1、1 焦点三角形 焦点三角形问题是重要考点，考到的内容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公 式等。常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。 一：椭圆的焦点三角形 椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点 与椭圆上任意一点 为顶点组成的三角形。12,FP)0(12bayx 性质有： （1） 12|PFa （2） 2212124|coscPFPF （3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大. 证明：设 P 是椭圆 （ ， 为半焦距）上的一点，O 为原点，E、F2xyab0ab 是椭圆的两焦点， ， Emn 则 ，由余弦函数图象性质知 2224cos 1ncbFm
2、a 有最大值，当且仅当 P 在短轴端点时取到该最大值。E （4）设 为椭圆上的任意一点，角 ， ， ，则有离P12F21FP21F 心率 ， sin()e12sincoPSb=ta 证明：由正弦定理得： sini)80si( 12o 由等比定理得： sin)in121FF 而 ，si()si(21csin2i2aP 。n)ace 例题： 1、椭圆 的两个焦点 ，点 在椭圆上，且 21(,0)xyab12,FP .求椭圆的方程224,|,|3PFP2194xy 2 2、设 P 为椭圆 上一点，F 1、F 2 为焦点，如果 ，12byax)0(a 7521FP ，则椭圆的离心率为( )15F A
3、B C D3336 3、 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，且 ，则121792yxA02145FA 的面积为（ ）F A B C D74277 4、 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，且 ，则12 2156xyA1290,FA 到 轴的距离为x A B C D非上述答案6335or 5、设 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点， 是直角21F， 16 2yxP12,FP， 三角形的一个顶点，则 点到 轴的距离是P A. B. C. D. 非上述答案6353或 6、设 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点， 是是直21F， 219xyP12,FP， 角三角形的三个顶点，则
4、点到 轴的距离是P A. B. C. D. 非上述答案9454或 7、过椭圆左焦点 F，倾斜角为 的直线交椭圆于 A， B两点，若 FBA2，则椭圆的3 离心率为 （构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果） 8、已知 ， 点 为椭圆 的右焦点，且RtAB1,21(0)xyab 为经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。 9、已知椭圆 2(0)xyab 的左、右焦点分别为 12(,)(,Fc，若椭圆上存 在一点 P使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为( )1221sinsincFP A. B. C. D. ),2(),3()1,231,2( 二：双曲线的焦点三角形 双曲线的焦点三角形
5、是指以双曲线的两个焦点 与双曲线上任意一点 为顶点组成的12,FP 3 三角形。 21(0,)xyab 性质有： （1） 12|PFa （2） 2212124|coscPFPF （3）设 为椭圆上的任意一点，角 ， ， ，则121FP 有离心率 ( )， sin()e12insPFSb2=tab （4） 例题： 1、设 为双曲线 上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若P21yx12， ，则 的面积为（ ）2|:|3:F2PF A B C D634 2、已知 1,为双曲线 :xy的左右焦点，点 P在 C上， 12|FP，则2cosP A 4 B 5 C 34 D 45 3、双曲线 的焦点为 、 ，
6、点 M 在双曲线上且 ，则点 到 21yx1F2 120M 轴的距离为（ ） A. B. C. D.333 4、已知 、 为双曲线 C: 的左、右焦点，点 P 在 C 上， = ，1F221xy1FP206 则 P 到 x 轴的距离为 (A) (B) (C) (D) 366 5、设 F1，F 2 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上存在 21(0,)xyab 一点 P，使 ，O 为坐标原点，且 ，则该双曲线的2()OP12|3|PF 离心率为 A B C D313626 4 6、设点 P 是双曲线 21(,0)xyab 与圆 22xyab在第一象限的交点， F1、F 2 分别是双曲线的左
7、、右焦点，且 1|3|PF，则双曲线的离心率 A 5B 52C D 102 7、过双曲线 ( )的左焦点 (-c,0)作圆 的切线，切点 21xyab0,bxya 为 ，延长 交双曲线于点 ， 为原点，若 ，则双曲线的离心率EFPO 12E(OFP) 为 5 8、已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，点 为双曲线右12 2C:xyab0 支上一点，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲12|2F1 线的离心率为 53 9、已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在1F22:xyab0 一点 ，满足 ，则该双曲线的离心率范围为 P12|PF(1,3 10、已知 2,为离
8、心率为 的双曲线的左右焦点，点 P在 C上， 2|FP，则cos A 4 B 35 C D243 11、设 分别是双曲线 的左、右焦点若点 在双曲线上，且12F， 219yxP ，则 （ ）0P 12PF A B C D525 12、设 分别是双曲线 的左、右焦点， 是圆 与双12， 21xyab,AB2xyab 曲线左支的两个交点，且 为等边三角形，则该双曲线的离心率A A 5B C D35 13、已知 是双曲线 右支上一点， 、 分别是双曲线的左、P210,xyab1F2 右焦点， 为 的内心，若 成立，则该双曲线的离心率为I12F1212IPFIIFSS A. 4 B. C. 2 D.
9、2 14、已知 是双曲线 上一点， 、 分别是双曲线的左、右焦点，若P2143xy1 5 则 1|5PF2|19or 15、已知 是双曲线 上一点， 、 分别是双曲线的左、右焦点，若 24xy1F2 则 1|2| 练习：已知双曲线 （a0，b0）的两个焦点为 、 ，若双曲12 1(,0)Fc2(,) 线上存在一点 满足 则该双曲线的离心率的取值范围是 P21sin,Fc(1,2) 16、已知双曲线 （a0，b0）的两个焦点为 、 ，点 在双曲线第一象2yx 1F2A 限的图象上，若 的面积为 1，且 ， ，则双曲线1FAtan21Atan12 方程为 A B C D35122yx325yx53
10、 2yx 17、设 是双曲线 的左右焦点，过点 的直线与双曲线的右12,F21(0,)xyab2F 支交于 两点，若 是以 为直角顶点的等腰三角形，则 ,AB1Ae52 18、设 是双曲线 的左右焦点，过点 的直线与双曲线的左12,F21(0,)xyab1F 右支交于 两点，若 ，则双曲线的离心率是 AB2|:|3:45BFA13 19、如图设 是双曲线 的左右焦点， ， 为双曲12, (,)xyab12|4P 线右支上一点， 与 轴交于点 ， 的内切圆在边 上的切点为 ，若2P1P1PFQ ，则双曲线的离心率是|1PQ 6 (A) (B) (C) (D)3223 椭圆与双曲线的焦点三角形 例
11、题：若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 和 ，12nymx)0(21xyst)0,(ts1F2 而 是这两条曲线的一个交点，则 的值是( ) P21PF B. C. DAs)(2sms 例题：若椭圆 与双曲线 有相同的焦点，点 是两曲1xy210xynP 线的一个公共点，则 的面积是 2FP 例题：设 与 是曲线 的两个焦点，点 是曲线 与曲线121:C26xyM1C2: 的一个交点，求 的面积 23xy2M 例题：如图, 是椭圆 与双曲线 的公共焦点, 分别是 , 在21,F14:21yxC2CBA,1C2 第二、四象限的公共点.若四边形 为矩形,则 的离心率是BFA A.3B.6.2D 例题：已知点 是以 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且 ，P12, 12PF 分别为椭圆和双曲线的离心率，则12,e .21.4e12.Ce21.e 例题：已知点 是以 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且 ，2,F 120, 7 分别为椭圆和双曲线的离心率，则 的最大值为12,e 12e 43.A.B.3C.D 例题：已知 、 是椭圆和双曲线的公共焦点，点 为它们的一个公共点，1F2 P 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值是（ ）1260,P A. B. C. D.43332 提示： 12sin60isinisnisnmaac 例题：
