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1、第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设 成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标 0,xy （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

2、 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： 直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助 变量的方程（组） ，运用方程思想求解。 二、典型例题： 例 1：已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 的直线 与 相 2:10xyCab3FlC 交于 两点，当 的斜率为 时，坐标原点 到 的距离为 。 ,ABl Ol2 （1）求 的值 ,ab （2） 上是否存在点 ，使得当 绕 旋转到某一位置时，有 成

3、立？若CPlFPOAB 存在，求出所有的 的坐标和 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） 3:3:21ceabc 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 则 ，依题意可得： ，当 的斜率为 时3,2acb,0Fcl1 : 0lyxyc 解得： 2Olcd1 椭圆方程为： 3,ab23xy （2）设 ，0,Pxy12,AyB 当 斜率存在时，设 l:lkx O012y 联立直线与椭圆方程： 消去 可得： ，整理可得：236 kxy22316xk 22360kxk 12312122264kkykx 因为 在椭圆上2264,3kPP 22 63kk 2 24 2786436kk 22kk 当 时

4、， ， :1lyx2,P 当 时， ，2k:2l3, 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 当斜率不存在时，可知 ， ，则 不在椭圆上:1lx2323,1AB2,0P 综上所述： ， 或 ，:2ly,P:1lyx3, 例 2：过椭圆 的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 为其2:10xab2F,AB1F 左焦点，已知 的周长为 8，椭圆的离心率为1AFB3 （1）求椭圆 的方程 （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ，,PQ 且 ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由OPQ 解：（1）由 的周长可得：1AFB482a 32cea21bc 椭圆 :14

5、xy （2）假设满足条件的圆为 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内22xyr01r 若直线 斜率存在，设 ，PQ:Pkm12,PxyQ 与圆相切 22Oldrk 即0OP120xy 联立方程： 24 ykxm24840kmx 212128,xxkk2212111ymxx 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 2 212121xykxkmx 22 2484km 2541k 对任意的 均成立20mk,m 将 代入可得：r225140rk 22541k 存在符合条件的圆，其方程为： 25xy 当 斜率不存在时，可知切线 为PQPQ 若 ，则2:5x22,55 符合题意0O:x 若 ，同

6、理可得也符合条件2:5PQx 综上所述，圆的方程为： 245xy 例 3：已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，左，右焦点分别为 210ab,312 和1,0Fc2, （1）求椭圆 的方程C （2）设椭圆 与 轴负半轴交点为 ，过点 作斜率为 的直线 ，交椭xA4,0M0kl 圆 于 两点（ 在 之间） ， 为 中点，并设直线 的斜率为,BD,NBDON1k 证明： 为定值1k 是否存在实数 ，使得 ？如果存在，求直线 的方程；如果不存在，请说明1FAl 理由 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 解：（1）依题意可知： 可得：12cea:2:31bc 椭圆方程为： ，代入 可得：243xyc0

7、, 椭圆方程为： 21 （2） 证明：设 ，线段 的中点12,BxyDB0,Nxy 设直线 的方程为： ，联立方程：l 4k 化为：2 431ykx22236410xk 由 解得： 且024k 221213,3kxk 212063x024y 104ykxk13k 假设存在实数 ，使得 ，则1FNAD1FNADk1 20 2436FNykkx22AD 1 2441FNAkxk 即 22222688xkxk 因为 在椭圆上，所以 ，矛盾D2,x 所以不存在符合条件的直线 l 例 4：设 为椭圆 的右焦点，点 在椭圆 上，直线F2:10yEab31,2PE 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何

8、与以原点为圆心，以椭圆 的长半轴长为半径的圆相切0:3410lxyE （1）求椭圆 的方程E （2）过点 的直线 与椭圆相交于 两点，过点 且平行于 的直线与椭圆交于另Fl,ABPAB 一点 ，问是否存在直线 ，使得四边形 的对角线互相平分？若存在，求出 的方QQl 程；若不存在，说明理由 解：（1） 与圆相切0l 25Oldr2a 将 代入椭圆方程 可得：31,P214xyb3 椭圆方程为： 23 （2）由椭圆方程可得： 1,0F 设直线 ，则:lykx3:12PQykx 联立直线 与椭圆方程： 消去 可得：2 134xyy2243840kxk22221811k221 243kABxk 同理

9、： 联立直线 与椭圆方程：PQ 消去 可得：2 3134ykxy22243814130kxkxk222222814k 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何222141433kPQkk 因为四边形 的对角线互相平分AB 四边形 为平行四边形PQ222141433kkk 解得： 存在直线 时，四边形 的对角线互相平分:40lxyPABQ 例 5：椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为 ， 为椭圆 2:1Cab12,FAP 上任意一点，且 的最大值的取值范围是 ，其中112PF,3c2cab （1）求椭圆 的离心率 的取值范围e （2）设双曲线 以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点， 是双曲线 在第一象

10、限上任2C1 B2C 意一点，当 取得最小值时，试问是否存在常数 ，使得 恒成e 011AFB 立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设 12,0,PxyFc2Fcxy21xyc 由 可得： 代入可得： 2ab22bxa2222221 1cPFxycxbca ,a212maxPFb 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 22222334cacbca2114ee （2）当 时，可得：2,3acb 双曲线方程为 ， ，设 ，213xyc1,0,AFc0,Bxy0,y 当 轴时，AB00,c 因为1tan3Fc14B12A12 所以 ，下面证明 对任意 点均使得 成立211BF

11、 考虑 10 01tan,tanAByyFkAkxcxc0011 222 00tanta2 yxcc 由双曲线方程 ，可得： 23xyc2203yx 222200000042ccxcx01 100tan tanyxyBFABAFcx112 结论得证 时， 恒成立11BAF 例 6：如图，椭圆 的离心率是 ，过点 的动直线 与 2:0xyEab20,1Pl 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 椭圆相交于 两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得的线段长为,ABlxlE2 （1）求椭圆 的方程E （2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使得对于任意直线 ，xOyPQl

12、恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由QAPBQ 解：（1） 2cea:2:1abc 椭圆方程为21xyb 由直线 被椭圆 截得的线段长为 及椭圆的对称性可得：lE2 点 在椭圆上2,1 2bb24a 椭圆方程为14xy （2）当 与 轴平行时，由对称性可得：l PAB 即1QAPBAQB 在 的中垂线上，即 位于 轴上，设y0,y 当 与 轴垂直时，则lx0,2, 21,1PAB002,2QAyBy 可解得 或02 yQ010 不重合 ,002 下面判断 能否对任意直线均成立,Q 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 若直线 的斜率存在，设 ，l:1lykx12,AyBx

13、联立方程可得： 22440xk 由 可想到角平分线公式，即只需证明 平分QAPBQPBA 只需证明0AQBAQBkk 12,xy12,QAQBykkx 2112212121AByxyxyx 因为 在直线 上， 代入可得：12,xyk12kyx2112112QABkxxk 联立方程可得： 22440ykkx12122,x2401QABkkk 成立0AB 平分 由角平分线公式可得：PQAPB 例 7：椭圆 的上顶点为 ， 是 上的一点，以 为 2:10xyCab4,3bCAP 直径的圆经过椭圆 的右焦点 F （1）求椭圆 的方程 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 （2）动直线 与椭圆 有且

14、只有一个公共点，问：在 轴上是否存在两个定点，它们到直lCx 线 的距离之积等于 1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由l 解：由椭圆可知： 0,AbFc 为直径的圆经过 PP F4,3bcc2224003bc 由 在椭圆上，代入椭圆方程可得：,P2221619baa22403ccb 椭圆方程为21xy （2）假设存在 轴上两定点 ，12,0,M12 设直线 :lykxm 所以依题意：1 2122,1Ml Mlkdd 12 2 21 1222 1llkkmk 因为直线 与椭圆相切， 联立方程：222140ykxmkxk 由直线 与椭圆相切可知l 2221m 化简可得： ，代入

15、可得：21k 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何2 211 2 22112 1kmkkmkk ，依题意可得：无论 为何值，等式均成立21120,11220 所以存在两定点： 12,0M 例 8：已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 是 上任意一点， 是坐2:4Cxy12,FP1CO 标原点， ，设点 的轨迹为12OQPFQ2C （1）求点 的轨迹 的方程 （2）若点 满足： ，其中 是 上的点，且直线TMNO,MN2 的斜率之积等于 ，是否存在两定点，使得 为定值？若存在，求出,OMN14TAB 定点 的坐标；若不存在，请说明理由AB （1）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则Q,xyP0,

16、xy2041y 由椭圆方程可得： 123,0,F 且12OP10203, ,xyPFxy 代入到 可得：0,Qxy022xyy2041xy214y （2）设点 ，,Tx12,MyNx 2ONO1212,xyxyxy 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何21xy 设直线 的斜率分别为 ，由已知可得：,OMN,OMNk 214OMNykx121240xy 考虑 22114xy221121246xyxyxy 是 上的点 ,MN2C2240xy 即 的轨迹方程为 ，由定义可知， 到椭圆 焦点的距离和为定值T 215xyT2105xy 为椭圆的焦点 ,AB,015,AB 所以存在定点 , 例 9：椭

17、圆 的焦点到直线 的距离为 ，离心率为 2:10xyEab30xy105 ，抛物线 的焦点与椭圆 的焦点重合，斜率为 的直线 过252:GpEkl 的焦点与 交于 ，与 交于E,AB,CD （1）求椭圆 及抛物线 的方程 （2）是否存在常数 ，使得 为常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说1 明理由 解：（1）设 的公共焦点为,EG,0Fc1025Flcd 2ea221bac 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 2:15xEy28 （2）设直线 ，:2lykx1234,AyBxCyDx 与椭圆联立方程： 2225050kk2121200,5kxxk22211514kABx 直线与抛物线

18、联立方程： 22224808 ykxk 是焦点弦 234kxCD2341Ck222220511505818181kkkABk 若 为常数，则 1CD205465 例 10：如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，xOy2:10xyCab63 直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 两点，当直线 垂直于 轴且点 为椭圆 的lxE,ABlxEC 右焦点时，弦 的长为AB263 （1）求椭圆 的方程C （2）是否存在点 ，使得 为定值？若存在，E21B 请求出点 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明 理由 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 解：（1）依题意可得： 63cea:3:12a

19、bc 当 与 轴垂直且 为右焦点时， 为通径lxEAB 263bABa6,2ab216xy （2）思路：本题若直接用用字母表示 坐标并表示 ，则所求式子较为复杂，,AEB,EAB 不易于计算定值与 的坐标。因为 要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出 点E E 及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得 为定值。21 解：（2）假设存在点 ，设 0,x 若直线 与 轴重合，则ABx6,AB006,Ex20222001116x 若直线 与 轴垂直，则 关于 轴对称ABx,AB 设 ，其中 ，代入椭圆方程可得：00,yy 2 2163xx203xE2222006xEAB ，可解得： 2

20、 2220000201666xxx 0322201xEAB 若存在点 ，则 。若 ，设3,3,E12,AxyB 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 设 ，与椭圆 联立方程可得： ，消去 可得：:3ABxmyC236xymy2260y121233,yy ，同理：2222111myyEAx 221,myEB2121222221 1ymB 代入 可得：121233,yym2222 2222 216333189913mEAB 所以 为定值，定值为221 若 ，同理可得 为定值3,0E221EAB 综上所述：存在点 ，使得 为定值3,0221E 三、历年好题精选 1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上

21、的椭圆 过点 ， 2:10xyab3,2P 离心率为 ，过直线 上一点 引椭圆 的两条切线，切点分别是2:4lxME,AB （1）求椭圆 的方程E （2）若在椭圆 上的任一点 处的切线方程是 210yab0,Nxy 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 ，求证：直线 恒过定点 ，并求出定点 的坐标021xyabABC （3）是否存在实数 ，使得 恒成立？（点 为直线 恒过BCAB 的定点） ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 2、已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合， 2:10xyCab24yx 是椭圆 上的一点31,D （1）求椭圆 的方程 （2）设 分别是椭圆 的左右顶点，

22、 是椭圆 上异于 的两个动点，直线,ABC,PQC,AB 的斜率之积为 ，设 与 的面积分别为 ，请问：是否存在常PQ14AB12S 数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由R12S 3、已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，左，右焦点分别为 20xyab,32 和1,0Fc2, （1）求椭圆 的方程C （2）设椭圆 与 轴负半轴交点为 ，过点 作斜率为 的直线 ，交椭xA4,0M0kl 圆 于 两点（ 在 之间） ， 为 中点，并设直线 的斜率为,BD,NBDON1k 证明： 为定值1k 是否存在实数 ，使得 ？如果存在，求直线 的方程；如果不存在，请说明1FAl 理由 4、已

23、知圆 ，定点 ，点 为圆 上的动点，点 在 2:536Mxy5,0NPMQ 上，点 在 上，且满足 NPG2PQG （1）求点 的轨迹 的方程C （2）过点 作直线 ，与曲线 交于 两点， 是坐标原点，设 ，,0l,ABOSOAB 是否存在这样的直线 ，使得四边形 的对角线相等（即 ）？若存在，求S 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 出直线 的方程；若不存在，试说明理由l 5、 （2014，福建）已知双曲线 的两条渐近线分别为 2:10,xyEab ， 1:2lyx:ly （1）求双曲线 的离心率 （2）如图， 为坐标原点，动直线 分别交直线 于 两点（ 分别在第一、四Ol12,l,A

24、B, 象限） ，且 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 有且ABl 只有一个公共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线 的方程；若不EE 存在请说明理由 习题答案： 1、解析：（1） 1:2:312ceabc 椭圆过点 3,P ，再由 可解得： 2314ab:2:31abc2,3ab 椭圆方程为： 23xy （2）设切点坐标为 ，直线上一点 ，依题意可得：12,ABxy4,Mt 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 两条切线方程为： ，由切线均过 可得： 1243xyM123ytx 均在直线 上12,AxyB13txy 因为两点唯一确定一条直线 ，即过定点 ，即点 的坐标为:3t,0C,0

25、 （3） 1ABACB C 联立方程： 2221167034tyxtyt ，不妨设 1212267,tyyt12,y 21112299,33tACxyBCxy 21212 212999yBttt 2222 26083 447 3991tttt t ，使得 恒成立43ACBC 2、解析：（1）抛物线 的焦点为 24yx,01c 依题意可知： 222 19,31ababc 椭圆方程为： 243xy （2）由（1）可得： ，若直线 斜率存在,02,ABPQ 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 设 ， :PQykxm12,PyQx 到直线 的距离 到直线 的距离 A12kdBPQ221kmd 1

26、122PSdkmQ 联立方程： 222348410341ykxxkm 212128,xxkk （*）1122240APQykyx 221212112314mkyxmkxkm ，代入到（*）可得： 2121212264k 22263004kmk 或 m 当 时， ，交点与 重合，不符题意k:2PQykxA ，代入到 可得： 12S ，即 112233kS 3、解：（1）依题意可知： 可得：1cea:2:31bc 椭圆方程为： ，代入 可得：243xyc0,3 椭圆方程为： 21 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 （2） 证明：设 ，线段 的中点12,BxyDB0,Nxy 设直线 的方程为

27、： ，联立方程：l 4k 化为：2 431ykx22236410xk 由 解得： 且024k221213,3kxk 212063x024y 104ykxk13k 假设存在实数 ，使得 ，则1FNAD1FNADk1 20 2436FNykkx22AD 1 2441FNAkxk 即 22222688xkxk 因为 在椭圆上，所以 ，矛盾D2,x 所以不存在符合条件的直线 l 4、解析：（1）由 可得 为 的中点，且 ,0NPQGPQNGQPN 为 的中垂线 GQ 6M 点的轨迹是以 为焦点的椭圆，其半长轴长为 ，半焦距 ,N3a5c 224bac 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 轨迹方程

28、为： 2194xy （2）因为 OSAB 四边形 为平行四边形 若 ，则四边形 为矩形，即 S0OAB 若直线 的斜率不存在，则 l:2lx 联立方程： ，即 2 51943 xy2525,33 故 不符合要求60OAB:2lx 若直线 的斜率存在，设 l 12,ykAxyB 由 222294360194ykxxk 22121136,94kkxx 221212112049kyxx OAB0 ，解得： 2212361094kkxy 32k 所以存在 或 ，使得四边形 的对角线相等:30lxyOASB 5、解析：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为 byxa 2baa225cab ce （2）若直线 不与 轴垂直，设lx12:,lymxtAyBx 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 联立方程： ，同理可得 122txxmytm 122txxmytm 设直线 与 轴交于 lx,0Ct 即 122OABSy228411tttmm 由直线 与渐近线的交点 分别在第一、四象限可知： l,AB 2140m2241t 由（1）可得双曲线方程为： 2xya 联立 与双曲线方程：l 2222418404xmytymtaa 因为 与双曲线相切l 22860tt 整理可得： 222414140maama 所以 双曲线方程为：26xy 存在一个总与 相切的双曲线 ，其方程为lE214