1、连续损伤理论在混凝土上的应用 作者：J.Mazars ，G Pijaudier Cabot，学生们，美国土木工程师学会 摘要： 本文提出了一种对于不同混凝土模型的观点，该模型是基于连续损伤理论，在实验室 de Mtecanique et Technologie（卡尚，法国）中推导出公式的。每个公式都是建立在物理观 测的基础上，由不可逆过程热力学框架而来。受次生各向异性，延伸性，和方向性的影响， 如封闭裂缝的讨论，并提出足够的损伤模型。最后，数值代入的实现提供一个良好的破坏 过程的描述，以及对混凝土和钢筋混凝土结构的行为准确的预测。 简介： 许多材料，如混凝土，岩土，木材和复合材料的破坏是由于微
2、裂纹的开展和闭合。在 结构分析中这种被称为损伤的现象最常是被视为应变软化。为了建立这个破坏过程的模型， 人们成功的提出了各种不同类型的本构关系，包括本构模型内蕴时间塑性理论（Bazant 1986 年） ，塑性断裂理论（Dougill 1983 年，Dragon and Mroz 1979 年）;总应变模型 （Gerstle et al.1980; Kostovos 1980 年） ，随屈服极限减小的塑性理论（Wastiels1980 年） ，以 及最近的微平面模型（Bazant 1980 年; Pande and Sharma 1982 年） 。 Kachanov（1958 年）在 1958
3、 年提出的徐变相关问题，使得最近连续损伤力学得以应用 于渐进破坏的描述金属和复合材料的静态失效（Dufailly 1980 年，Ladeveze 1986，Lemaitre and Chaboche 1978 年）; 材料的疲劳和徐变（Leckie 1978）。在 20 世纪 80 年代初，证实 了损伤力学可以准确的模拟混凝土应变软化反应（Krajcinovic 1983 年，Ladeveze 1983 年， Lemaitre and Mazars 1982 年）和可以用不可逆过程热力学为框架编写相应的本构关系的公 式（Lemaitre and Chaboche 1985 年） 。 考虑到材料
4、是作为一组变量和热力学势所描述的系统，本构关系系统得随损伤运动学 条件而派生。然而我们仍然应做出适当的势能和损伤变量的选择（标量，张量，等） 。 各种逐渐复杂的模型的提出以及混凝土及钢筋混凝土构件的数值实现的提出。其中热 力学方法的优势，由可由我们选择的容许势能组成;为了说明我们的描述，我们把自己限定 在由 Laboratoire de Mecanique et Technologie 实验室中，由 J.L. Clement,F. Collombet，C. LaBorderie，A. Zaborski 共同组成的一个研究小组成果中。 损伤模式 在开始我们的分析之前，我们有必要回顾下混凝土反应的
5、几个主要的方面，这将引导 我们在理论公式的推导中做出适当的选择。此阶段混凝土可视为由三个成分制成的一种复 合材料：水泥基质（微孔材料），骨料，连接基质和骨料的过渡区（Maso 1982 年）。在 这个区域中，水合混凝土的结晶是具有高度方向性的（由于管壁效应）。它也是复合材料 中最多孔的部分，因此，也是其最薄弱的区域。 微观损伤机制已经可以由不同的技术观测到：X -射线（Slate and Oleski 1963 年），显 微镜（Dhir and Sangha，1974 年），或声发射（ Terrien 1980）。这些调查也已被一个旨在 更好地理解破坏过程（例如，Maso 1982 年）的模型
6、所完成。它建立了：（ 1）损伤出现在 阈值后，主要是在位于过渡区和水泥基质;（2）不同的损伤模式存在于应力状态和应力史之 间的连系中。 这两种类型的损伤是可以区分的：（1）水泥基质的微孔结构的破损是一个类型的损伤， 这种损伤由在材料上的静水压力造成，同时可能导致聚合;（2 ）微裂纹的扩展最常位于水泥 基质。当荷载扩大，I 型的开裂占主导地位，但裂缝也可能根据加载史扩展成 II 或 III 型。 断裂先端的摩擦也可能会带来额外的延展性。图 1（a ）总结了这些针对作用在材料上应力 状态的观测数据。只有裂缝具有高度方向性并且于静水压力无关才会导致各项异性的存在。 当由于裂纹的闭合发生所产生的荷载符
7、号的相反时，固有存在的裂缝，初始刚度的恢复都 是可以测量的。这种定向的现象称为“ 单边效应” ，它是在梁受到循环加载时观察得到的 （1987 年 Mazars 和 LaBorderie）。 上图 1（b）和（c）所示的是损伤的宏观影响。图中单轴的反应存在于拉伸和压缩。记 录下的形状和最大应力是不同的，提出不同的损伤运动学，但最初的线性弹性行为仍然存 在。损伤的增长会产生一个减少的卸载重载刚度和增加的永久应变。 下面将介绍不同损伤参数，它们是描述被视为连续材料的反应的变化。损伤增长的方 程将任意推出为最大的契合实验的数据。然而，每个公式只限于说明在宏观效应的损伤， 即损伤变量的类型和热力学势能的
8、形式。 图 1（ a）损伤方式及混凝土的性能；混凝土在（b）压缩；和（c）拉伸情况下的实验性性 能。 这里所用的方法与已在文献中提出不同的塑性能的塑性理论相似。 理论公式 在恒温下混凝土可以用弹性应变张量 ，损伤 D 来描述，有效塑性应变记为 。 可能被定义为： 上式中 是塑性应变张量率并且表明张量乘积由两个因子共同制约：损伤 D 的数学 定义在这方面不须太精密，假设总应变率 的弹性和塑性变形是分区的， 。 每个平衡状态是由一个热力学势 ，D， 的函数 数值区分（ 是材料的质 量密度）。一般能使 满足热力学第一准则的是二次形式比能（1978 年 Lemaitre 和 Chaboche）。在 K
9、achanov 和 Lemaitre 的解释之后，我们认为只有材料的弹性性能受到损伤 的影响。因此， 可表示为： （1） 其中 是损伤和弹性应变函数，和 是有效塑性应变的函数。应力张量 ，损 伤能量释放速率 Y，和有效应力 都是用比能来定义的： （2） 永久变形和损伤是不可逆的过程，导致机械能转换成热量，在表面上生成。据 Clausius Duhem 不等式，能量耗散率 必须保持是正的： 我们在由于损伤 和塑性 引起的能量耗散率的表达上可以这么区分： 一个满足 Clausius Duhem 不等式的充分条件可以是 和 。 由于在模型中塑性的引入与经典的发展非常相似（Ladeveze 1983）
10、。我们将集中我们 的注意力在把损伤引入到弹性本构关系中。我们将采用弹性势能 ： 是一个四阶对称张量即割线刚度矩阵（公式 2）。 是损伤 D 的函数。此时 我们认为公式中 的选择可以简化为考虑损伤刚度矩阵。把 5 式代入 2 和 4 式中得到： e 13pdtopt：021ooopoeppe popDYepe )(;)(;)( o;0:eodoeod :;: 0odope eeD:)(21)(eeY:)(;:)(0):21oeodD 由于 ，损伤能量释放率 Y 是一个正定二次型，即损伤增加时刚度下降。满 足 Clausius Duhem 不等式的充分条件是 。 满足这个条件的损伤增量将由表面加载
11、方程 来决定，其中 K0 是损伤 初始临界值。这应力状态的函数的唯一性是由将 f 选为应变的函数而不是应力的函数来确保 的（两个应变张量可能与相同的应力状态有关）。考虑到加载条件，损伤演变可以定义为： F（ e） 是一个由实验确定的应变正函数。我们可能会注意到，式 11 中的条件设置与塑 性下的加载条件相似。 在下面的章节中，我们将详细介绍不同的函数 f 和 F 表达式。然而，这种方法最重要的 假设是 的函数 的选择， 是建立在第一段中相关的宏观观测的基础上。显 然函数 可以从微观力学研究中引入，这构成下一步，它目前还正在研究中。它旨在 更好的理解如混凝土的非均质材料的微观和宏观行为。目前，在
12、例子中使用的势能的数学 表达式的灵感来自于这样的研究（Ladeveze 1983 年）。每个选择对应到不同的近似单轴刚 度和压缩分布，在 Ladeveze（1983）和 Pijaudier-Cabot（1985）中有更广泛的详述。 标量损伤模型 (Mazars 1984) 在这种模式下，材料应该是弹性的行为，并保持各向同性。我们称 为材料初始刚度 矩阵，D 为损伤。真应力概念（1978 年 Lemaitre 和 Chaboche）导出了弹性能的下列形式： 应力 和损伤能量释放率是由式 3 计算得到的，耗散率可以从式 4 中获得： 损伤标量 D 的范围从原始材料的 0 到代表均匀应变条件下的破坏
13、（零应力）的 1。假 设延伸是裂纹扩展的原因，我们使用的表面荷载的灵感来自圣维南最大主应变准则，图 2（a ）中已给出。其公式为： 与 等效的应变： 硬化软化参数 K（D）考虑到保留以前对材料的加载史，充分利用等效应变 。最初， K（D ）是 K0 的临界值。在图 1（a）中定义的 A 损伤的方式，这种表面荷载的表达方式阻 碍这种模式的正确性。 0/D0o),(0)(De)(D 0ee:)1(200;:2; DYYee )(),(0f是 主 应 力ii x2;312 图、2。三种不同损伤模型的反应：（a）一个标量损伤变量 D 的模型；（b）两个标量损伤变量 Dt 和 Dc 的 模型; 及（c）
14、永久变形的各向异性模型 拉伸或压缩的反应是由两个类型损伤 Dt 和 Dc（Mazars 1986）的耦合的下列规律来描述。 Dt 和 Dc 分别对应单轴拉伸和单轴压缩测量的损伤。从图、1（b）和 1（c）所描绘的反应， 其发展是由式 12 中两个函数 Ft 和 Fc 组成的 F 的综合形式所给出的。总损伤 D 是 Dt 和 Dc 的加权总和。在式 11 中 和 的权值是一个应变状态的函数。 我们称 和 为只分别出现在正和负的主应力的张量，应变张量 ， 定义为： 和 的权重由以下表达式（Mazars 1984）定义为： t)( t tct 如果 ，则 Hi=1，否则， Hi= 0。在演化规律中参
15、数 K0，A t，B t，A c 和 Bc 是由圆柱体压缩试验和梁弯曲试验独立确定。由于使用两个不同的运动损伤取决于主应 力的符号，系数 和 定义了每个类型的损伤一般荷载的作用。从式 14 可以验证，在单 轴拉伸中， = 1， =0，D = Dt，在压缩中反之。 单侧损伤模型(Ladeveze 1983; Mazars 1985) 我们可能可以有效的区分损伤是由于拉伸还是压缩，而不是由式 11 定义的损伤运动学 的平均设置。当材料受到循环荷载，先前的公式不能获得在压力逆转（1987 年 Mazars 和 LaBorderie）期间观测到的刚度恢复。由于损伤不能削弱（Clausius Duhem
16、 不等式）两个独 立的标量，所以我们用损伤 Dt 和 Dc。根据应力的符号，明显的损伤将会是正压力 Dt 或负压 力 Dc。如果荷载是复杂的，损伤可能是 Dt 和 Dc 的综合。我们将应力张量分解成一个正的 和负的 两部分。该材料是假定保持弹性，势能 是： 其中 。拉伸和压缩由应力的符号区分。解出式 2，在式 16 中找到相应的本 构关系： 其中 I 是个体张量。 在 Clausius Duhem 不等式中，两个损伤的能量释放率关系到每一个损伤标量的表现： 一个满足式 3 的充分条件是两个损伤率 Dt 和 Dc 一直是正的。我们建议使用每个变量的 不同损伤加载面，用能量释放率表示为： Kt 和
17、 Kc 是与式.10 中 K（D）类似的硬化软化参数。每个损伤标量的演化规律是以下能 量释放率的函数，D t= Ft（Y t）和 Dc= Fc（Y c）。 图 2（b）显示在应力空间的范围的相应形状，该应力空间中材料的反应最初是弹性的。 它是从每个表面获得的弹性域的交集。与以前的标量模型图.2（a）相似，考虑了拉伸和压 缩的不对称性。 0ticittc e ktr 相比标量模型图. 2（a）循环反应有很大的不同，尽管应力应变的包络线是相同的。就 目前的模式，由张力产生的损伤对压缩反应没有影响，反之亦然。两个损伤参数独立增长， 每一个描述材料受到正或负的单轴加载的相应的割线刚度。 永久变形和次生
18、各向异性损伤模型(Collumbet 1985) 包括次生各向异性效应的公式可以很容易地由下面的热力学势推出： 永久应变， 出现在势能中， 是一个正交各向异性材料的刚度矩阵。其建立在损 伤基础上被定义为： 其中 是材料的初始刚度矩阵，称为 的损伤变量是一个四阶对称张量。由于材料 是各向异性的，一般也有九个损伤变量。Collombet 觉得在轴对称的情况下不需要四个变量 （式.21）。以前在一个标量模型（式 10）使用中，损伤表面荷载是相同的。 如果 l1= l3 及 l12=l23=0，材料是各向同性的，在先前所描述的损伤模型 l1 和 D 之间的关 系是 l1=（ 1-D） -1。 本构关系
19、是来自于势能式子. 19： 立方体和圆柱体的实验结果导出了下面的关系： 材料最初是各向同性（E 0， V0），A 和 B 是材料参数，i = 1，2，3 是主要方向， i= 3 的 轴向荷载的方向和相应的单轴刚度 Ei。泊松比演变考虑了恒定可压缩性的假设： 假设压缩性不会改变，模拟了目前在图.1（a）中定义的损伤 A 模型的公式。当静水压 力高时，这种模型可能并不适用于该应力状态。对于轴对称荷载，材料的整体响应可以由 计算出的永久变形的包络曲线来描述。图.2（c）所示的总的应力应变曲线限制的影响。我 们可能会注意到，在这个模型中单轴响应（ ， ）与在图.2（a）和（b）的结果相吻合。 横向应变
20、的反应是近似的，及损伤也影响横向方向的响应（各向同性模型将保持泊松比的 初始值）。 高压缩荷载下的损伤模型(PijaudierCabot 1985) pD0L 3 考虑可压缩性和单轴刚度的损伤的影响，我们使用有两个变量的公式。压缩的变化用 损伤变量 来描述，而 d 代表刚度的下降。我们选择一个近似标量函数 ，即由静水压 力产生的损伤，保持材料的各向同性。d 是一个近似二阶张量，可以模拟高方向性裂纹扩展 引起的次生各向异性。 正如 Ladeveze（1983）描述的那样，这种 d 和 的选择意味着在 主方向上有损伤的独立增长，尽管材料不是各向异性（刚度矩阵是用 9 个系数的函数来表 示的，而不是
21、 12 个系数，损伤参数 g 加上三个角度）。就应力而言，热力学势能 是: 含偏应力 S 和d 函数的 ： 这些表达式由 Ladeveze（1983 年）推导，考虑细观力学。其相应的本构关系： 其中 E0 和 v0 是初始杨氏模量和初始各向同性材料的泊松比 ;下标 s 和 d 分别为张量的 对称和偏分部分。我们必须注意到，如果 d = DI 和 D= 的标量损伤的本构关系将恢复。 或者，如果我们设置 = 0，以前存在的各向异性模型将恢复。正如 Ladeveze（1983 年） 指出，这种模型可能被视为我们以前的损伤公式的归纳。 的推导列出如下： F（ ）是一个第二压力不变函数，K（ ）是初始值
22、为 k0 的硬化参数。根据图、 1（a） 是静水应力的函数。 为了将等效应变（Mazars 1984）的概念归纳为高压缩载荷（即由缺少正主应变来区别） 引入了等价偏应变 ， 其中，e i 偏应变张量 e 的特征值，压缩只有在损伤 张量 d 与负特征值 ei 对应时才增长，产生各向异性的反应： 如果： 如果： d 的加载函数是： C1， C2 和 C3 为材料常数， K（d）是初始值为 K0 的硬化软化的参数，K （d）等于 的 最大值。 塑性变形来源于经典各向同性硬化塑料规律，考虑了虚构的弹塑性介质,其特点是真实 应力 和原始材料（Pijaudier-Cabot 1985）的弹性刚度矩阵 。
23、e 2i e 0 随着公式的提出，这种模式是从一个受到侧压力和轴向荷载（Pijaudier-Cabot 1985）的 圆柱形混凝土试件的试验数据确定的。使用了计算机控制加载程序，确保每个模型的最佳 鉴定。客观的鉴定方法，它建立在统计和概率的基础上，正如 Pijaudier-Cabot 和 Mazars（1985 年）中描述那样被完成了。每个材料参数和相应的不确定的都是自动测量的。 实验性限制的非线性行为及其损伤造成的变化是在平分平面（ ）中由自动加 载重装程序和快速的计算机分析方法中获得的。从一个单一的构件的限制测试，线性弹性 反应在选定的加载阶段中测量，直到破坏。对于连续径向加载路径与逐渐增
24、加的静水压力 施加在同一个构件上，我们在图、3（a ）中列出初始弹性域及其演变。实验数据的对比很 好的显示了理论近似的统一。目前的两个变量函数，弹性域是两个加载表面分别对应到其 损伤模式的交集。由于这些表面保持独立我们捕捉的都是路径相关的。图、3（b）显示了 测试下模型反应的比较，其中先用静水压力，接着 增加了。应力应变曲线（ 与 相对，其中 in 是由于封闭产生的初始应变）是从根本上与那些径向路径获得的 （1981 Bergues 和 Terrien）不同。但是，我们目前的公式与径向载荷路径的实验结果一致， 包括从单轴加载压缩到水压试验（ ）。在加载路径不同的两个测试（如 和 ）对这种模式的
25、识别是需要的。 图、3。高压缩加载损伤模型性能：（a）二等分平面弹性域（ ）的变 化; （b）非比例加载实验模型的比较。 组合柱的解析解 3211313inin4/1301/1 321 in31 为了证明次生各向异性对结构单元的行为的影响，我们进行了由钢筋和混凝土空心圆 柱组成的柱的分析计算。这种设计方法的优点是钢筋的包膜对混凝土柱产生了约束作用， 我们需要一个可以准确地描述在混凝土中的横向方向上压缩加载的影响的混凝土模型（各 向同性模型会产生一个恒定的泊松比） 。选用 Collombet 的各向异性模型。钢筋应该是保 持弹性的。由于收缩，我们假设钢筋和混凝土之间没有连接。荷载是共同作用在钢筋
26、包膜 和柱的混凝土部分。 计算是一步一步进行以分析地确定这种结构在位移控制下单一加载的行为。我们可以 区分出两个不同的阶段，因为钢筋和混凝土有不同的泊松比表示为 vc 和 vs。 在开始加载时（v cvs）。钢筋和混凝土可以视为两个独立的结构。 由于开裂，混凝土的泊松比 vc 增加。两种材料之间的接触发生。从这一点来说，进 一步的加载，混凝土受到约束作用不断增加的三轴应力状态， Fafitis 和 Shah（ 1985）详细 说明的迭代法适用于在给定的轴向位移下作用于柱的总荷载的计算需要。 图、4（a）提出了对不同厚度的钢筋包膜的荷载位移曲线。对最厚的钢管进行观察发 现激增处是由于受到了强约束
27、作用。这样的行为可能起到一定作用，正如那些约束的柱 （Gerstle 等 1980），例如在地震带的结构设计，因为延展性和因破坏而消散的能源显著增 加。最大荷载解析性预测与实验结果（Guiaux 和 1974 年 Janss）能很好的统一。 图、4（b）显示了这三个在混凝土中的径向应变的函数的例子，加载过程中作用在混 凝土上径向应力的变化。由于混凝土的弹塑性行为，这种材料上观察到的加载路径不是径 向的，约束的强度取决于钢筋在柱中的百分比。我们注意到在各向同性的公式中泊松比是 恒定的，通过计算表明钢筋和混凝土的行为相互独立。 图、4。钢筋混凝土柱的反应：（a）3 号模型预测的全局反应（作用力与位
28、移）和极限 荷载与实验结果比较（b）预测的混凝土的局部反应（径向应力与径向应变） 有限元的实现在钢筋混凝土构件上的应用 钢筋和混凝土之间的连系可以定义为局部粘结应力和钢筋相对滑移之间的关系。这种 方法是基于对水泥基质，钢筋和连接的反应（Somayaji 和 Shah，1981）的性质的知识。在 螺纹钢的情况下，根据 Tepfers（1979 年）、Lutz 和 Gergeley（1987 年），肋可以楔入并切 割混凝土，然后产生损伤。粘结行为的基础是平行的钢筋的闭合裂纹（追溯到 1971 年）的 形成。这种退化的类型证明了连续损伤力学在钢筋混凝土的计算上的使用（Mazars 1985）。 这两
29、种材料的描述是分开考虑的：混凝土表征弹性损伤行为（首次描述，我们将选择 标量损伤模型）和钢是弹塑性的。在一个平面上计算，钢筋是一个结构横截面的有限面积 的取代。图、6（a）。 钢筋和混凝土之间的粘结满足位移的连续性和钢的有限面积满足静态等效， ，其中 As，E s 是面积和钢筋和的杨氏模量，A s*， Es*是等效的钢筋面积和用于计算的模量。 计算是用了割线刚度矩阵运算法则的有限元法，确保在大多数例子中收敛。由于应变软化 材料的局限，固有的单元网格敏感性（Bazant，1986; Bazant 等 1987）通过设置一个元素大 小的下限来绕过它。 数值计算已经被比作对拉伸构件和弯曲梁的实验（1
30、985 年 Clement 等人， 1987 年 Clement）实验都是单调的加载在一个封闭圆环伺服液压系统。弯曲实验控制荷载下的挠度; 拉力试验控制钢筋的相对位移。 拉伸构件的几何特征是：混凝土截面 1010 厘米，长 70 厘米;加固：一个中心带肋钢筋， = 10 毫米。钢筋混凝土梁：混凝土截面 22 15 平方厘米，长 140 厘米; 加固：下部的两个 */ssEA 带肋钢筋，= 12 毫米。混凝土配合比为：普通硅酸盐水泥，沙子（04 毫米）2.1，骨料 （4-10 毫米）2.8，水 0.5。从普通的混凝土试件的压缩和弯曲试验确定的材料参数如下：E 0 =3104 兆帕， v0 = 0
31、.2，A t= 0.8，B t= 2104，A c = 1.4，B c = 1850。弯曲试验应参考拉伸试验， 因为它们对局部应力不太敏感。带肋钢筋的杨氏模量是：E s = 2105 兆帕。控制位移，作用 的荷载，在实验过程中测量混凝土表面和杆上的应变（配有应变计）。 图、5 和 6 表示了获得的实验结果及其与数值模拟的比较结果。对于计算我们选标量损 伤模型（它仍然是最简单的数值地实现）。 我们无法描述所有的损伤模式，但没有高约束压力和单调加载下的结果是有说服力的。 旨在实现各向异性和单方面模型的研究目前正在进行中（1987 年 Mazars 和 LaBorderie）。 图、5 考虑拉伸构件
32、和突出的损伤和破坏机制。结果表明，损伤区在杆周围出现在试件 内的扩展。在第二阶段，约 20 千牛，观察到杆垂直方向的损伤突然增长。这相当于一个不 稳定阶段。实验无法准确定义内部构件的损伤区进展，但每个实验试件的宏观裂纹都是在 相同的位置，正如最终的垂直损伤区的预测那样图、5（d）。 至于反应而言，根据计算和实验破坏导致了在曲线 5（ac ）上可见不稳定性。图、 5（a ）表示宏观裂纹到达表面附近的测量点时，混凝土应变的减少。（计算的应变是在实 验中使用的同规格的具有相同长度的平均的应变）图、5（b）所示，开裂后的应力突然被 重新从混凝土分配到钢筋 t。图、5（ c）关注全局反应; 非线性对应于
33、不稳定前的杆周围的损 伤的变化，它出现在不同的实验和计算的相同阶段。 图、6（b）和（c）就梁上得到的结果。混凝土在在拉力作用下开始开裂时预测的挠度 对应一个重要的非线性全局反应 图、6（b）。局部的声波同相轴和图、6（c）所示的损 伤区变化的数值模拟与实验结果之间的比较。当荷载为 16.5 千牛时，我们发现梁中间的局 部; 它对应的第一个宏观裂纹的产生。当荷载为 23.8 千牛时，在第一条裂纹增长后，第二个 局部裂纹出现在离中间约 10 厘米处：它是一个新的裂纹的开始：我们可以观察到损伤区扩 展，考虑到通过计算和声发射它们能很好的吻合。 结论 虽然许多理论描述了混凝土的宏观反应，连续损伤理论
34、和内变量的概念提出了一但热 力势能确定可以产生众多的模型的框架的优势。 从标量损伤模型到两个变量的混凝土各向异性的反应的描述，各级简单性的实现主要 依靠模拟损伤的方式，和现象分析中保留的特点而定。 定向的效果，如裂缝的闭合也可能通过引入两个代表在拉伸和压缩时损伤的变量来引 入其与不可逆的热力学（以防损伤减少）的统一。 尽管每个模型都有它的局限，实验和理论结果之间得到的很好的吻合要考虑到，不仅 应力应变曲线，而且在应力空间里弹性域的变化。 各向异性的影响，在模型中由一个非常简化的形式推出，可能会对反应的理解和结构 元素的破坏模式有所帮助。混凝土填充的空心钢柱的反应已被分析，钢包膜在后期约束作 用
35、下的影响已经被准确地推测出。 到有限元方法的实施，损伤公式给了钢筋结构元素的反应和开裂过程一个很好的说明。 与实验结果也达到了一致。 附录 1。参考文献 Bazant, Z. P. (1986). “Mechanics of distributed cracking.“ Appl. Mech. Rev., ASME,39(5), 675- 705. Bazant, Z. P., Pan, J., and Pijaudier-Cabot, G. (1987). “Softening in reinforced concrete beams and frames.“ J. Struct. Engr
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