1、第三讲 指数和对数函数综合问题 【知识要点】 1. 有理数指数幂的运算性质： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；nma nmamna)( mba)( （5） ； （6） ；规定： .n1n 010 2.公式： . (4) ，且Nann,1,0。nan为 偶 数 时当 为 奇 数 时当 , 1n .N 3.指数与对数的互化： ； baablog 4.对数的运算性质： ， ，)(lll MNaaa )(logllogNMaaa 常见的对数运算公式：（1）log a1=0 , logaa=1 ; (2) ， logaaN=N; =N （3）换底公式： loglmaN 5. 两大特殊对数 （1）
2、常用对数： （2）自然对数： 性质： 性质： 6.指数函数与对数函数的图象及性质 指数函数 0,1 xya对数函数 log0,1ayxa 定 义 域 R0,x 值 域 0,yR 图 象 过定点 (0,1) 过定点 (1,0) 减函数 增函数 减函数 增函数(,0)(,)xy时 ，时 ， (,)(0,1)xy时 ，时 ， (,)(,)xy时 ，时 ， (,)(,0)xy时 ，时 ， 性 质 abababab 注： 对数函数 logyx与指数函数 xy 互为反函数，它们的图像关于直线 y=x 对称. 。 7指数不等式的解法：转化为代数不等式 ()() ()()1();01)()0,lgfxgx f
3、xgxfaafxaafxgbb 8. 对数不等式的解法：转化为代数不等式 ()0 ()0log()l()1;log()l()01aa aafx fxfxgfxg 【典例精讲】 题型一 指数与对数的运算 【例 1】化简（1） ； （2）)3()6)(26511213baba ；0,()(342ba （3） ； （4）0lg582l 2 2lglg5llg1. 【例 2】1求值： ；4log35.02 2已知 求 的值.；,nmaanm2 3已知 =14,用 a、b 表示 。 35log8 题型二 指数，对数比较大小 【例 3】已知 ，则 的大小关系是（ 7.01.7.0,8log,8logcba
4、 cba, ） （A） （B ） （C ） （D）ccacac 【例 4】设 ba,均为正数，且 a21log， b b21log ， c2log .则（ ） A. c B. bc C. ac D. ca 题型三 解指数，对数不等式 【例 5】设 f(x)= 123,log(),xe 则不等式 f(x)2 的解集为 （ ） A（1，2） （3，+） B（ 10，+） C（1，2） （ 10 ，+） D（1，2） 题型四 复合型指数函数及对数函数的定义域与值域问题 【例 6】已知函数 .32log)(1axxf （）若函数 的定义域为 ，求实数 的值；f ),(),(a （）若函数 的值域为(,
5、-1，求实数 的值；)xf （）若函数 在 内为增函数，求实数 的取值范围)(f)1,a 题型五 复合型对数函数的奇偶性与单调性 【例 7】已知函数 为1log)(xmfa 奇 函 数 (a0,1). (1)求 的值；m （2）判断 在区间(1,+)上的单调性并加以证明.(f 【例 8】已知指数函数 满足： ，定义域为 上的函数xag)(81)3(gR 是奇函数.mxgf)(1 （1）求函数 的解析式；（2）判断 在其定义域上的单调性，并求函数的值域；f )(xf （3）若不等式： 在 上恒成立，求实数 的取值范围.2)(xt1,0t 题型四 指数函数及对数函数的综合应用 【例 9】已知 .)
6、10(1)(2 aaxfx且 （1）判断 的奇偶性； （2）讨论 的单调性；)(xf （3）当 恒成立,求 的取值范围.bf)(1,时 ， 【例 10】已知函数 f(x)= (m ) （1）若 f(x)的定义域为 ，判断 f(x)定义域上单调性，并加以证明； （2）当 0 时，是否存在使定义域为 的函数 f(x)的值域为 ？若存在，求出 m 的取值范围，否则，说明理由. 【精品作业】 1. 设 3.02131)(,log,lcba，则 ( ) A abc B acb C bca D bac 2. 已知函数 ()fx满足：x4,则 ()fx 12x；当 x4 时 ()f 1)fx， 则 2log
7、3 ( ) A. 14 B.1 C. 8 D. 38 3. 给定函数 2yx， 12log()x， |1|yx， 12xy，期中在区间 （0，1）上单调递减的函数序号是 ( ) （A） （B） （C） （D） 4. 已知函数 ()log(21)01xafba， 的图象如图所示，则 ab， 满足的关系是 （ ） A 10B 1b C baD 0a1 O y x 5.设函数 12,()logxf 则满足 2fx的 的取值范围是( ) A , B 0, C 1, D 0, 6.已知 满足 , 函数 y 的x ),(4262 aaxx )(log1l212axa 值域为 , 则 .081 7.若函数 在 上有意义，则实数 的取值范围是)24lg()xkxf,k _. 8.设 ，若定义在区间 内的函数 是奇函数，则,aRb且 b, xaf21lg)( 的取值范围是 . 9.函数 的定义域为 .当 时，求 的最值及)43lg(2xyMxxxf43)(2 相应的 的值.x 10.设 ,如果当 时 有意义,求 的取值范)(3421lg)(Raxfx)1,(x)(xfa 围.
