1、三、解答题 26.（江苏 18）如图，在平面直角坐标系 xOy中，M 、N 分别是椭圆 124yx 的顶点，过 坐标原点的直线交椭圆于 P、 A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连 接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k （1 ）当直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值； （2 ）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d； （3 ）对任意 k0，求证：PAPB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离 等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 16 分. 解：（1）由题设知， ),
2、20(),(,2, NMba故 所以线段 MN 中点的坐标为)2,( ，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标 原点，所以 .21k （2 ）直线 PA 的方程 21,4xyyx代 入 椭 圆 方 程 得 解得 ).3,2(),43, APx因 此 于是 ),032(C 直线 AC 的斜率为 .032,1320yxAB的 方 程 为故 直 线.1|4|,2d因 此 （3 ）解法一： 将直线 PA 的方程 kxy代入 2 221, ,411yxkk解 得 记 则 )0,(),(),( CAkP于 是 故直线 AB 的斜率为 ,20k 其方程为 ,
3、0)23(2)(),(2 2 kxkxky 代 入 椭 圆 方 程 得 解得 232 233(,)Bk或 因 此 . 于是直线 PB 的斜率 .1)2(32)(2231 kkk 因此 .,1PBAk所 以 解法二： 设 )0,(,(,0,),(),( 11212121 xCyAxxyxP 则 . 设直线 PB，AB 的斜率分别为 21,k因为 C 在直线 AB 上，所以 .2)(112kxyk 从而 1)(21212xyxykk .04)(212121 xy 因此 .,PBAk所 以 27.（安徽理 21）设 ，点 的坐标为（1,1） ，点 B在抛物线 yx 上运动，点 Q满足QB ，经过 点
4、与 Mx轴垂直的直线交抛物线于点 M，点 P满足 MP,求 点 P的轨迹方程。 本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识， 考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由 MPQ知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设 .)1(),(),(),(), 202020 yxyyxyxP 则则 再设 ,.(, 11AB即由 解得 .)(01yx 将式代入式，消去 ，得.)1()1(,2yxyx 又点 B 在抛物线 上，所以 21x ，再将式代入 21xy ，得.012),1(,0.)1(2 ,)(,)()( 222
5、yxyx得两 边 同 除 以因 故所求点 P 的轨迹方程为 . 28. （北京理 19） 已知椭圆 2:14xGy .过点（m,0 ）作圆 21xy 的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点. （I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率； （II）将 AB表示为 m 的函数，并求 AB的最大值. （19 ） （共 14 分） 解：（）由已知得 ,12ba 所以 .3 2c 所以椭圆 G 的焦点坐标为 )0,3(,( 离心率为 .23ace （）由题意知， 1|m. 当 1时，切线 l 的方程 x，点 A、B 的坐标分别为 ),231(), 此时 3|AB 当 m=1 时，同理可得 3| 当 |m时，
6、设切线 l 的方程为 ),(mxky 由 048)41(.4),( 2222 yxk得 设 A、B 两点的坐标分别为 ),(,21yx，则22121 4,48kmxkx 又由 l 与圆 .1,1|, 222 ky即得相 切 所以 1212)()(| yxAB4)4(6)122kmk.3|42m 由于当 时， ,3|AB 所以 ),1,(,|4|2 . 因为 ,2|3|4|3|2mAB 且当 m时，|AB|=2，所以|AB| 的最大值为 2. 29.（福建理 17）已知直线 l： y=x+m，mR。 （I）若以点 M（2,0）为圆心的圆与直线 l 相切与点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方
7、程； （II）若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 ，问直线 与抛物线 C：x2=4y 是否相切？说明理由。 本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、 数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。 解法一： （I）依题意，点 P 的坐标为（0 ，m） 因为 Ml，所以 12 ， 解得 m=2，即点 P 的坐标为（0 ，2） 从而圆的半径 2|()(),r 故所求圆的方程为 28.xy （II）因为直线 l的方程为 ,m 所以直线 的方程为 .yx 由 22,404yx得 16()m （1 ）当 ,0即 时，直线 l与抛物线 C 相切 （
8、2 ）当 ，那 时，直线 与抛物线 C 不相切。 综上，当 m=1 时，直线 l与抛物线 C 相切； 当 1m时，直线 与抛物线 C 不相切。 解法二： （I）设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为 22().xyr 依题意，所求圆与直线 :0lxym相切于点 P（0 ，m） ， 则 24,|0|mr 解得 2,.mr 所以所求圆的方程为 2()8.xy （II）同解法一。 30.（广东理 19） 设圆 C 与两圆 22(5)4,(5)4xyxy 中的一个内切，另一个外切。 （1 ）求 C 的圆心轨迹 L 的方程 ; （2 ）已知点 M 3(,)(,0)F ，且 P 为 L 上动点，求 MPF
9、的最大值及此时点 P 的坐标 （1）解：设 C 的圆心的坐标为 (,)xy，由题设条件知22|(5)5|4,xy 化简得 L 的方程为 21.4x （2）解：过 M，F 的直线 l方程为 2(5)yx，将其代入 L 的方程得153840.x 解得 12 12 6156145,(,),(,).5xlLTT故 与 交 点 为 因 T1 在线段 MF 外，T2 在线段 MF 内，故 11|,MF22|.MTF ，若 P 不在直线 MF 上，在 P中有|.P 故 |MPF只在 T1 点取得最大值 2。 31.（湖北理 20） 平面内与两定点 1(,0)Aa， 2(,)0a连续的斜率之积等于非零常数 m
10、的点的轨迹， 加上 1、 2两点所成的曲线 C可以是圆、椭圆成双曲线 （）求曲线 的方程，并讨论 的形状与 m值得关系； （）当 1m时，对应的曲线为 1 ；对给定的 (1,0),)U，对应的曲线为 2C， 设 1F 、 2是 C的两个焦点。试问：在 C 撒谎个，是否存在点 N，使得 1F 的面积|Sa 。若存在，求 tan 1FN2 的值；若不存在，请说明理由。 本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与 整合和数形结合的思想。 （满分 14 分） 解：（I）设动点为 M，其坐标为 (,)xy， 当 xa时，由条件可得 12 2,AMykmaxa 即 2
11、2()myx ， 又 12(,0),A的坐标满足 22,mxy 故依题意，曲线 C 的方程为 .a 当 1,m时 曲线 C 的方程为 221,xyC 是焦点在 y 轴上的椭圆； 当 时，曲线 C 的方程为 a，C 是圆心在原点的圆； 当 10时，曲线 C 的方程为 221xym ，C 是焦点在 x 轴上的椭圆； 当 m时，曲线 C 的方程为 2,a C 是焦点在 x 轴上的双曲线。 （II）由（I）知，当 m=-1 时，C1 的方程为 22;xya 当 (1,0),)时， C2 的两个焦点分别为 12(,0)(1,0).FamF 对于给定的 (1,0),)m， C1 上存在点 Nxy使得 2|
12、Sma 的充要条件是22002,1|.xay 由得 0|,a由得 0|.1am 当 | 5,21m即 或 0 时， 存在点 N，使 S=|m|a2； 当 | 15,21ma即 - 或 52 时， 不存在满足条件的点 N， 当 115,0,2m 时， 由 10 0(),(1,)FaxyFamxy ， 可得 2220(1,N 令 122|,|,rN ， 则由 212112cos,cosmaFar可 得 ， 从而 2212inintnsmSr ， 于是由 |a， 可得 2212|tn|,tan.m即 综上可得： 当 15,02m 时，在 C1 上，存在点 N，使得 212|,tan;SmFN且 当
13、, 时，在 C1 上，存在点 N，使得 212|,t;且 当 15(,)(,)2m 时，在 C1 上，不存在满足条件的点 N。 32.（湖南理 21） 如图 7，椭圆 21:(0)xyCab 的离心率为32 ，x 轴被曲线 22:yx 截得的线段长等于 C1 的长半轴长。 （）求 C1，C2 的方程； （）设 C2 与 y 轴的焦点为 M，过坐标原点 O 的 直线 l与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相 交与 D,E （i）证明：MDME; （ii）记MAB,MDE 的面积分别是 12,S问：是否存在直线 l,使得 1273S ?请说明理由。 解 ：（）由题意知 .1
14、,2,2,23babaace 解 得又从 而 故 C1，C2 的方程分别为 .,1422xyx （） （i）由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 kxy. 由 12xyk 得0 . 设 2121,),(),(xyxBA则 是上述方程的两个实根，于是 .1,221xkx 又点 M 的坐标为（ 0，1） ，所以 2122121 )()(xkxkxyBA .2k 故 MAMB，即 MDME. （ii）设直线 MA 的斜率为 k1，则直线 MA 的方程为 1,12xykxky由 解得1,102kyx或 则点 A 的坐标为 ),(. 又直线 MB 的斜率为 1k， 同理可得点
15、B 的坐标为 ).,(21 于是 22 11 11| |2 |kSMAkk 由 04,2yxk 得 .08)(1 21x 解得 218,14kxy或 则点 D 的坐标为 2118(,).k 又直线 ME 的斜率为 k，同理可得点 E 的坐标为 ).4,8(2121k 于是 )4(1 |32|2121kMS . 因此 21124(7).6Sk 由题意知， 2 221 11(),4,.3k解 得 或 又由点 A、B 的坐标可知， 2113,.2kkk所 以 故满足条件的直线 l 存在，且有两条，其方程分别为 .xy和 33.（辽宁理 20） 如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O，长轴左、右端点
16、M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 lMN ，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按 纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D （I）设 12e ，求 与 的比值； （II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由 解：（I）因为 C1，C2 的离心率相同，故依题意可设2214:,:1,(0)xybyxCabaa 设直线 :(|)lt，分别与 C1，C2 的方程联立，求得22(,.bAtatBatb 4 分 当 13,ABey时 分 别 用 表示 A，B 的纵坐标，可知2|:| .4BAbBCDa 6 分 （I
17、I）t=0 时的 l 不符合题意. 0t时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN- 相等，即 22,battab 解得 221.abet a 因为 2|,0,1,1.t ee又 所 以 解 得 所以当 2e 时，不存在直线 l，使得 BO/AN； 当 1 时，存在直线 l 使得 BO/AN. 12 分 34.（全国大纲理 21） 已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 2:1yCx 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 -2的 直线 l与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 0.OABP （）证明：点 P 在 C 上； （）设点 P 关于点 O 的对称点为
18、Q，证明：A 、P、B、Q 四点在同一圆上 解： （I）F（0，1） ， l的方程为 21yx 代入 2yx 并化简得2410. 2 分 设 23(,)(,)(,)AxyBPxy 则 12 66,44121212,(),xyx 由题意得 312312 (),().xy 所以点 P 的坐标为 (,). 经验证，点 P 的坐标为 2(,1) 满足方程21,yx 故点 P 在椭圆 C 上。 6 分 （II）由 (,)2 和题设知， 2(,1)Q PQ 的垂直平分线 1l的方程为.2yx 设 AB 的中点为 M，则 21(,)4 ，AB 的垂直平分线为 2l的方程为21.4yx 由、得 12,l的交点
19、为 21(,)8N 。 9 分221223|()(),|1|,3|,43|()(),881|,NPABxMNAN 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径的圆上 12 分 35.（全国新课标理 20） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A（0，-1） ，B 点在直线 3y上，M 点满足 /BOA ，MA ，M 点的轨迹为曲线 C （I）求 C 的方程； （II）P 为 C 上动点， l为 C 在点 P 处的切线，求 O 点到 l距离的最小值 (20）解： (
20、)设 M(x，y)，由已知得 B(x，-3)，A(0，-1). 所以 MA ur =（-x，-1-y） ， B ur =(0，-3-y)， AB ur =(x，-2). 再由题意可知（ + ） =0， 即（-x，-4-2y） (x，-2)=0. 所以曲线 C 的方程式为 y= 14 x 2-2. () 设 P(x 0，y )为曲线 C：y= x 2-2 上一点，因为 y = 12 x，所以 l的斜率为 12 x 0 因此直线 l的方程为 00 1() ，即 200 则 O 点到 l的距离 20|4yxd .又 20x ，所以20202014(),xx 当 20 =0 时取等号，所以 O 点到
21、l距离的最小值为 2. 36.（山东理 22） 已知动直线 l与椭圆 C: 213xy 交于 P1,xy、Q 2,两不同点，且OPQ 的面积OPQS = 62 ,其中 O 为坐标原点. （）证明 21x 和 21y 均为定值; （）设线段 PQ 的中点为 M，求 |PQ的最大值； （）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G，使得 62ODEGOESS ?若存在，判断DEG 的形状；若不存在，请说明理由. （I）解：（1）当直线 l的斜率不存在时，P，Q 两点关于 x 轴对称， 所以 211,.xy 因为 ()P在椭圆上， 因此 213xy 又因为 6,2OPQS 所以 1 |.xy 由、得 11
22、6|,|.2 此时 2113,xy （2）当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 ,ykxm 由题意知 m 0，将其代入 213xy ，得22(3)6()0kx ， 其中 21,km 即 2k（*） 又 2121263(),kxxk 所以 222221163| ()4,kmPQx 因为点 O 到直线 l的距离为 2|,mdk 所以 1|2OPQSd22263|1kmk22|3mk 又 6,2OPQS 整理得 23,k 且符合（*）式， 此时 222211163()()(),kmxx k222211 13(4.3y x 综上所述， 22;,xy结论成立。 （II）解法一： （1）当直线 l的
23、斜率存在时， 由（I）知 11 6|,|2|,OMxPQy 因此 |.2 （2）当直线 l的斜率存在时，由（I）知13,xkm22212212222223() ,9161|() (3),4443()|(1) ,()yxkkmyOMkPQ 所以 222211| ()m 2221(3)5().4m 所以 5|2OMPQ ，当且仅当 22 13,m即 时，等号成立. 综合（1） （2 ）得|OM|PQ|的最大值为 5. 解法二： 因为 22222211114|()()()()OPQxyxy 220. 所以 224|102| 5.MPP 即 5|,OQ 当且仅当 2|OQ时等号成立。 因此 |OM|P
24、Q|的最大值为 . （III）椭圆 C 上不存在三点 D，E，G，使得 6.2ODEGOESS 证明：假设存在 12 (,),)(,)EEuvxy满 足 ， 由（I）得 222222111112 123,3;,;.5, , ,uxvvyyvyx解 得因 此 只 能 从 中 选 取 只 能 从 中 选 取 因此 D，E ，G 只能在 6(,) 这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点， 与 62ODEGOESS 矛盾， 所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D，E，G. 37.（陕西理 17） 如图，设 P 是圆 25xy 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的摄影，M 为
25、 PD 上一点，且45MD （）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； （）求过点（3，0）且斜率为 45 的直线被 C 所截线段的长度 解：（）设 M 的坐标为（ x,y）P 的坐标为（xp,yp） 由已知得 ,54xpy P 在圆上， 225xy ，即 C 的方程为 2156xy （）过点（3，0）且斜率为 4 的直线方程为 43 ， 设直线与 C 的交点为 12,AxyB 将直线方程 435y 代入 C 的方程，得2215x 即 2380x 12 3434, 线段 AB 的长度为22121 164155ABxyx 注：求 AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同
26、样得分。 38.（上海理 23） 已知平面上的线段 l及点 P，在 l上任取一点 Q，线段 P长度的最小值 称为点 P到线段 l的距离，记作 (,)d。 （1 ）求点 (,1)到线段 :305)lxyx的距离 (,)dl； （2 ）设 l是长为 2 的线段，求点集 |(,1DPl所表示图形的面积； （3 ）写出到两条线段 12,l距离相等的点的集合 12|(,)(,)Pll，其中12,lABlCD ， 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2 分， 6 分，8 分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 (1,3),0(1,3)(,0)。 2ABCD。 (,)
27、,(,),。 解： 设 3Qx是线段 :30(5)lxyx上一点，则22259|(1)(4)()P ，当 3x时，min,|5dl 。 设线段 的端点分别为 ,AB，以直线 为 x轴， AB的中点为原点建立直角坐标系， 则 (1,0)(,A，点集 D由如下曲线围成2:|:1(|)lyxlyx ， 21 2(),:1()CCyx 其面积为 4S。 选择 (,3)1,0(,3)(,0)ABD， (,)|0xy 选择 12C。(,)|0,(,)|4,0(,)|10,xyxyxyxyx 1 -1-1 1 y xO BA 选择 (0,1),(0,)2,ABCD。|01xyxyx2(,)|1,2(,)|4
28、23,2y 39.（四川理 21） 椭圆有两顶点 A（-1，0） 、B（1，0 ） ，过其焦点 F（0，1）的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点， 并与 x 轴交于点 P直线 AC 与直线 BD 交于点 Q （I）当|CD | = 32 时，求直线 l 的方程； （II）当点 P 异于 A、B 两点时，求证： OP 为定值。 解：由已知可得椭圆方程为 21yx ，设 l的方程为 1(0),ykx为 l的斜率。 DB=CA 1 2 2.5y x -2 x y -1 1 3 A B C D O OD C B A3 1-1 y x 则 1212 2222 41()0kykx yxkkx 2422 2
29、112889()() 2()()kxy kl 的方程为 x 40.（天津理 18）在平面直角坐标系 xOy中，点 (,)Pab0)为动点， 12,F分别为椭 圆 21xyab 的左右焦点已知 12F为等腰三角形 （）求椭圆的离心率 e； （）设直线 2PF与椭圆相交于 ,AB两点， M是直线 2PF上的点，满足 2AMB ， 求点 M的轨迹方程 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代 数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分 13 分. （I）解：设 12(,0)(,0)Fcc 由题意，可得 1|P 即 2().a
30、cb 整理得 210,1ca得 （舍） ， 或 .ca 所以 .e （II）解：由（I）知 2,3,acb 可得椭圆方程为 2341xy 直线 PF2 方程为 ().c A，B 两点的坐标满足方程组 22,3().xyc 消去 y 并整理，得 2580.c 解得 12 80,.5xc 得方程组的解 218,0,53.xcxyy 不妨设 83(,),(0)5AcBc 设点 M 的坐标为 83(,)(,),(,3)5xyAxycBMxyc则 ， 由 33(),.yc得 于是 8(,),155Ayxx,3).BMx 由 2,BM 即 883()155yyx ， 化简得 2610.x 将 283105
31、,.613xycxyc代 入 得 所以 0.x 因此，点 M 的轨迹方程是 2183150().xyx 41.（浙江理 21） 已知抛物线 1C: 3x y，圆 2: 2(4) 的圆心为点 M （）求点 M 到抛物线 1c的准线的距离； （）已知点 P 是抛物线 上一点（异于原点） ，过点 P 作圆 2c的两条切线，交抛物线 1c于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 l垂直于 AB，求直线 l的方程 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析 几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 1,4y 所
32、以圆心 M（ 0，4）到准线的距离是 17.4 （II）解：设 2221(,)(,)(,)PxAxB ， 则题意得 02， 设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 00()yxk， 即 20ykx 则 2 |4|1, 即 22000()()(4)1xkxkx ， 设 PA，PB 的斜率为 12,，则 2,k是上述方程的两根，所以20012122(4)(),.xxkk 将代入 20,y得 由于 0x是此方程的根， 故 120,kkx，所以 22001212 012 (4)4,.1AB MPxxx k 由 MPAB，得 2200(4)4(1)1AMPxxk ， 解得 203,5x 即点 P 的坐标为
33、 23(,)5 ， 所以直线 l的方程为 14.yx 42.（重庆理 20）如题（20）图，椭圆的中心为原点 O，离心率 e ，一条准线的方程为x （）求该椭圆的标准方程； （）设动点 P满足： OMN urur ，其中 ,是椭圆上的点，直线 OM与ON 的斜率之积为 ，问：是否存在两个定点 ,F，使得 PF为定值？若存在， 求 ,F的坐标；若不存在，说明理由 解：（I）由 2,cae 解得 22,acbac ，故椭圆的标准方程为21.4xy （II）设 12(,),)(,)PxMyNx，则由2O 得1212121(,),)(,)(,),.xyxyxy即 因为点 M，N 在椭圆 24 上，所以2124,xyxy ， 故 2112112()(4)xyy 2121240().yx 设 ,OMNk分别为直线 OM， ON 的斜率，由题设条件知12,yx 因此 12120,xy 所以 20. 所以 P 点是椭圆 221(5)()xy 上的点，设该椭圆的左、右焦点为 F1，F2，则由椭圆 的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因 22(5)(10)c ，因此两焦点的坐标为 12(0,)(1,0).F
