1、第2章习题2-1.已知真空中有四个点电荷，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。解： 2-2.已知线电荷密度为的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P点的电场强度。 题2-2图解：(a) 由对称性(b) 由对称性(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为 半径为a的半圆环线电荷产生的电场为 总电场为2-3.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为，求轴线上的电场强度。解:在无限长的半边圆筒上取宽度为的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为,对积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为 题2-3图
2、 题2-4图2-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为，求空间任一点上的电场强度。解: 在平板上处取宽度为的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为，在点处产生的电场为 其中 ；对积分可得无限长的宽度为a的平板上的电荷在点处产生的电场为 2-5.已知真空中电荷分布为 r为场点到坐标原点的距离，a，b为常数。求电场强度。解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理 等式左边为 半径为 r 的球面内的电量为因此，电场强度为 2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为r为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布
3、也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理 等式左边为 半径为 r 、高为1的圆柱面内的电量为因此，电场强度为 2-7. 在直角坐标系中电荷分布为 求电场强度。解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方矩形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为,方形封闭面内的电量为 因此，电场强度为 2-8. 在直角坐标系中电荷分布为 求电场强度。解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的矩形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为,方形封闭面内的电量为 因此，电场强度为 2-9.在电荷密度为（常数）半径为a的带电球中挖一个
4、半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+ca 对于r0半空间为介电常数为的介质，z0半空间为介电常数为的介质，当(1)电量为q的点电荷放在介质分界面上；(2)电荷线密度为的均匀线电荷放在介质分界面上。求电场强度。解：（1）电量为q的点电荷放在介质分界面上 以点电荷为中心作以半径为r的球，利用高斯定理 设上、下半球面上的电位移矢量分别、，根据对称性，在上、下半球面上大小分别相等，有 =根据边界条件，因此 （2）电荷线密度为的均匀线电荷放在介质分界面上 以线电荷为轴线作以半径为r单位长度的圆柱面，利用高斯定理 设上、下半柱面上的电位移矢量分别、，根据对称性，在上、下半柱面上大小分别
5、相等，有 =根据边界条件，因此 2-34.面积为A，间距为d的平板电容器电压为V，介电常数为厚度为t的介质板分别按如图a、b所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中电场及电荷分布。 题2.34图 解：（a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为、，那么、满足关系 （边界条件）求解以上两式得 ； 根据导体表面上的边界条件，在上、下导体表面上的电荷面密度为 (b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为 根据导体表面上的边界条件，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为 在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为 2-35 在内外半径分别为和之间的圆柱形区域内无电荷，在半径分别
6、为和的圆柱面上电位分别为和0。求该圆柱形区域内的电位和电场。解：由电荷分布可知，电位仅是的函数，电位满足的方程为 解微分方程得 利用边界条件 得 ， 因此 2-36在半径分别为和的两同轴导电圆筒围成的区域内，电荷分布为，为常数，若介质介电常数为，内导体电位为V，外导体电位为0。求两导体间的电位分布。解 由电荷分布可知，电位仅是的函数，电位满足的方程为 解微分方程得 利用边界条件 得 ， 2-37 两块电位分别为0和V的半无限大的导电平板构成夹角为的角形区域，求该角形区域中的电位分布。 c b a 题2.37图 题2.38 图解：由题意，在圆柱坐标系中，电位仅是的函数，在导电平板之间电位方程为
7、其通解为 由边界条件，得 2-38 .由导电平板制作的金属盒如图所示，除盒盖的电位为V外，其余盒壁电位为0，求盒内电位分布。解：用分离变量法，可得电位的通解为 利用边界条件，可求出系数 （m、n为奇数） （m、n为偶数）2-39 在的匀强电场中沿z轴放一根半径为a的无限长导电圆柱后，求电位及电场。解：由分离变量法，无限长导电圆柱外的电位的通解为 （1）设，当时的电位等于无导电圆柱的电位，即 （2）要使式（1）的电位在时等于式（2），可得到系数 ，再由导体界面的边界条件得 因此，电位的特解为 2-40 .在无限大的导电平板上方距导电平板h处平行放置无限长的线电荷，电荷线密度为，求导电平板上方的电
8、场。解:用镜像法,导电平板的影响等效为镜像位置的一个电荷线密度为-的线电荷, 导电平板上方的电场为 式中、分别为线电荷及其镜像线电荷到场点的距离矢量。2-41 由无限大的导电平板折成的角形区，在该角形区中某一点()有一点电荷q，用镜像法求电位分布。解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电面为镜面可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为()，在圆柱坐标系中为，另外7个镜像电荷在圆柱坐标系中的坐标为 镜像电荷为对于场点，电荷到场点的距离矢量为 ；则场点的电场为 题2-41图 题2-42图2-42 半径为a，带电量为Q的导体球附近距球心f处有一点电荷q，求点电荷q所受的力。解：点电荷q 受到的
9、力（场）有两部分，一部分等效为镜像电荷的力，另一部分等效为位于球中心的点电荷的力。由镜像法，镜像电荷的大小和位置分别为 由于包围导体球的总电量为Q，所以位于位于球中心的点电荷=Q-;因此点电荷q 受到的力为 2-43 内外半径分别为a、b的导电球壳内距球心为d(d0半空间为介电常数为的介质，z0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(b)，计算z0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(c)。这样上半空间的电位可表示为 式中为到场点的距离，为的镜像位置的电荷到场点的距离；下半空间的电位可表示为 式中为到场点的距离，为的镜像位置的电荷到场点的距离。利用边界条件，和得 由此得 和所受的斥力
10、分别为 (a) (b) (c) 题2-46图2-47.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为，求两导体球壳之间的电容。解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为 两导体球壳之间的电压为 两导体球壳之间的电容为 2-48 两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为、，介质界面半径为c，求两导体球壳之间的电容。解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理可得，两导体球壳之间的电场为 两导体球壳之间的电压为 两导体球壳之间的电容为 2-49
11、面积为A，间距为d的导电平板之间放置介电常数为，厚度为t的介质板，如图a、b所示。分别计算两种情况下导电平板之间的电容。 (a) (b) 题2.49图 题2-49图解：（a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为、，那么、满足关系 （边界条件）求解以上两式得 ； 根据导体表面上的边界条件，在上、下导体表面上的电荷面密度为 电容为 (b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为 根据导体表面上的边界条件，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为 在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为 电容为 2-50 两块沿方向无限延伸的导电平板夹角为，与和的圆柱面相截，如图所示。一块板电位为，另一块电位
12、为0。忽略边缘效应，求两块板间的电位分布，电场，以及单位长度的电容。 题2-50图解：在圆柱坐标系中，电位只和有关，在两块导电平板之间此方程的通解为 利用边界条件，得 电场强度为 板上单位长度的电量为板上单位长度的电容为 2-51 真空中半径为a的导体球电位为V，求电场能量。解：用两种方法求解。1） 用电位求电场能量 2） 用电场强度求电场能量导体球内的电场强度为零，导体球外的电场强度为 电场能量为 2-52 .圆球形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为、的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。解：设圆球形电容器内导体上的电荷为 q，由
13、高斯定理可求得在内外导体之间 从而可求得内外导体之间的电压为圆球形电容器的电容为 电场能量为 2-53 长度为d的圆柱形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为、的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。解：设圆柱形电容器内导体上的电荷为q，用高斯定理，在内外导体之间 内外导体之间的电压为 内外导体之间的电容为 电场能量为 2-54 两个点电荷电量均为，放在介电常数为的介质中，间距为，求互位能。解： 两个点电荷的互位能为将一个点电荷从无限远移到和另一个间距为处外力做的功 2-55 两尺寸为aa的平行导电平板之间距离为d，带电量分别为,当将介电常数为的介质板插入导电板之间深度为x时，分别求介质板所受的电场力。 a x 题2.55 图解：设空气填充部分和介质填充部分导电平板上的电荷密度分别为、由导体边界条件得，；由介质边界条件得或，因此 空气填充部分和介质填充部分导电平板上的电量分别为，。由及得 平行导电平板之间的电场能量为 由虚功原理，对于常电荷系统，介质所受的沿x方向电场力为
