1、.习题图2-2zxE3E2E12-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：试求位于点的电场强度。解 令分别为三个电电荷的位置到点的距离，则，。利用点电荷的场强公式，其中为点电荷q指向场点的单位矢量。那么，在P点的场强大小为，方向为。在P点的场强大小为，方向为。在P点的场强大小为，方向为则点的合成电场强度为2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为C，相距为2cm， 如习题图2-4所示。试求：P点的电位；将电量为C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。1cmP1cmqq1cm习题图2-4解 根据叠加原理，点的合成电位为因此，将电量为的点电荷由无限远处缓慢地移到点，外力必须做的功
2、为2-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度，试求圆心处的电场强度。习题图2-6ayxoE解 建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的分量，即考虑到，代入上式求得合成电场强度为2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为试求球内外各点的电位。解 在区域中，电位为在区域中，2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为试求空间的电荷密度。解 利用高斯定理的微分形式，得知在球坐标系中那么，在区域中电荷密度为在区域中电荷密度为2-17 若在一个电荷密度为，半径
3、为a的均匀带电球中，存在一个半径为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d，试求空腔中的电场强度。习题图2-17obaPrdr解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为的整个球内充满电荷密度为的电荷，则球内点的电场强度为式中是由球心o点指向点的位置矢量， 再设半径为的球腔内充满电荷密度为的电荷，则其在球内点的电场强度为式中是由腔心点指向点的位置矢量。那么，合成电场强度即是原先空腔内任一点的电场强度，即式中是由球心o点指向腔心点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。2-19 已知内半径为a，外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为，若在球心放置一个电量为q的点电荷，试求：介质壳内外表面
4、上的束缚电荷；各区域中的电场强度。解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理在区域中，电场强度为在区域中，电场强度为在区域中，电场强度为再求介质壳内外表面上的束缚电荷。由于，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为外表面上束缚电荷面密度为2-20 将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为，均匀电场的方向与介质板法线的夹角为，如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向时，试求角度及介质表面的束缚电荷面密度。Eedq1q 1q2q2e0e0E习题图2-20E2en2en1解 根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可
5、得；已知，那么由上式求得已知介质表面的束缚电荷，那么，介质左表面上束缚电荷面密度为介质右表面上束缚电荷面密度为2-21 已知两个导体球的半径分别为6cm及12cm，电量均为C，相距很远。若以导线相连后，试求：电荷移动的方向及电量；两球最终的电位及电量。解 设两球相距为d，考虑到d a, d b，两个带电球的电位为；两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应该守恒，即及，求得两球最终的电量分别为可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为。两球最终电位分别为errlh导体习题图3-4x y3-4 一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习题图3-
6、4所示。已知线电荷密度，离开平面的高度m，空间媒质的相对介电常数。试求： 空间任一点场强及能量密度； 导体表面的电荷密度； 当线电荷的高度增加一倍时，外力对单位长度内的线电荷应作的功。解 建立圆柱坐标，令导体表面位于xz平面，导体上方场强应与变量z无关。根据镜像法，上半空间中任一点的场强为电场能量密度为已知导体表面的电荷面密度，那么单位长度内线电荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用力，即可见，线电荷受到的是吸引力。所以，当线电荷的高度增加一倍时，外力必须做的功为 （J）。3-10 试证位于半径为a的导体球外的点电荷q受到的电场力大小为式中f为点电荷至球心的距离。若将该球接地后，再计算点
7、电荷q的受力。证明 根据镜像法，必须在球内距球心处引入的镜像电荷。由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个镜像电荷-q，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么，点电荷受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力，即，（N）（N）合力为（N）当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷，故所受到的电场力为F1。3-11 在半径为a的接地导体球附近，沿径向放置一根长度为l的线电荷，如习题图3-11(a)所示。已知线电荷密度为，近端离球心的距离为D，试求镜像电荷及其位置。lDrla习题图3-11(a)rldxx习题图3-11(b)xmaxxo解 采用镜像法，应在球内径向位置引入一个镜像线电荷，离球心最近
8、的一端对应原先的线电荷离球心的最远端，而的最远端对应的最近端。设上任一点距离球心为，上任一点距离球心为，则根据点电荷与导体球面的镜像规律，获知镜像线电荷的长度范围为位置x与x的关系为。因此，。再根据电量关系，即可求得镜像电荷的分布函数为qqd1fad2习题图3-15(a)3-15 半径为a的不接地的导体球中含有半径为b的球形空腔，如习题图3-15(a)所示。若在导体球外，离球心f处放置一个电量为q的点电荷，在空腔中离腔心d1处放置另一个电量为的点电荷，腔心与球心间距为，且腔心、球心、点电荷q及均在一条直线上。试求腔中、导体球内外任一点场强。解 由于导体球的屏蔽作用，球外点电荷以及球面上的感应电
9、荷对于腔中的场强没有贡献。因此，计算腔中场强仅需考虑腔内的点电荷以及空腔内壁上感应电荷的作用。为了考虑腔壁上感应电荷的影响，可以应用镜像法，以一个腔外镜像电荷等效腔壁上感应电荷的影响。此时可以直接利用点电荷与导体球的镜像关系，导出腔外镜像电荷的位置与电量。如图3-15(b)所示，球外镜像电荷的位置及电量分别为；计算腔外场强也可应用镜像法，此时导体球的半径为a，如习题图3-15(b)所示。但是腔中必须引入两个镜像电荷q0和q，其中q0位于球心，q的位置和电量，以及q0的电量分别为；bqqDd1qqq0d3d2fa习题图3-15(b)综上所述，腔内场强由两个点电荷q和q共同产生，腔外场强由三个点电
10、荷q，q和q 共同产生，而导体内的场强为零。5-4 已知无限长导体圆柱半径为a，通过的电流为I，且电流均匀分布，试求柱内外的磁感应强度。解 建立圆柱坐标系，令圆柱的轴线为Z轴。那么，由安培环路定律得知，在圆柱内线积分仅包围的部分电流为，又，则即在圆柱外，线积分包围全部电流，那么即习题图5-5(b)YXrYXcabJY习题图5-5(a)5-5 已知无限长导体圆柱的半径为a，其内部存在的圆柱空腔半径为b，导体圆柱的轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为c，如习题图5-5（a）所示。若导体中均匀分布的电流密度为，试求空腔中的磁感应强度。解 柱内空腔可以认为存在一个均匀分布的等值反向电流，抵消了原有的电流而
11、形成的。那么，利用叠加原理和安培环路定律即可求解。已知半径为，电流密度为的载流圆柱在柱内半径r处产生的磁场强度H1为求得，或写为矢量形式对应的磁感应强度为同理可得半径为，电流密度为的载流圆柱在柱内产生的磁场强度为对应的磁感应强度为上式中的方向及位置如习题图5-5（b）示。因此，空腔内总的磁感应强度为5-7 若在处放置一根无限长线电流，在y = a处放置另一根无限长线电流，如习题图5-7所示。试YZ-aaI0IX习题图5-7求坐标原点处的磁感应强度。解 根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于处的无限长线电流在原点产生的磁场为位于处的无限长线电流产生的磁场为因此，坐标原点处总磁感应强度为yz-
12、w/2w/2IodxJxP5-8 已知宽度为W的带形电流的面密度，位于z = 0平面内，如习题图5-8所示。试求处的磁感应强度。dyyzyo习题图5-8(a)习题图5-8(b)解 宽度为，面密度为的面电流可看作为线电流，其在P点产生的磁场为 由对称性可知，z方向的分量相互抵消，如习题图5-8（b）所示，则 因此，在处的磁感应强度为5-15 若无限长的半径为a的圆柱体中电流密度分布函数，试求圆柱内外的磁感应强度。解 取圆柱坐标系，如习题图5-15所示。当时，通过半径为r的圆柱电流为oxyz习题图 5-15由求得当时由求得xyo习题图 5-175-17 已知空间y 0区域为磁性媒质，其相对磁导率区
13、域为空气。试求：当空气中的磁感应强度时，磁性媒质中的磁感应强度B；当磁性媒质中的磁感应强度时，空气中的磁感应强度B0。解 根据题意，建立的直角坐标如图5-17所示。 设磁性媒质中的磁感应强度为已知在此边界上磁感应强度的法向分量连续，磁场强度的切向分量连续。因此，求得，即 设空气中的磁感应强度为则由边界条件获知，求得，即XI2xa cdbdxdsm0YI106-2 一个面积为的矩形线圈位于双导线之间，位置如习题图6-2所示。两导线中电流方向始终相反，其变化规律为，试求线圈中感应电动势。习题图6-2解 建立的坐标如图6-2所示。在内，两导线产生的磁感应强度为则穿过回路的磁通量为则线圈中的感应电动势
14、为6-3 设带有滑条AB的两根平行导线的终端并联电阻，导线间距为0.2m，如习题图6-3所示。若正弦电磁场垂直穿过该回路，当滑条AB的位置以规律变化时，试求回路中的感应电oRBxyBA0.2m习题图6-3流。解 建立的坐标如图6-3所示。令并联电阻位于处，在t时刻回路的磁通量为那么，回路中的感应电动势为因此回路中的感应电流为6-9 已知同轴线的内导体半径为a，外导体的内外半径分别为b及c，内外导体之间为空气，当通过恒定电流I时，计算单位长度内同轴线中磁场储能及电感。解 由安培环路定律，求得内导体中的磁场感应强度为那么，内导体单位长度内的磁场能量为在内外导体之间单位长度内的磁感应强度及磁场能量分
15、别为 在外导体中单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为因此，同轴线单位长度内的磁场能量为那么，单位长度的自感7-4 设真空中的磁感应强度为试求空间位移电流密度的瞬时值。解 由麦克斯韦方程知，而真空中传导电流，则位移电流为，求得7-9 已知电磁波的合成电场的瞬时值为式中。试求合成磁场的瞬时值及复值。解 根据题意，电场分量E1的复值为。电场分量E2的瞬时值可写为对应的复值为那么，合成电场的复值为由，得求得对应的磁场分量的瞬时值分别为7-11 已知某真空区域中时变电磁场的时变磁场瞬时值为试求电场强度的复数形式、能量密度及能流密度矢量的平均值。解 由，可得其复值为因真空中传导电流为零，得即能量密度的平
16、均值能流密度的平均值7-13 若真空中正弦电磁场的电场复矢量为试求电场强度的瞬时值E(r,t)，磁感应强度的复矢量B(r)及复能流密度矢量Sc。解 由可知求得，则（rad/s）那么电场强度的瞬时值为同上题，由麦克斯韦方程，求得磁感应强度为复能流密度矢量为。8-3 已知理想介质中均匀平面波的电场强度瞬时值为 (V/m)试求磁场强度瞬时值、平面波的频率、波长、相速及能流密度。解 已知电场强度瞬时值为(V/m)可见这是向+x方向传播的平面波。因此，磁场强度的瞬时值为(A/m)式中为媒质的波阻抗。根据题意，获知平面波的角频率，波数。由此求出频率：；波长：相速：(m/s)能流密度：8-4 设真空中平面波的磁场强度瞬时值为(A/m)试求该平面波的频率、波长、相位常数、相速、电场强度复矢量及能流密度。解 根据题意，获知平面波的角频率，相位常数。由此求出频率：；波长：相速：(m/s)已知磁场强度瞬时值为(A/m)可见这是向-y方向传播的平面波。因此，电场强度的瞬时值为(V/m)式中为真空的波阻抗。那么，电场强度的复矢量为(V/m)能流密度矢量：.
