1、1 以圆为背景的相似三角形的计算与证明 【经典母题】 如图 Z131，DB 为半圆的直径， A 为 BD 延长线上的一点， AC 切半圆于点 E，BCAC 于点 C，交半圆于点 F.已知 AC12， BC9，求 AO 的长 图 Z131 经典母题答图 解：如答图，连结 OE，设 O 的半径是 R，则 OE OBR . 在 RtACB 中，由勾股定理，得 AB 15.AC2 BC2 AC 切半 圆 O 于点 E，OEAC， OEA90C，OEBC， AEOACB， ， ，解得 R ， OEBC AOAB R9 15 R15 458 AOABOB15R . 758 【思想方法】 利用圆的切线垂直于
2、过切点的半径构造直角三角形，从而得 到相似三角形，利用比例线段求 AO 的长 【中考变形】 1如图 Z132，在 RtACB 中，ACB90，O 是 AC 边上的一点，以 O 为圆心，OC 为半径的圆与 AB 相切于点 D，连结 OD. (1)求证：ADOACB； (2)若O 的半径为 1，求证： ACAD BC. 证明：(1)AB 是O 的切线， ODAB， 图 Z132 2 CADO90 ，AA， ADOACB； (2)由(1)知， ADOACB. ， ADAC ODBC ADBCACOD ，OD1， ACAD BC. 22017德州 如图 Z133，已知 RtABC，C90，D 为 BC
3、 的中点， 以 AC 为直径的O 交 AB 于点 E. (1)求证：DE 是O 的切线； (2)若 AEEB12，BC6，求 AE 的长 图 Z133 中考变形 2 答图 解：(1)证明：如答 图，连结 OE，EC，AC 是O 的直径， AECBEC90 ，D 为 BC 的中点， EDDCBD，12， OEOC，34， 1324，即OEDACB， ACB90 ，OED90 ，DE 是O 的切线； (2)由(1)知BEC90 ， 在 RtBEC 与 RtBCA 中，BB， BEC BCA， BECBCA， ， BEBC BCBA BC2 BEBA，AEEB12， 设 AEx，则 BE2x ，BA
4、3x ， BC 6，622x 3x，解得 x ，即 AE .6 6 3如图 Z134，已知 AB 是O 的直径，BCAB，连结 OC，弦 ADOC ， 3 直线 CD 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证：直线 CD 是O 的切线； (2)若 DE2BC，求 ADOC 的值 图 Z134 中考变形 3 答图 解：(1)证明：如答 图，连结 DO. ADOC， DAOCOB ，ADOCOD. OAOD， DAOADO， CODCOB. 又COCO，ODOB，CODCOB(SAS)， CDOCBO90，即 ODCD. 又点 D 在O 上，直线 CD 是O 的切线； (2)由(1)知， CODC
5、OB，CDCB. DE2BC，DE2CD. ADOC ， EDAECO， . ADOC DECE DEDE CD 23 42016广东 如图 Z135，O 是ABC 的外接圆，BC 是O 的直径， ABC30.过点 B 作O 的切线 BD，与 CA 的延长线交于点 D，与半径 AO 的延长线交于点 E.过点 A 作O 的切线 AF，与直径 BC 的延长线交于点 F. (1)求证：ACFDAE； (2)若 SAOC ，求 DE 的长； 34 (3)连结 EF，求证：EF 是O 的切线 4 图 Z135 中考变形 4 答图 解：(1)证明： BC 为O 的直径，BAC 90 ， 又ABC30，AC
6、B60， 又OA OC， OAC 为等边三角形，即OACAOC60， AF 为O 的切线， OAF90 ， CAFAFC30 ， DE 为O 的切线，DBCOBE90， DDEA30 ，DCAF， DEAAFC， ACFDAE； (2)AOC 为等边三角形，S AOC OA2 ， 34 34 OA1，BC2，OB 1，又DBEO30， BD2 ，BE ，DE3 ；3 3 3 (3)证明：如答 图，过点 O 作 OMEF 于点 M， OAOB ，OAFOBE90， BOEAOF ， OAFOBE(SAS)，OEOF， EOF120 ，OEMOFM30， OEBOEM30，即 OE 平分BEF，
7、又OBE OME 90 ， OMOB ，EF 为O 的切线 52017株洲 如图 Z136，AB 为O 的一条弦，点 C 为劣弧 AB 的中点，E 5 为优弧 AB 上一点，点 F 在 AE 的延长线上，且 BEEF，线段 CE 交弦 AB 于点 D. (1)求证：CE BF ； (2)若 BD2，且 EAEBEC31 ，求BCD 的面积5 图 Z136 中考变形 5 答图 解：(1)证明：如答 图，连结 AC，BE，作直 线 OC， BEEF， F EBF， AEBEBF F ， F AEB， 12 C 是 的中点， ，AB AC BC AECBEC， AEBAECBEC， AEC AEB，
8、AECF， CEBF； 12 (2)DAEDCB， AEDCEB， ADECBE， ，即 ， ADCB AECE ADCB 35 CBDCEB， BCDECB， CBECDB， ，即 ， BDCB BECE 2CB 15 CB 2 ，AD6，AB8，5 点 C 为劣弧 AB 的中点， 6 OCAB，设 垂足为 G，则 AGBG AB4， 12 CG 2，CB2 BG2 SBCD BDCG 222. 12 12 6如图 Z137，AB 是 O 的直径，C 为O 上一点，AE 和过点 C 的切线互 相垂直，垂足为 E，AE 交 O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连 结 AC，B
9、C，PBPC12. (1)求证：AC 平分BAD ； (2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由 图 Z137 中考变形 6 答图 解：(1)证明：如答 图，连结 OC. PE 是O 的切线，OCPE， AEPE，OCAE， DACOCA， OAOC，OCAOAC， DACOAC， AC 平分 BAD； (2)线段 PB，AB 之间的数量关系为 AB3PB.理由： AB 是O 的直径， ACB90 ，BACABC90 ， OBOC，OCBABC， PCBOCB90 ，PCBPAC， P 是公共角， PCBPAC， 7 ，PC2PB PA， PCPA PBPC PBPC12，PC2P
10、B， PA4PB，AB3PB . 72016枣庄 如图 Z138，AC 是O 的直径，BC 是O 的弦，P 是O 外 一点，连结 PA，PB ，AB ，已知PBAC. (1)求证：PB 是O 的切线； (2)连结 OP，若 OPBC，且 OP8，O 的半径为 2 ，求 BC 的长2 图 Z138 中考变形 7 答图 解：(1)证明：如答 图，连结 OB， AC 是 O 的直径， ABC90 ，CBAC90 . OAOB ，BACOBA， PBAC ， PBAOBA90，即 PBOB. PB 是O 的切线； (2)O 的半径 为 2 ，OB2 ，AC4 ，2 2 2 OPBC，BOPOBCC，
11、又ABCPBO 90 ，ABCPBO， ，即 ，BC2. BCBO ACPO BC22 428 82017聊城 如图 Z139，O 是ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上， BAC 的平分线交O 于点 D，连结 BD，CD ，过点 D 作 BC 的平行线， 与 AB 的延长线相交于点 P. (1)求证：PD 是O 的切线； 8 (2)求证：PBDDCA； (3)当 AB6，AC8 时，求线段 PB 的长 图 Z139 中考变形 8 答图 解：(1)证明： 圆心 O 在 BC 上， BC 是 O 的直径， BAC90 ，如答图，连结 OD， AD 平分BAC， BAC2DAC， DOC2DAC
12、， DOCBAC90 ，即 ODBC， PDBC，ODPD，OD 为O 的半径， PD 是O 的切线； (2)证明：PDBC，PABC， ABCADC， PADC， PBDABD180， ACDABD180， PBDACD，PBDDCA； (3)ABC 为直角三角形， BC2 AB2AC 26 28 2100，BC 10， OD 垂直平分 BC，DBDC， BC 为 O 的直径， BDC90， 在 RtDBC 中，DB 2DC 2BC 2，即 2DC2BC 2100， DCDB5 ，PBDDCA，2 9 ，即 PB . PBDC BDAC DCBDAC 52528 254 【中考预测】 2017黄冈模 拟如图 Z1310，AB 为O 的直径， CD 与O 相切于点 C， 且 ODBC，垂足为 F，OD 交O 于点 E.证明： (1)DAEC； (2)OA2ODOF . 图 Z1310 中考预测答图 证明：(1)如答 图，连结 OC， CD 与O 相切于点 C， OCD90. OCBDCF90 . DDCF90 ，OCBD， OBOC，OCBB， B AEC ，DAEC； (2)BAEC，D B， ODBC，BFOOCD90， BOFDOC， ，即 ， OCOF ODOB OAOF ODOA OA2ODOF.
