛仑兹力与磁场方 向垂直，磁场与电场方向相同，因此，电场力与洛仑兹力相互垂直，如图所示，并且这二者的合力与重力 等大反向。分析时要注意三点：一是洛仑兹力的大小与带电质点的速率有关；二是带负电的质点的运动方 向不是左手定则中四指的方向；三是以图中重力所在竖直线为轴线转动，在任一位置重力、电场力与洛仑 兹力的合力都为零，所以磁场的所有可能方向为无穷多个，但都在以重力所在竖直线为轴线转动的过程， 磁场
46、 B 所画的圆锥面内。 解：由上述分析可画出质点受力分析图如图所示（此图对应为带负电的质点垂直纸面向里运动）。设 质点电荷量为 q，质量为 m。 40 角 37，且斜向下方的一切方向。 【模拟试题】 1. 如图所示，虚线所示的区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域 的圆心 O 射入这个磁场。发现有的质子在磁场里运动的时间长，有的较短，其中运动时间较长的质子（ ） A. 入射的速度一定较大 B. 在该磁场中运动路程一定较长 C. 在该磁场中偏转的角度一定较大 D. 轨迹所对应的圆心角较大 2. 如图所示，左右边界分别为 PP、QQ的匀强磁场的宽度为 d，磁感应强度大
47、小为 B，方向垂直纸面向 里，一个质量为 m、电量的数值为 q 的粒子，沿图示方向以速度 v0 垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界 QQ射出，粒子入射速度 v0 的最大值可能是（ ） 41 A. B. C. D. 3. 如图所示，两电子沿 MN 方向射入两平行直线间的匀强磁场，它们分别以 的速率射出磁场， 则 _，通过匀强磁场所需时间之比 _。 4. 关于带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动，下列说法正确的是（ ） A. 带电粒子沿电场线射入，电场力对带电粒子做正功，粒子动能一定增加 B. 带电粒子垂直电场线方向射入，电场力对带电粒子不做功、粒子动能不变 C. 带电粒子沿磁感线方向射入，洛仑兹力
48、对带电粒子做正功，粒子动能一定增加 D. 不管带电粒子怎样射入磁场，洛仑兹力对带电粒子都不做功，粒子动能不变 5. 如图所示，长方形区域存在磁感应强度为 B 的匀强磁场，一束速度不同的电子从 O 处沿与磁场垂直 方向射入磁场，磁场方向垂直于边界，若从 a、b 、c、d 四处射出的电子在磁场中运动时间分别为 ，则（ ） A. B. 42 C. D. 6. 如图所示，是等离子体发电机示意图，平行金属板间匀强磁场的磁感应强度 B0.5T，两板间距离 d20 cm，要使输出电压为 220V，则等离子体垂直射入磁场的速度 v_，a 是电源的 _极。 7. 在图中的虚线所围的区域中，存在电场强度为 E 的匀强电场和磁感强度为 B 的匀强磁场。已知从左 方水平射入的电子穿过这区域时未发生偏转，设重力不计，则在这区域中的 E 和 B 的方向可能是（ ） A. E 和 B 都沿水平方向，并与电子运动的方向相反 B. E 和 B 都沿水平方向，并与电子运动的方向相同 C. E 竖直向上，B 垂直纸面向外 D. E 竖直向上，B 垂直纸面向里 8. 如图所示，平行板电容器水平放置，连接 的导线的一部分 CD 和另一连接电池的回路的一部 分
