1、=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=电磁场三章习题解答第三章习题解答 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和?q，试计算球赤道平面上电通密度的通量?(如题图所示)。 解 点电荷q和?q共同产生的电通密度为 q 赤道平面 D?a qR?R?3?3? 4?R?R?err?ez(z?a)qerr?ez(z?a)2? 4?r?(z?a)232r2?(z?a)232z?0则球赤道平面上电通密度的通量 ?D?dS?D?ezSSdS? ?q 题 图 q(?a)a?2?rdr? 22322232?4?0(r?a)(r?a)aqa(r2?a2)12a?(01?1)
2、q? 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为?Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze，通过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0?erZe?1r?2?3?，试证明之。 4?rra?解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1?erZe24?rZe3Ze? 原子内电子云的电荷体密度为4?ra334?ra3b ?0 c a 题3. 3图(a) 面半径分别为a和b，轴线相距为c(c?b?a)，如题图(a)所示。求空间各部分的电场。 解 于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为?0
3、的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为?0的均匀电荷分布，如题图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 在r?b区域中，高斯定律?E?dS?S?4?r33Zer?e 电子云在原子内产生的电通量密度则为 D2?err4?r24?ra3Ze?1r?故原子内总的电通量密度为 D?D1?D2?er?2?3? 4?rra? 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为?0Cm, 两圆柱q?0，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生?b2?0?0b2r?a2?0?0a2r?er?E1 的电场分别为E1?er
4、22?2?0r2?0r2?0r2?0rb b c ?0 a ?0 c a b ? 0a c 题3. 3图(b) ?b2ra2r?(2?2) 点P处总的电场为E?E1?E12?0rr?在r?b且r?a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 ?r2?r?a2?a2r?er?E2?er?E2 2?0r2?02?0r?2?0r?2?0a2r?(r?2) 点P处总的电场为E?E2?E22?0r?在r?a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 ?r2?0?0r?r?2?0?r?er?E3?er?0 E32?0r2?02?0r?2?0?0?0?E?E?E?(r
5、?r)?c 点P处总的电场为332?02? 半径为a的球中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为 ?r3?Ar2?Dr?a5?Aa4?r2(r?a)(r?a)其中A为常数，试求电荷密度?(r)。 解：?D?，有?(r)?D?故在r?a区域?(r)?01d2(rDr) 2rdr1d23r(r?Ar2)?0(5r2?4Ar) 2rdr1d2(a5?Aa4)在r?a区域?(r)?02r?0 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E?er(ra)，设球内介质为真空。计算： 球内的电荷分布；球壳外表面的电荷面密度。
6、解 高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 1d21d2r4r3?0?E?02(rE)?02(r4)?6?04 rdrrdraar322球体内的总电量Q为 Q?d?6?044?rdr?4?0a a?0a球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为?2Q?2?0 24?a 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a)，圆柱表面分别带有密度为?1和?2的面电荷。计算各处的电位移D0；欲使r?b区域内D0?0，则?1和?2应具有什么关系？ 解 高斯定理?D?dS?q，当r?a时，有D0S01?0
7、当a?r?b时，有2?rD02?2?a?1 ，则 D02?era?1 ra?1?b?2 r当b?r?时，有2?rD03?2?a?1?2?b?2 ，则D03?er令 D03?er?ba?1?b?2?0，则得到1? ? 计算在电场强度E?exy?eyx的电场中把带电量为?2?C的点电荷从点P1(2,1,?1)移到点P沿曲线x?2y2；沿连接该两点的直线。 2(8,2,?1)时电场所做的功：dl?qE?dl?qExdx?Eydy? 解 W?F?CCC?2222q?ydx?xdy?q?yd(2y)?2ydy?q?6y2dy?14q?28?10?6(J) C11连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2
8、,?1)直线方程为 x?2x?8?即x?6y?4?0 y?1y?222?6故W?qydx?xdy?qyd(6y?4)?(6y?4)dy?q(12y?4)dy?14q?28?10(J) C1?1 点的电位?；利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E?核对。解 建立如题图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为?l0。计算线电荷平分面上任意z L2L2?(r,0)? P ? ?L2?l0dz?4?0r?z?22? L2?l0 o r ?l0ln(z?r2?z?2)4?0? ?L22r2?(L2)?L2?l0ln?
9、224?0r?(L2)?L22r2?(L2)?L2?l0 ln2?0r?L2 题图 根据对称性，可得两个对称线电荷元?l0dz?在点P的电场为 dE?erdEr?er?l0dz?2?0r2?z?2cos?er?l0rdz?2?0(r2?z?2)32L20 故长为L的线电荷在点P的电场为 L2E?dE?er?2?0?l0rdz?2232?(r?z)0?z?)?erl0(2?0rr2?z?2?er?l0L 4?0rr2?(L2)2E?求E，有 2?l0?L2?r2?(L2)? E?ln2?0?r?er?l0d?2lnL2?r2?(L2)?lnr? ?2?0dr?Lr?(L2)22?l0?r1?e?
10、l0?er?r?4?0r2?0?L2?r2?(L2)2?r2?(L2)2r? rP? 已知无限长均匀线电荷?l的电场E?erdl求其电，试用定义式?(r)?E?2?0rr位函数。其中rP为电位参考点。 rPrP解 ?(r)?E?dl?rr?l?lrdr?llrn?r2?0r2?02?P0rP lnr于是无限长的线电荷，不能将rP选为无穷远点。 一点电荷?q位于(?a,0,0)，另一点电荷?2q位于(a,0,0)，求空间的零电位面。 解 两个点电荷?q和?2q在空间产生的电位 ?(x,y,z)?令?(x,y,z)?0，则有14?0(x?a)?y?z(x?a)?y?z12?0 222222(x?a
11、)?y?z(x?a)?y?zq222?2q222 即4(x?a)2?y2?z2?(x?a)2?y2?z2 524a)?y2?z2?(a)2 3354此可见，零电位面是一个以点(?a,0,0)为球心、a为半径的球面。 33Ze1r23(?) 证明习题的电位表达式为?(r)?4?0r2ra2raZe 解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为D1?er4?r2故得 (x?4?ra33Ze 电子云在原子外产生的电通量密度则为D2?er?er224?r4?r所以原子外的电场为零。故原子内电位为 Ze1r23Zea1r(?) ?(r)?Ddr?(?)dr?234?r2r2r?0r4?0? 电场中
12、有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 r?a?(r)?0? ?a2r?a?(r)?A(r?)cos?r1rar求圆柱内、外的电场强度； 这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。 解 E?，可得到r?a时， E?0 ?a2?a2r?a时， E?erA(r?)cos?e?A(r?)cos? ?rrr?ra2a2?erA(1?2)cos?e?A(1?2)sin? rr该圆柱体为等位体，所以是导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为 ?0n?Er?a?0er?Er?a?2?0Acos? 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足?2?0 sin(kx)sin(ly)e?hz 其
13、中h2?k2?l2； rncos(n?)?Asin(n?) 圆柱坐标； r?ncos(n?)圆柱坐标； rcos? 球坐标； r?2cos?球坐标。 ?2?2?2?解 在直角坐标系中?2?2?2 ?x?y?z?2?2?hz2?hz 而 ?sin(kx)sin(ly)e?ksin(kx)sin(ly)e22?x?x?2?2?hz2?hz ?sin(kx)sin(ly)e?lsin(kx)sin(ly)e22?y?y?2?2?2sin(kx)sin(ly)e?hz?h2sin(kx)sin(ly)e?hz 2?z?z故 ?2?(?k2?l2?h2)sin(kx)sin(ly)e?hz?0 21?2
14、?2?(r)?22?2 在圆柱坐标系中?r?r?rr?z1?1?(r)?rrncos(n?)?Asin(n?)?n2rn?2cos(n?)?Asin(n?) 而 r?r?rr?r?r21?2?n2rn?2cos(n?)?Asin(n?) 22r?2?2?n?2rcos(n?)?Asin(n?)?0 2?z?z故?2?0 1?1?(r)?rr?ncos(n?)?n2r?n?2cos(n?) r?r?rr?r?r1?2?2?n?2?nrcos(n?) 22r?2?2?n?2rcos(n?)?0 2?z?z故?2?0 1?2?1?1?2? (r)?2(sin?)?22在球坐标系中?22r?r?rrs
15、in?rsin?1?2?1?2(r)?2r2(rcos?)?cos? 而2r?r?rr?r?rr1?1?(sin?)?sin?(rcos?)? 22rsin?rsin?21?2?1?2?(rcos?)?0 r2sin2?2r2sin2?2故?2?0 1?2?1?2(r)?2r2(r?2cos?)?2cos? 2r?r?rr?r?rr1?1?2(sin?)?sin?(rcos?)? 22rsin?rsin?1?2?1?2?2?(rcos?)?0 r2sin2?2r2sin2?2故?2?0 已知y?0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解? e?ycoshx； e?ycosx； e?
16、1?22(?rsin?)?cos? 2rsin?r1?2?22(?rsin?)?cos? 24rsin?rcosxsinx sinxsinysinz。 2y?2?y?2?y?2?y解 2(ecoshx)?2(ecoshx)?2(ecoshx)?2e?ycoshx?0 ?x?y?z所以函数e?ycoshx不是y?0空间中的电位的解； ?2?y?2?y?2?y(ecosx)?2(ecosx)?2(ecosx)?e?ycosx?e?ycosx?0 2?x?y?z所以函数e?ycosx是y?0空间中可能的电位的解； ?2?2y?2?2y?2?2y(ecosxsinx)?2(ecosxsinx)?2(e
17、cosxsinx)?2?x?y?z?4e?2ycosxsinx?2e?2ycosxsinx?0 所以函数e?2ycosxsinx不是y?0空间中的电位的解； ?2?2?2(sinxsiynszi?n)2(xsinysinz?si2n) 2?x?y?z?3sinxsinysinz?0 所以函数sinxsinysinz不是y?0空间中的电位的解。 x sinsin)(syin? 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P?P0(exx?eyy?ezz)。计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；证明总的束缚电荷为零。 解?P?P?3P0 ?P(x?)?n?PL2L2x?L2?ex?Px?L2
18、?LP0 2LP0 x?L2x?L22LLLLL同理?P(y?)?P(y?)?P(z?)?P(z?)?P0 22222L32q?d?dS?3PL?6L?P0?0P?PP0?2?S?P(x?)?n?P?ex?P? 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自电荷?，证明中心点的电位为 解 2?r?1?2()R0 2?r3?0?D?dS?q，可得到 S4?r3r?R0时， 4?rD1? 3D1?r?rE? 即D1?，1?r?03?r?0334?R02r?R0时， 4?rD2? 33D1?R0?R03? ，E2? 即D2?22?3?r3r002故中心点的电位为 ?22?R03?r?R?R
19、2?r?1?2 00?(0)?E1dr?E2dr?dr?dr?()R203?r?03?0r6?r?03?02?r3? 一个半径为R的介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?erKr，其中K为一00R0?R0常数。 计算束缚电荷体密度和面密度； 计算自电荷密度；计算球内、外的电场和电位分布。 解 介质球内的束缚电荷体密度为?p?P?在r?R的球面上，束缚电荷面密度为?p?n?Pr?R1d2KK(r)? 22rdrrrK?er?Pr?R? R于D?0E?P，所以?D?0?E?P?即(1?0?D?P ?0?K2 (?)r0?0)?D?P ?此可得到介质球内的自电荷体密度为 ?D?0?P?p?KR14
20、?RK24?rdr? 总的自电荷量q?d?2?r?000?介质球内、外的电场强度分别为 PK?er (r?R) ?0(?0)rq?RKE2?er?er22(r?R) 4?0r?0(?0)rE1?介质球内、外的电位分别为 ?R?1?E?dl?E1dr?E2dr? K?RKdr?dr? 2?(?)r?(?)r00rR0KR?Kln? (r?R) (?0)r?0(?0)?RK?RK?2?E2dr?dr? (r?R) 2?(?)r?(?) 证明不均匀电介质在没有自电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；导出束缚电荷密度?P的表达式。 rRrR?P?P?D?0?E 在介质内没有自电荷密度时，?D?0，则有 ?
21、P?0?E (?E)?E?E?0 于D?E，有?D?E? 所以?E?解 D?0E?P，得束缚电荷体密度为此可见，当电介质不均匀时，?E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。 束缚电荷密度?P的表达式为?P?0?E?0E? ? 两种电介质的相对介电常数分别为?r1=2和?r2=3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的 E1?ex2y?ey3x?ez(5?z) 那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的E2和D2？ 解 设在介质2中 E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0) D2?0?
22、r2E2?3?0E2 (D1?D2)?0，可得 在z?0处，ez?(E1?E2)?0和ez?ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)? ?2?5?0?3?0E2z(x,y,0)于是得到E2x(x,y,0)?2y E2y(x,y,0)?3x E2z(x,y,0)?103 故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为 E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)D2(x,y,0)?0(ex6y?ey9x?ez10) 不能求出介质2中任意点的E2和D2。于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球，
23、已知球内、外的电位函数分别为 ?1?E0rcos?2?03cos?aE02r?a ?2?0r3?0Ercos? r?a ?2?00验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。 解 在球表面上 ?1(a,?)?E0acos?03?0aE0cos?Eacos? ?2?0?2?003?0E0acos? ?2?02(?0)?13?Ecos?Ecos?Ecos? r?a0?r?2?00?2?003?0?2?Ecos? r?a?r?2?00?1?2?故有?1(a,?)?2(a,?)， ?0r?ar?a ?r?r?2(a,?)?可见?1和?2满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为 ?p?n?P
24、2r?a?(?0)er?E2?(?0)?2?rr?a?3?0(?0)E0cos? ?2?0d) 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(0用介电常数为?的电介质填充，如题图所示。 (1) (1) 板上外加电压U0，求板上的自电荷面密度、束缚电荷； (2) (2) 若已知板上的自电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。 解 设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。D?D0，有 ?E?0E0 ddE?E?U0又于022以上两式解得 d2z U02?0U02?U0d2? E?E?，0 (?0)d(?0)d2?0?U0
25、 题 图 ?E? 故下极板的自电荷面密度为 下(?0)d2?0?U0?E? 上极板的自电荷面密度为 上00(?0)d2?0(?0U)0P?(?)E?e 电介质中的极化强度 0z(?0)d2?0(?0U)0?e?P? 故下表面上的束缚电荷面密度为 p下z(?0)d2?0(?0)U0?e?P? 上表面上的束缚电荷面密度为 p上z(?0)d2?0?UQ? ab(?0)dE0 (?0)dQU? 得到?1 2?0?ab?2 (?0)QE ?故 ?p下?ab(?0)Q?0 ? E0 ?p上? ?ab2?0?abQC? 3电容器的电容为题图 U(?0)d使?2?4的?1值；介质板两表面的极化电荷密度。 ?1
26、，如题图所示。求： 厚度为t、介电常数为?4?0的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0成角解 根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 此得到 tan?1?0? tan?2?1?tan?1?0tan?2?1?tan?10?tan?1?14? ?4 设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有?0E0n?En，即 ?0E0cos?1?En ?1?所以 En?0E0cos?1?E0cos14 ?4介质板左表面的束缚电荷面密度 介质板右表面的束缚电荷面密度 ?p?(?0)En?0E0cos?1?4?340.?7E28 00340.?7E28 00?p?(?0)En?0E0cos?1? 在
27、介电常数为?的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的E0和D0： 平行于E的针形空腔； 底面垂直于E的薄盘形空腔； 小球形空腔。 解 对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有E0?E。故在针形空腔中 E0?E，D0?0E0?0E 对于底面垂直于E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有D0?D。故在薄盘形空腔中 D0?D?E，E0?D0?0?E ? 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板(y?0)处的?1一直变化到另一极板(y?d)处的?2，试求电容量。 解 题意可知，介质的介电常数为 ?1?y(?2?)1d 设平行板电容器的极板上带电量分
28、别为?q，高斯定理可得 Dy?q SEy?dDy?q ?1?y(?2?1)dSd所以，两极板的电位差 U?Eydy?0?qqddy?ln2 ?1?y(?2?1)dSS(?2?1)?10故电容量为C?S(?2?1)q? Udln(?2?1) 一体密度为?10?7Cm3的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。 解 在质子束内部，高斯定理可得 2?rEr?1?02?r? ?10?7r4?3?10rVm(r?10 )故 Er?m?122?02?10在质子束外部，有2?rEr?1?0?a2? ?10?7?10?6?21?3?10Vm (r?1
29、0 )故Er?m?122?0r2? 考虑一块电导率不为零的电介质(?,?)，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证?(?)。试问有没有束明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自电荷，体密度为?J?缚体电荷?P？若有则进一步求出?P。 ?D?(?E)?(J)?J?()?J 解?(?) 对于恒定电流，有?J?0，故得到?J?介质中有束缚体电荷?P，且 ?0?J?P?P?D?0?E?J?()?0?()?J?()?J?(0)?J?() ? 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为?1和?2，电导率为?1和?2。设内导体的电压为U0，外导体接
30、地。求：两导体之间的电流密度和电场强度分布；介质分界面上的自电荷面密度；同轴线单位长度的电容及漏电阻。 解 设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则J?dS?I，可得电流密度 S?I (a?r?c) 2?rJI (a?r?b) 介质中的电场E1?er?12?r?1JI(b?r?c) E2?er?22?r?2J?erbc于U0?E1?dr?E2?dr?ab?I2?1lnbIc?ln a2?2b于是得到I?故两种介质中的电流密度和电场强度分别为 2?1?2U0 ?2ln(ba)?1ln(cb)J?er?1?2U0(a?r?c) r?2ln(ba)?1ln(cb)?2U0 (a?r?b) E1?err
31、?2ln(ba)?1ln(cb)?1U0 (b?r?c) E2?err?2ln(ba)?1ln(cb) ?n?D可得，介质1内表面的电荷面密度为 ?1?1er?E1介质2外表面的电荷面密度为 r?a?1?2U0 a?2ln(ba)?1ln(cb)?2?2er?E2两种介质分界面上的电荷面密度为 r?c?2?1U0 c?2ln(ba)?1ln(cb)?(?1?2?2?1)U0 r?bb?2ln(ba)?1ln(cb)U?ln(ba)?1ln(cb) 同轴线单位长度的漏电阻为R?0?2 I2?1?22?1?2 静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为C?2ln(ba)?1ln(cb)?12?(?1er
32、?E1?2er?E2) 半径为R和R(R?R)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为?、电导2121率为?0(1?Kr)的导电媒质(K为常数)。若内导体球面的电位为U0，外导体球面接地。试求：媒质中的电荷分布；两个理想导体球面间的电阻。 解 设内导体流向外导体的电流为I，于电流密度成球对称分布，所以 4?rJI电场强度E?er?4?0(r?K)rR2J?erI2(R1?r?R2) (R1?r?R2) R2两导体间的电压U0?R1?E?dr?R1?R(R?K)?II dr?ln?21?4?0(r?K)r4?0K?R1(R2?K)?4?0KU0可得到?R2(R1?K)? ln?R1(R2?K)
33、?0KU0J?er所以?R(R?K)? r2ln?21?R1(R2?K)?I?J?()?媒质中的电荷体密度为?媒质内、外表面上的电荷面密度分别为 1?R2(R1?K)?(r?K)2r2 ln?R1(R2?K)?K2U0?1?er?J?r?R1?2?er?J?r?R2两理想导体球面间的电阻 1?R2(R1?K)?(R1?K)R1 ln?R(R?K)?12?KU01?R(R?K)?(R2?K)R2 ln?21?R1(R2?K)?KU0U0R(R?K)1 ?ln21I4?0KR1(R2?K) 电导率为?的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R和R的理想导体小球，两球21R?之间的距离为d(d?R,d?
34、R)，试求两小导体球面间的电阻。 12解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q和?q，于两球间的距离d?R1、d?R2，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。电荷q和?q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再静电比拟求出两小导体球面间的电阻。 设两小球分别带电荷q和?q，于d?R、d?R，可得到两小球表面的电位为 12q11(?) 4?R1d?R2q11?2?(?) 4?R2d?R1q4?C? 所以两小导体球面间的电容为 ?1?21?1?1?1R1R2d?R1d?R2I4?G? 静电比拟，得到两小导体球面间的电导为 ?1?21?1?1?1R1R2d
35、?R1d?R2111111故两个小导体球面间的电阻为 R?(?) G4?R1R2d?R1d?R2?1? 在一块厚度d的导电板上， 两个半径为r和r的圆弧和夹角为?的两半径割出的21一块扇形体，如题图所示。求：沿厚度方向的电阻；两圆弧面之间的电阻；沿?方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为?。 解 设沿厚度方向的两电极的电压为U，则有 1E1?J U1 dr2 ? ? r1 图 d 故得到沿厚度方向的电阻为R1?d?U1?22 I1?J1S1?(r2?r1)d2J1?E1?U1 U12d ?22I1?(r2?r1)2设内外两圆弧面电极之间的电流为I，则 J2?r2I2I?2S2?rdI2rln2
36、 ?dr1E2?J2I?2 ?rdU2?E2dr?r1故得到两圆弧面之间的电阻为 R2?U2r1?ln2 I2?dr1?设沿?方向的两电极的电压为U3，则有 U3?E3rd? ?0于E3与?无关，所以得到E3?e?U3 ?rJ3?E3?e?U3 ?rr?dU3?dU3r2I3?J3?e?dS?dr?ln ?r?r1Sr231U3? ?I3?dln(r2r1) 圆柱形电容器外导体内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个Emin的值。 故得到沿?方向的电阻为 R3?解 设内导体单位长度带电荷为?l，高斯定理
37、可求得圆柱形电容器中的电场强度为 E(r)?b?l 2?0r内外导体间的电压 U?Edr?a?l?lbdr?ln ?2?r2?a00ab得到 ?l?2?0U ln(ba)此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式E(r)?在圆柱形电容器中，rU rln(ba)?a处的电场强度最大E(a)?U aln(ba)令E(a)对a的导数为零，即此得到ln(b/a)?1 故有 a?E(a)1ln(ba)?1?2?0 2?aaln(ba)bb? ?U? 证明：同轴线单位长度的静电储能We等于。ql为单位长度上的电荷量，C为单2C位长度上的电容。 解 高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为E(r)?内外导
38、体间的电压为 ql2?r bbU?Edr?a则同轴线单位长度的电容为C?l?bdr?lln 2?r2?aaql2?U?ln(ba) b22ql211qq112ll)2?rdr?同轴线单位长度的静电储能为 We?Ed?( ln(ba)?2?2a2?r22? 如题图所示，一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为?1和?2，分界面为无限大平面。求：导体球的电容； 总的静电能量。 解 于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上E1t?E2t，故有 E1?E2?E。于D1?1E1、D2?2E2，所以D1?D2。高斯定理，得到 D1S1?D2S2?q
39、即 2?r2?1E?2?r2?2E?q 所以 E?q2?r2(?1?2) ?1 a q 导体球的电位 ?qq1?(a)?Edr?dr? 2?2?(?)a2?(?1?2)ar12aqC?2?(?1?2)a 故导体球的电容 ?(a)?2 o 1q2 总的静电能量为 We?q?(a)? 24?(?1?2) 把一带电量q、半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。 解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力f，然后在半球面上对f积分，求出两半球之间的电场力。 导体球的电容为C?4?0a 题 图 q2q2? 故静电能量为We?2C8?0a根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受
40、到的静电力 1?We1?q2q2f?()? 4?a2?a4?a2?a8?0a32?2?0a4方向沿导体球表面的外法向，即 f?erf?q22432?0a这里er?exsin?cos?eysin?sin?ezcos? 在半球面上对f积分，即得到两半球之间的静电力为 2?2er F?fdS?00222?aq eerasin?d?d?z32?2?0a432?2?0a42q2?2?cos?sin?d?32?a00q22ez 如题图所示，两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入在电容率为?的液体中，两板间加电压U，证明液面升高 h?其中?为液体的质量密度。 解 设金属板的宽度为a、高度为L。当金属板间的
41、液面升高为h时，其电容为 U(?0)()2 2?gd1C?U ?ah?0a(L?h)? dd金属板间的静电能量为 1aU22We?CU?h?(L?h)?0 22d液体受到竖直向上的静电力为 L h ?WeaU2Fe?(?0) ?h2d而液体所受重力 ? d Fg?mg?ahd?g 2aUFe与Fg相平衡，即 (?0)?ahdg 2d题图 故得到液面上升的高度 (?0)U21U2h?(?)() 022d?g2? 可变空气电容器，当动片0?至180?电容量25至350pF直线地变化，当动片为?角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为U0?400V。 解 当动片为?角时，电容器的电容为 3
42、50?25?12C?25?25?PF?(25?)?10F ?180112?122此时电容器中的静电能量为 We?C?U0?(25?)?10U0 22?We1?10?12U02?10?7Nm 作用于动片上的力矩为 T? 平行板电容器的电容是?0Sd，其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。 如果把一块厚度为?d的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题(a)图所示。则在原电容器电压U0一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何变化？ 如果在电荷q一定的条件下，将一块横截面为S ?S、介电常数为?的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地插入，如题(b)图所示，则电d ?d 容
43、器的能量如何变化？电容量又如何变化？ U0 解 在电压U0一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电场为 题图(a) E0?U0 d电容为C0?0Sd ?0SU0212 静电能量为We0?C0U0?22d当插入金属板后，电容器中的电场为E?U0 d?d2?0SU021?U0? 此时静电能量和电容分别为We?0?S(d?d)?2?d?d?2(d?d)2We?0S C?2? U0d?d故电容器的电容及能量的改变量分别为 ?C?C?C0?0Sd?d?0Sd? ?0S?dd(d?d) ?We?We?We0?0SU02?d2d(d?d)在电荷q一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 E0?q? ?0?0Sq2dq2? 静电能量为 We0?2C02?0S当插入电介质板后，介质分界面上的边界条件E1t?E2t，有 E1?E2?E S q d 再高斯定理可得E?S?E?0(S?S)?q ? ?0 ?S ?q q ?S?0(S?S)qd 两极板间的电位差位 U?Ed?S?0(S?S)于是得到极
