1、圆的培优专题训练系列 第 1 页 第 4 题 第 5 题 第 6 题 第 1 题 第 2 题 第 3 题 圆的培优专题 1与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，ABC 内有一点 D，DADBDC，若 DAB ， DAC ，2030 则 BDC . （ BDC BAC100 ） 12 2、如图，AEBEDEBCDC，若 C ，则 BAD . （ ）05 3、如图，四边形 ABCD 中，ABACAD， CBD ， BDC ，则230 BAD . （ BAD BAC CAD 40 60 100 ） 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如
2、图， ABCD 中，点 E 为 AB、BC 的垂直平分线的交点，若 D ，60 则 AEC . （ AEC2 B2 D120 ） 5、如图，O 是四边形 ABCD 内一点，OAOBOC， ABC ADC ，7 则 DAO DCO . （所求360 ADC AOC150 ） 6、如图，四边形 ABCD 中， ACB ADB ， ADC ，则 ABC .9025 （ ABC ADC25 ） 圆的培优专题训练系列 第 2 页 第 10 题 第 11 题 第 12 题 第 7 题 第 8 题 第 9 题 解题策略：第 6 题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到 ACBD 共圆. 二 运
3、用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为O 的直径，C 为 的中点，D 为半圆 上一点，则 ADC .ABAB 8、如图，AB 为O 的直径，CD 过 OA 的中点 E 并垂直于 OA，则 ABC . 9、如图，AB 为O 的直径， ，则 ABC .3C 答案：7、45 ； 8、30 ； 9、22.5 ； 10、40 ； 11、150 ； 12、110 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为O 的直径，点 C、D 在O 上， BAC ，则 ADC .50 11、如图，O 的半径为 1，弦 AB ，弦 AC ，则 BOC .23 12、
4、如图，PAB、PCD 是O 的两条割线，PAB 过圆心 O，若 ， P ，ACD30 则 BDC . （设 ADC ，即可展开解决问题）x 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形等腰三角形或直角三角形或等 腰 圆的培优专题训练系列 第 3 页 第 1 题 第 2 题 第 3 题 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ 圆的培优专题 2与垂径定理有关的计算 1、如图，AB 是O 的弦，OD AB，垂足为 C，交O 于点 D，点 E 在O 上，若 BED ，O 的半径为 4，则弦 AB 的长是 .30 略解：OD A
5、B，AB 2AC，且 ACO90 ， BED30 ， AOC2 BED60 OAC30 ，OC OA2，则 AC ，因此 AB . 12 2343 2、如图，弦 AB 垂直于O 的直径 CD，OA5，AB6 ，则 BC . 略解：直径 CD 弦 AB，AEBE AB=3 12 OE ，则 CE549253 BC 910 3、如图，O 的半径为 ，弦 AB CD，垂足为 P，AB8，CD6，则 OP .5 略解：如图，过点 O 作 OE AB，OF CD，连接 OB，OD. 则 BE AB4，DF CD3，且 OBOD 12 12 25 OE ，OF(5)()31 又 AB CD，则四边形 OE
6、PF 是矩形，则 OP22()15 圆的培优专题训练系列 第 4 页 第 4 题 第 5 题 第 6 题 4、如图，在O 内，如果 OA8，AB 12， A B ，则O 的半径为 .60 略解：如图，过点 O 作 OD AB，连接 OB，则 AD AB4，因此，BD8，OD 12 43 OB .2(43)7 5、如图，正ABC 内接于O，D 是O 上一点， DCA ，CD10，则 BC 15 略解：如图，连接 OC，OD，则 ODC OCD ABC 为等边三角形，则 OCA OCE30 ， ODC OCD45 OCD 是等腰三角形，则 OC 52 过点 O 作 OE BC，则 BC2CE6 6
7、、如图，O 的直径 AB4，C 为 的中点，E 为 OB 上一点， AEC ，CE 的延AB0 长线交O 于点 D，则 CD 略解：如图，连接 OC，则 OC2 C 为 的中点，则 OC AB，又 AEC ， OCE30AB60 如图，过点 O 作 OF CD，则 OF OC1，CF ，CD2CF 12 323 7、如图，A 地测得台风中心在城正西方向 300 千米的 B 处， 并以每小时 千米的速度沿北偏东 的 BF 方向移10760 动，距台风中心 200 千米范围内是受台风影响的区域. 问：A 地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求 出受影响的时间？ 解：如图，过点 A 作 AC B
8、F 交于点 C， ABF30 ，则 AC AB150 200，因此 A 地会受到这次台风影响； 12 圆的培优专题训练系列 第 5 页 如图，以 A 为圆心 200 千米为半径作A 交 BF 于 D、E 两点，连接 AD， 则 DE2CD2 ，201507 所以受影响的时间为 （时） 圆的培优专题 3圆与全等三角形 1、如图，O 的直径 AB10，弦 AC6， ACB 的平分线交 O 于 D，求 CD 的长. 解：如图，连接 AB，BD，在 CB 的延长线上截取 BEAC，连接 DE ACD BCD，ADBD 又 CAD EBD，ACBE CADEBD（SAS） CDDE， ADC BDE A
9、B 为O 的直径，则 ACB ADB90 BC ； ADC CDB CDB BDE90 ，即 CDE2106890 CDE 是等腰直角三角形且 CE14，CD 72 2、如图，AB 是O 的直径，C 是半圆的中点，M、D 分别是 CB 及 AB 延长线上一点，且 MAMD ，若 CM ，求 BD 的长.2 解：如图，连接 AC，则 ACBC， C90 ，即ABC 是等腰直角三角形 过点 M 作 MNAD，则 NMA MAD 则CMN 也是等腰直角三角形，则 MN CM 2 ANC MBD135 ， 又 MAMD ， D NMA MAD AMNBMD （AAS） BDMN2 3、如图，AB 为O
10、 的直径，点 N 是半圆的中点，点 C 为 上一点，NC .AN3 求 BCAC 的值. 解：如图，连接 AN，BN，则ABN 是等腰直角三角形 在 BC 上截取 BDAC，连接 DN ANBN， CAN DBN，ACBD ACNBDN（SAS ） 圆的培优专题训练系列 第 6 页 CNDN， CNA DNB， CND CNA AND ADN DNB90 ，即CND 是等腰直角三角形 CD NC ，26 BCAC BCBDCD 4、如图，点 A、B、C 为O 上三点， ，点 M 为 上一点，CE AM 于 E，ACBAC AE5，ME3，求 BM 的长. 解：如图，在 AM 上截取 ANBM，
11、连接 CN，CM. ，ACBC，又 A BA ACNBCM（SAS） CNCM ，又 CE AM NEME3， BMANAENE2 5、如图，在O 中，P 为 的中点，PD CD，CD 交O 于 A，若 AC3，AD1，ABC 求 AB 的长. 解：如图，连接 BP、CP ，则 BPCP ， B C 过点 P 作 PE AB 于点 E，又 PD CD BEP CDP BEPCDP （AAS） BECD3+14，PE PD 连接 AP，则 RtAEPRtADP （HL ） ，则 AEAD1 ABAE+BE5 6、如图，AB 是 O 的直径，MN 是弦，AE MN 于 E，BF MN 于 F，AB
12、10，MN8. 求 BFAE 的值. 解：AE MN，BF MN，则 AEBF ， A B 如图，延长 EO 交 BF 于点 G， 则 AOE BOG，AOBO 圆的培优专题训练系列 第 7 页 AOE BOG（AAS） ，则 OEOG 过点 O 作 OH MN，FG2OH，HN4 连接 ON，则 ON5，OH ，则 BGAE FG6.23 圆的培优专题 4圆与勾股定理 1、如图，O 是BCN 的外接圆，弦 AC BC，点 N 是 的中点， BNC ，AB60 求 的值. BNBC 解：如图，连接 AB，则 AB 为直径， BNA90 连接 AN，则 BNAN，则ABN 是等腰直角三角形 BN
13、 AB；又 BAC BNC ，260 BC AB， （方法 2，过点 B 作 BD CN，即可求解）32 BNBC 3 2、如图，O 的弦 AC BD，且 ACBD，若 AD ，求O 半径. 解：如图，作直径 AE，连接 DE，则 ADE90 又 AC BD，则 ADB DAC ADB EDB90 DAC EDB，则 ， ，ACDBEAC ACBD， ，则 ADDE，即ADE 是等腰直角三角形 AE AD4，即O 的半径为 22 3、如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 CB 延长线上一点，且 CAD ，5 CE AB 于点 E，DF AB 于点 F. （1）求证：CEEF；（2
14、）若 DF2，EF4，求 AC. （1）证： AB 为O 的直径， CAD ，5 则ACD 是等腰直角三角形，即 ACDC 又 CE AB，则 CAE ECB 圆的培优专题训练系列 第 8 页 如图，过点 C 作 CG 垂直 DF 的延长线于点 G 又 CE AB，DF AB，则四边形 CEFG 是矩形， AEC DGC90 EFCG，CEDG，则 ECB CDG CAE ACEDCG（AAS ） ，则 CECGEF （2）略解：ACCD .24613 4、如图，AB 为O 的直径，CD AB 于点 D，CD 交 AE 于点 F， .ACE （1）求证：AFCF； （2）若O 的半径为 5，
15、AE8，求 EF 的长 （1）证：如图，延长 CD 交O 于点 G，连接 AC 直径 AB CG，则ACE CAE ACG，则 AFCF （2）解：如图，连接 OC 交 AE 于点 H，则 OC AE，EHAH AE=4 12 OH ，则 CH532254 设 HF ，则 CFAF4xx 则 ， ，即 HF22() EF 1 5、如图，在O 中，直径 CD 弦 AB 于 E，AM BC 于 M，交 CD 于 N，连接 AD. （1）求证：ADAN； （2）若 AB ，ON1，求O 的半径.42 （1）证：CD AB，AM BC C CNM C B90 B CNM， 又 B D， AND CNM
16、 D AND，即 ADAN （2）解：直径 CD 弦 AB，则 AE2 圆的培优专题训练系列 第 9 页 又 ANAD，则 NEED 如图，连接 OA，设 OE ，则 NEED x1x OAOD 21 ，则22()()x O 的半径 OA3 圆的培优专题 5圆中两垂直弦的问题 1、在O 中，弦 AB CD 于 E，求证： AOD BOC .180 证：如图，连接 AC， AB CD，则 CAB ACD90 又 AOD2 ACD， BOC2 BAC AOD BOC .180 2、在O 中，弦 AB CD 于点 E，若O 的半径为 R，求证： AC2BD 24R 2. 证：AB CD，则 CAB
17、ACD90 如图，作直径 AM，连接 CM 则 ACM ACD DCM90 CAB DCM， ABCDM ， CMBD AC 2CM 2AM 2 AC 2BD 24R 2. 3、在O 中，弦 AB CD 于点 E，若点 M 为 AC 的中点，求证 ME BD. 证：如图，连接 ME，并延长交 BD 于点 F AB CD，且点 M 为 AC 的中点 ME 为 RtAEC 斜边上的中线 AMME 圆的培优专题训练系列 第 10 页 A AEM BEF 又 B C， A C90 BEF B90 ，即 BFE90 ME BD. 4、在O 中，弦 AB CD 于点 E，若 ON BD 于 N，求证：ON
18、 AC.12 证：如图，作直径 BF，连接 DF， 则 DF BD，又 ON BD， ONFD，又 OBOF ON DF12 连接 AF，则 AF AB，又 CD AB AFCD ，则 AC FDACFD ON AC12 5、在O 中，弦 AB CD 于点 E，若 ACBD，ON BD 于 N，OM AC 于 M. （1）求证：ME ON；/ （2）求证：四边形 OMEN 为菱形. 证：（1）如图，延长 ME 交 OD 于点 F OM AC，则点 M 为 AC 的中点 AB CD，则 ME 为 RtACE 的斜边上中线 AMEM， A AEM BEF 又 B C， A C90 B BEF90
19、，则 BFE90 MF BD，又 ON BD MFON 圆的培优专题训练系列 第 11 页 （2）由（1）知 MFON ，同理可证 OMNE， 四边形 OMEN 是平行四边形 ACBD，OMON 四边形 OMEN 为菱形. 圆的培优专题 6圆与内角（外角）平分线 一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形 1、如图，O 为ABC 的外接圆，弦 CD 平分 ACB， ACB .90 求证：CACB CD.2 证：如图，在 CA 的延长线上截取 AEBC，连 DE，AD，BD CD 平分 ACB，ADBD 又 DAE DBC，AEBC DAE DBC（SAS） CDDE，又
20、ACD45 CDE 是等腰直角三角形，则 CACBCE CD.2 2、如图，O 为ABC 的外接圆，弦 CD 平分 ACB， ACB ，求 的值.10 CA+CBCD 解：如图，在 CA 的延长线上截取 AEBC，连 DE，AD，BD CD 平分 ACB，ADBD 又 DAE DBC，AEBC DAE DBC（SAS） CDDE，又 ACD60 CDE 是等边三角形 CDCECABC ，即 1 CA+CBCD 3、如图，过 O、M 的动圆 交 轴、 轴于点 A、B，求 OAOB 的值.(1,)Oyx 解：如图，过点 M 作 ME 轴，MF 轴，连 AM、BM 圆的培优专题训练系列 第 12 页
21、 由 M（1，1）知：四边形 OFME 是正方形 OEOF4，EMFM，又 MBF MAE， AEMBFM（AAS） ，则 AEBF OAOBAEOEOFBF8. 二 圆中的外角问题往往与线段的差有关 4、如图，O 为ABC 的外接圆，弦 CP 平分ABC 的外角 ACQ， ACB .90 求证：（1） ；（2）ACBC PC.APB2 证：（1）如图，连接 AP，则 PCQ PAB 又 PCQ PCA，则 PAB PCA A （2）连接 BP，由（1）得，PAPB 在 AC 上截取 ADBC，连 PD，又 PAD PBC PADPBC（SAS ） ，则 PDPC 又 PCD45 ，则 PCD
22、 是等腰直角三角形，ACBCCD PC. 2 5、如图，O 为ABC 的外接圆，弦 CP 平分ABC 的外角 ACQ， ACB .10 求 的值. BC ACPC 解：如图，在 BC 上截取 BDAC，连 AP、BP、DP PCB PCQ PBA APBP，又 CAP DBP CAP DBP（SAS） ，则 CPDP 又 ACB120 ， PCD30 ， BC ACPC CDPC 3 6、如图，A ，B ， 经过 A、B、O 三点，点 这 P 为 上动点（异于(4,0)(,)1 AO O、A）. 求 的值. PB PAPO 圆的培优专题训练系列 第 13 页 第 6 题 解：如图，在 BP 上
23、截取 BCAP A ，B ，则 OAOB4(4,0)(,) 又 OAP OBC OAP OBC（SAS） OCOP ，且 COP AOB90 ，则 . PB PAPO PCPO 2 圆的培优专题 7与切线有关的角度计算 一 切线与一个圆 答案：1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；6、08013045 1、如图，AD 切O 于 A，BC 为直径，若 ACB ，则 CAD .2 2、如图，AP 切O 于 P，PB 过圆心，B 在O 上，若 ABP ，则 APB . 3、如图，PA、PB 为O 的切线， C 为 上一点，若 BCA ，则 APB .A50 4、如图，PA、PB 为O 的切线， C
24、 为 上一点，AB 若 BCA ，则 APB .150 5、如图，点 O 是ABC 的内切圆的的圆心，若 BAC ，则 BOC .8 6、如图，PA 切O 于 A，若 PAAB，PD 平分 APB 交 AB 于 D，则 ADP . （设元，列方程） 二 切线与两个圆 7、如图，两同心圆的圆心为 O，大圆的弦 AB、AC 分别切小圆于 D、E，小圆的 的度数为 ，A10 则大圆的 的度数为 .ABC 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题 第 7 题 第 8 题 第 9 题 圆的培优专题训练系列 第 14 页 8、如图，O 1 和O 2 交于 A、B 两点，且点 O1 在O
25、2 上，若 D ，则 C 10 9、如图，O 1 和O 2 外切于 D，AB 过点 D，若 AO2D ，C 为优弧 上任一点，AB 则 DCB . 答案：7、 ；8、40 ； 9、 （过点 D 作两圆的切线）14050 圆的培优专题 8与切线有关的长度计算 1、如图，在O 的内接ACB 中， ABC ，AC 的延长线与过点 D 的切线 BD 交于3 点 D，若O 的半径为 1，BD OC，则 CD . （CD ）/ 3 2、如图ABC 内接于O，ABBC，过点 A 的切线与 OC 的延长线交于 D， BAC ，75 CD ，则 AD . （AD3）3 3、如图，O 为BCD 的外接圆，过点 C
26、 的切线交 BD 的延长线于 A， ACB ，75 ABC ，则 的值为 . （ ）45 CDDB CDDB 2 4、如图，AB 为O 的直径，弦 DC 交 AB 于 E，过 C 作O 的切线交 DB 的延长线于 M， 若 AB4， ADC ， M ，则 CD . （CD ）45723 5、如图，等边ABC 内接于O，BD 切O 于 B，AD BD 于 D，AD 交O 于 E，O 的半径为 1，则 AE . （AE 1） 6、如图，ABC 中， C ，BC5，O 与 ABC 的三边相切于 D、E 、F ，若O90 的 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 圆的培优专题训练系列 第 1
27、5 页 半径为 2，则ABC 的周长为 . （C30） 7、如图，ABC 中， C ，AC12，BC16，点 O 在 AB 上，O 与 BC 相切于90 D， 连接 AD，则 BD . （示：过 D 作 DE AB，设 CDDE ，BD10）x 解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程. 圆的培优专题 9圆的切线与垂径定理 1、如图，AB 为O 的直径，C 为 的中点，CD BE 于 D.AE （1）判断 DC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 DC3，O 的半径为 5，求 DE 的长. 解：（1）DC 是O 的切线，理由如下： 如图，连接 OC，BC，则 A
28、BC CBD OCB OCBD，又 CD BE OC CD，又 OC 为O 的半径 DC 是O 的切线 （2）如图，过 O 作 OF BD，则四边形 OFDC 是矩形，且 BEEF OFCD 3，DF OC 5， EFBF ，DE DFEF 124 2、如图，AB 为O 的直径，D 是 的中点，DE AC 交 AC 的延长线于 E，O 的切线ABC BF 交 AD 的延长线于点 F. （1）求证：DE 为O 的切线； （2）若 DE3，O 的半径为 5，求 DF 的长. 第 5 题 第 6 题 第 7 题 圆的培优专题训练系列 第 16 页 （1）证：显然， CAD OAD ODA ODAE，
29、又 DE AC， OD DE，又 OD 为O 半径 DE 为O 的切线 （2）解：如图，过点 O 作 OG AC，则 OGDE 是矩形，即 OGDE3，DEOD5 AG ，则 AE549，2532910 连接 BD，则 BD AD，BD210(3) 设 DF ，则 BF ，DF .x22()210x3x 3、如图，四边形 ABCD 内接于O，BD 是O 的直径，AE CD 于 E，DA 平分 BDE. （1）求证：AE 是O 的切线； （2）若 AE2，DE1，求 CD 的长. （1）证：如图，连接 OA，则 ADE ADO OAD OACD，又 AE CD OA AE，又 OA 为O 的半径
30、 AE 是O 的切线 （2）解：如图，过点 O 作 OF CD，则 CD2DF，且四边形 OFEA 是矩形 EFOAOD， OFAE2 设 DF ，则 ODEFx1x ，22().5 CD2CF 3 4、如图，AE 是O 的直径，DF 切O 于 B，AD DF 于 D，EF DF 于 F. （1）求证：EFADAE； （2）若 EF1，DF 4，求四边形 ADFE 的周长. （1）证：如图，连接 CE，则四边形 CDFE 是矩形 圆的培优专题训练系列 第 17 页 连接 OB 交 CE 于点 G， DF 是O 的切线 OB DF，OB CE BGCDEF ，OGAC，又 AOOE AC2OG
31、EFADACCDEF 2OG2BG2OBAE. （2）解：显然 CEDF4， CDEF 1 设 AC ，则 AD ，AExx2x ，则 ，则 AC3，AD4，AE 522() 四边形 CDFE 的周长为 14. 圆的培优专题 10圆的切线与勾股定理 1、如图，已知点 A 是O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于点 B，OCBC， AC OB.2 （1）求证：AB 是O 的切线；（2）若 ACD ，OC2，求弦 CD 的长.45 （1）证：OCOB， AC 为 OAB 的 OB 边上的中线，又 AC OB1 OAB 是直角三角形，且 OAB90 ，又 OA 为O 的半径 AB 是
32、O 的切线 （2）解：显然，OAOCAC，即OAC 是等边三角形 AOC60 ， D30 如图，过点 A 作 AE CD 于点 E， ACD45 ， AEC 是等腰直角三角形， AECE AC OC ，DE AE2236 圆的培优专题训练系列 第 18 页 CD 62 2、如图，PA、PB 切O 于 A、B，点 M 在 PB 上，且 OM AP，MN AP 于 N./ （1）求证：OMAN；（ 2）若O 的半径 ，PA9，求 OM 的长.3r （1）证：如图，连接 OA，PA 为O 的切线， OA AP，又 MN AP OAMN，又 OM AP，/ 四边形 OANM 是矩形，即 OMAN （2
33、）解：如图，连接 OB，PB、PA 为O 的切线 OBM MNP90 ，PBPA9 OM AP， OMB P，又 OBOAMN，OBM/ MNP（ AAS） OMPM，则 32OM 2（9OM ） 2，OM5 3、如图，AB 为O 的直径，半径 OC AB，D 为 AB 延长线上一点，过 D 作O 的切线， E 为切点，连接 CE 交 AB 于 F. （1）求证：DEDF；（2）连接 AE，若 OF1，BF3，求 DE 的长. （1）证：如图，连接 OE PE 为O 的切线， OE DE，又 OC AB C CFO OEF DEF90 又 C OCF， CFO DFE DEF DFE，DEDF
34、 （2）解：显然，OEOB OFBF4 设 BD ，则 DEDF ，ODx3x4x ，22(3)().5 DE7.5 圆的培优专题训练系列 第 19 页 4、如图，正方形 ABCO 的顶点分别在 轴、 轴上，以 AB 为弦的M 与 轴相切于 F，yxx 已知 A ，求圆心 M 的坐标.(0,8) 解：如图，连接 FM 交延长交 AB 于点 E M 与 轴相切，即 OC 是M 的切线x EF OC， 又四边形 ABCO 是正方形 EF AB， 又 A（0，8）即 ABEMOA 8 AE4 设 MFAM ，则 EM8xx ， ，即 MF522(8) 点 M 的坐标为（4，5） 圆的培优专题 11圆
35、的切线与全等三角形 1、如图，BD 为O 的直径，A 为 的中点，AD 交 BC 于 E，过 D 作O 的切线，交ABC BC 的延长线于 F. （1）求证：DFEF；（2）若 AE2，DE4，求 DB 的长. （1）证：如图，连接 AB BD 为O 的直径，DF 为O 的切线 BAD BDF90 ABC AEB ADB FDE90 又 ABC ADB， AEB DEF DFE DEF，DEEF （2）解：如图，过点 F 作 FG ED，则 EGGD2AE， 又 BAE FGE90 ， AEB GEF， ABEGFE（ASA） ， BEEF，即 DE 为 RBDF 的斜边上中线 圆的培优专题训
36、练系列 第 20 页 DFEF DE 4，BF8，则 BD 43 2、如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 的一点，OC AD，CF DB 于 F. （1）求证：CF 为O 的切线；（2）若 BF1，DB 3，求O 的半径. （1）证：AB 为O 的直径 DF AD，又 OC AD OCDF ，又 CF DB OC CF，又 OC 为O 的半径 CF 为O 的切线 （2）解：如图，过点 C 作 CE BD 于点 E， 则 BEDE1.5，EF2.5 又 OC CF，CF EF 四边形 OCFE 是矩形 O 有半径 OCEF 2.5 3、如图，以O 的弦 AB 为边向圆外作正方形 ABCD.
37、 （1）求证：OCOD ； （2）过 D 作 DM 切O 于 M，若 AB2，DM ，求O 的半径.2 （1）证：如图，连接 OA、OB，则 OAOB OAB OBA 四边形 ABCD 是正方形 ADBC ， DAB CBA90 OAD OBC OADOBC（SAS ） OCOD （2）解：如图，连接 OM、BD，则 OM DM，且 BD AB DM2 又 OMOB，OD OD，ODMODB （SSS） OB BD，又 ABD45 OAB45 ，即 OAB 是等腰直角三角形 OA AB2 圆的培优专题训练系列 第 21 页 4、如图，在ABC 中，ACBC， ACB ，以 BC 为直径的O 交
38、 AB 于 D.90 （1）求证：ADBD；（2）弦 CE 交 BD 于 M，若 ，求 .3ABCMSA BDCE （1）略证：连接 CD，则 CD AB 又 ACBC， ACB ，ADBD90 （2）解：如图，连接 BE，过 A 作 AN CE 于 N， ，3ABCMS2CBMSA AN2BE CAN BCE，ACBC ， ANC CEB ANCCEB（AAS） BECN，CEAN 设 CNBE ，则 CEANBE ，x2x BC ，AB BC ，即 BD510102x . BDCE 104 圆的培优专题 12圆的切线与等腰三角形 1、如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与边
39、 BC 交于 D，与边 AC 交于 E， 过 D 作 DF AC 于 F. （1）求证：DF 为O 的切线；（2）若 DE ，AB 5，求 AE 的长. （1）证：如图，连接 AD，OD， AB 为O 的直径， AD BC，又 ABAC，OAOB EAD DAB ADO ODAC，又 DF AC OD DF，又 OD 为O 的直径 DF 为O 的切线 圆的培优专题训练系列 第 22 页 （2）解： EAD DAB，BDDE ，又 AB5，AD25()5 DFAC AD CD，DF 2，CF EF ，AE52352()1 2、如图，在ABC 中，ABAC，以边 AB 为直径作 O，交 BC 于
40、D，过 D 作 DE AE. （1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接 OC，若 CAB ，求 的值.0 DEOC （1）证：如图，连接 AD，OD，则 AD BC 又 ABAC，CDBD，又 AOOB ODAC，又 DE AE OD DF，DE 是O 的切线； （2）解：如图，过点 O 作 OF BD 于 F，则 BD2BF ABAC， CAB ， B30120 设 OF ，则 BF ，OB ，x3x ACAB ， CDBD ，则 CF43x 由勾股定理，得 OC ，由面积法，得 DE ， .27x DEOC 214 3、如图，ABAC，点 O 在 AB 上，O 过点 B，分别交 BC 于
41、 D、AB 于 E，DF AC. （1）证：DF 为O 的切线；（2）若 AC 切O 于 G， O 的半径为 3，CF 1，求 AC. （1）证：如图，连接 OD， ABAC，OBOD B C ODB ODAC，又 DF AC OD DF，又 OD 为O 的半径 DF 为O 的切线 （2）解：如图，连接 OG，AC 为O 的切线 OG AC，又 OD DF，DF AC，OGOD 四边形 ODFG 是正方形，即 OBOGGF3 圆的培优专题训练系列 第 23 页 设 AG ，则 ABAC ，则 AOx4x1x ， ，则 AC8232(1) 4、如图，CD 是O 的弦，A 为 的中点，E 为 CD
42、 延长线上一点，EG 切O 于 G.CD （1）求证：KGGE；（2）若 AC EG， ，AK ，求O 的半径./ DKCK 35 210 （1）证：如图，连接 OG，OA 交 CD 于点 F A 为 的中点，EG 是O 的切线 OA CD，OG GE OAG AKF OGA EGK 又 OAG OGA， AKF EKG EGK EKG KGGE （2）解：ACEG， CAK EGK，又 EGK EKG CKA CAK CKA，CACK 设 CKCA ，则 DK ，CD ，CF ，EG5x3x8x4x AF 2()4 在 RtAFK 中， ，22(10) CE8，AE6， 设O 的半径为 R，
43、则 R28 2（R 6） 2， R 253 圆的培优专题 13圆与三角形的内心 1、如图，AB 是O 的直径， ，点 M 为 BC 上一点，且 CMAC.ACE （1）求证：M 为ABE 的内心；（2）若O 的半径为 5，AE 8，求BEM 的面积. （1）证：如图，连接 CE，则 ACCE CM CME CEM， CEA CBE CBE BEM CEA AEM AEM BEM，又 ABC CBE 点 M 为ABE 的内心. 圆的培优专题训练系列 第 24 页 （2）解：如图，过点 M 作 MN BE 于点 N，则 MN 为ABE 的内切圆的半径. AB10，AE 8，则 BE 21086 MN ， MN 2 61022abca BME 的面积
