1、1977年北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1（10分）（1977北京）解方程2（10分）（1977北京）计算：3（10分）（1977北京）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg4（10分）（1977北京）证明：5（10分）（1977北京）求过两直线x+y7=0和3xy1=0的交点且过（1，1）点的直线方程6（10分）（1977北京）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7（10分）（1977北京）已知二次函数y=x26x+5（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；
2、（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标8（10分）（1977北京）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15东方向，求这时船和灯塔的距离CB9（10分）（1977北京）有一个圆内接三角形ABC，A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：ADAE=ACAB10（10分）（1977北京）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象11（1977北京）求函数f（x）=的导数12（1977北京）（1）试用语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）
3、试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）0，则存在一个x0的（x0，x0+），在这个邻域内，处处有f（x）01977年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1（10分）（1977北京）解方程考点：方根与根式及根式的化简运算专题：计算题分析：先要保证方程有意义即x10，3x0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解解答：解：原方程同解于，解得x=2故方程的解为x=2点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义2（10分）（1977北京）计算：考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算分析：由题意根据根式与
4、分数指数幂的运算法则进行计算解答：解：原式=+1=点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单3（10分）（1977北京）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg考点：对数的运算性质 专题：计算题分析：利用对数的运算法则，将欲求lg的式子转化成条件中的式子：“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可解答：解：lg=lg又知lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg=lg=0.8266答案是：0.8266点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键4（10分）（1977北京）证明：考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数
5、恒等式的证明专题：证明题分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式解答：证：（1+tana）2=原式成立点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系解题的关键是熟练记忆同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用5（10分）（1977北京）求过两直线x+y7=0和3xy1=0的交点且过（1，1）点的直线方程考点：直线的一般式方程专题：计算题分析：求出两直线x+y7=0和3xy1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式解答：解：由x+y7=0和3xy1=0联立方程组并解得：x=2，y=5直线过点（2，5）和（1，1）所求的
6、直线方程为，即：4xy3=0点评：本题考查用两点式求直线方程6（10分）（1977北京）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？考点：数列的应用；等比数列的前n项和专题：应用题分析：由题意知七月份到十月份总产值为：100+（1+20%）100+（1+20%）2100+（1+20%）3100，然后利用等比数列求和公式进行计算即可解答：解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）100+（1+20%）2100+（1+20%）3100=答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考
7、，合理地建立方程7（10分）（1977北京）已知二次函数y=x26x+5（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标考点：二次函数的图象专题：作图题；综合题分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点解答：解：（1）a=1，b=6，c=5=3，=1顶点坐标为（3，1），对称轴为直线x=3（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x26x+
8、5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数图象与坐标轴的交点坐标8（10分）（1977北京）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15东方向，求这时船和灯塔的距离CB考点：解三角形的实际应用专题：应用题分析：根据题意可分别可知AC，BAC和ABC，进而利用正弦定理求得BC解答：解：由已知条件及图可得AC=20海里，BAC=45，ABC=3
9、0由正弦定理可得（海里）答：船和灯塔的距离CB为20海里点评：本题主要考查了解三角形的实际应用解题的方法一般是利用三角函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式等建立数学模型，然后求得问题的解9（10分）（1977北京）有一个圆内接三角形ABC，A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：ADAE=ACAB考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。专题：证明题分析：首先根据已知的条件，求出各三角形的内角度数，然后根据相等角去找对应的相似三角形解答：证：连接EC，在ABD和AEC中，BAD=EAC，ABD=AEC，ABDAEC，ADAE=ACAB点评：此题考查了相似三角形的判定：
10、有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似10（10分）（1977北京）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：计算题分析：直线与椭圆的交点适合下面方程组：，代入得=1，其判别式为=576（25m2）由此可知直线与椭圆有一个交点的充要条件是m=5，这时直线与椭圆相切直线与椭圆有两个交点的充要条件是：m2+250即|m|5，这时直线与椭圆相割直线与椭圆没有交点的充要条件是：m2+250，即|m|5解答：解：直线与椭圆的交点
11、适合下面方程组：将代入得=1，整理可得25x2+32mx+（16m2144）=0，其判别式为=（32m）2425（16m2144）=576（25m2）直线与椭圆有一个交点的充要条件是m=5，这时直线与椭圆相切直线与椭圆有两个交点的充要条件是：m2+250即|m|5，这时直线与椭圆相割直线与椭圆没有交点的充要条件是：m2+250，即|m|5点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用11（1977北京）求函数f（x）=的导数考点：导数的运算专题：计算题分析：对于分段函数的导数要分段来求先通过乘积的导函数的法则求出原函数在x0时的导数，再利用导数定义求出当x=0时的导数，最后
12、分段写出导数解析式即可解答：解：当x0时，当x=0时，点评：本题考查了导数的运算，已知原函数是一个分段函数，求导函数解析式，利用分段求解的方法，本题属于基础题导数的四则运算法则（和、差、积、商）：（uv）=uv（uv）=uv+uv（u/v）=12（1977北京）（1）试用语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）0，则存在一个x0的（x0，x0+），在这个邻域内，处处有f（x）0考点：函数的连续性专题：证明题；阅读型分析：（1）因为函数的连续性是用极限来定义的，因而可用的方式来描述；（2）因为f（x）在点x=x0处连续，利用（1）中的定义找=0，则有|f（x）f（x0）|，即可得到f（x）处处大于0解答：解：（1）若对于任给的正数，总存在某一正数，使得当|xx0|时，总有|f（x）f（x0）|，则称函数f（x）在点x0处连续；（2）证：由已知f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）0，所以，由定义，对于给定的=0，必存在0，当|xx0|时，有|f（x）f（x0）|，从而f（x）f（x0）=0即在（x0，x0+）内处处有f（x）0点评：考查学生会用语言叙述函数连续定义，并运用语言描述的连续定义解决实际问题解题时要正确理解函数的连续性
