旋转几何证明.doc

1、巧用旋转解题 温州市实验中学 周利明 传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是 几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交 流。 1利用旋转求角度的大小 例 1：在等腰直角ABC 中, ACB=90,AC=BC, P 是ABC 内一点,满足 PA= 、PB=2、PC=1 求BPC 的度数. 6 分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线段的 长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此 要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助 旋转来分析问题，因为 AC=BC，这就给我们利用旋转 创造了条件，因此可

2、以考虑将 绕点 C 逆时针旋转 ，AP09 得 ,连接 ，通过三角形的边与角的关系分别求得 和 ，就可得CPB PCB 到 的大小。 解：由已知 AC=BC，将 绕点 C 逆时针旋转 ，得 ,连接 ；09 由旋转可知： ， ， ；AP AB ， 09BCBP 是等腰直角三角形 ， 且 ， 045PC2 在 中， ，2222()6()PAB 是直角三角形，且 ，PB 09B 13545C 例 2：如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1，P、Q 分别为边 AB、AD 上的点, 的周长为APQ 2，求 的大小PQ 分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的， 因为正

3、方形的边长 BC=DC,所以可以考虑将 绕点 C 顺时针旋转 90，易证 E、D、QPB P A B C P 三点共线，通过证明 和 全等即可求得 的大小ECQPPCQ 解： BC=DC， 将 绕点 C 顺时针旋转 90得 ；PBED ， ， ，09EDPB ； ，09CQPQ 且 ，018CAE E、D、Q 三点共线， 的周长为 2，即 ，P2P 又 ，ADBQA ，EB 在 和 中： ， ；ECPCQPPCQ 045Q 练习：P 为正方形内一点,且 PA=1,BP=2,PC=3,求APB 的大小 2利用旋转求线段的长度 例 3：如图，P 是等边ABC 内一点，PA=2 ， ，PC=4，求

4、BC 的长。32PB 分析：本题 BC 虽然和 CP、BP 同处一个三角形，但是要求其长还缺角度，因此直接 从已知条件入手是比较困难的，但是我们只要适当运用旋转的 方法，就可以是问题简单化；因为本题的ABC 是等边三 角形，所以其三边是相等的，因此联想到将ABC 内部的 某个三角形进行旋转也是比较容易的； 解： ABC 是等边三角形， A B D C Q E P P A CE B A D CB P 将BPA 绕点 B 逆时针旋转 60，则 BA 与 BC 重合， 且 BP=BE，PA=EC，连接 EP；APEC ，06BP 是等边三角形， 32B 在 中： ；ECP22216)3(CPE ，

5、09 ， ，210C ，0BPC 728)32(42 例 4：如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC（BCAD ） ，D=90，BC=CD=12，ABE=45， 若 AE=10。求 CE 的长度。 分析：仔细分析就会发现本题所给的条件不易 直接求得 CE 的长度，还需要做一些变化，经观察 容易发现把把BCE 绕点 B 顺时针旋转 90， 可构成一个正方形，然后通过三角形全等，就找出 边之间的关系。 解：把BCE 绕点 B 顺时针旋转 90得 ，连接 ，易证 A、G 、F 三点一线，BGF 且易知四边形 BCDG 为正方形 由旋转可得： ， ，CE ， 045A 045CBEA 在 和 中： ，

6、BF BF 在 ， ，AE10AE 设 ，则 ， ，xCxG10 xGD2)(2 ；D2 在 ， ，即 ；Rt2222)1()(10x ， 解之得：0412x ;6,4 AD BC G F E CE 的长为 4 或 6 练习 2：如图四边形 ABCD 中，AB=AD，A=C=90，其面积为 16，求 A 到 BC 的距离 3利用旋转探求线段之间的关系 例 5：如图，在凸四边形 ABCD 中，ABC=30，ADC=60，AD=DC，求证： 22BCAD 分析：由本题的结论不难想到在直角三角形中应用 勾股定理可以证得含有平方关系的线段之间的关系，因此 我们就需要将结论中的这三条线段放到同一个直角三

7、角形中， 由于 AD=DC，所以可以考虑将 绕点 D 顺时针方向旋转 60，AB 使 AD 和 DC 重合，这样就可以得到 ，然后通过证明CERt 是等边三角形就可以得到结论中线段之间的关系DBE 解：将 绕点 D 顺时针方向旋转 60，使 AD 和 DC 重合，得 并连接 ，A DCEB 由旋转可得： ， ， ；CEDAB ，06EB 是等边三角形，D ，E 027DABCC ， 中： ，09BERt2C 22ED 例 6：如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，D、E 在 BC 上，DAE=45，求证： 22BC 分析：由本题的结论我们可以联想到直角三角形中勾股定理的结论，因此我们就

8、需要 将结论中的三条线段放在同一个直角三角形中，再由 AB=AC, A BD C E 我们不难想到将 绕点 A 延顺时针方向旋转 90，DC 这样我们就将 、 放到了同一个三角形中，BE 同时我们也不难证明 ，然后我们只要设法证明 ，则结论可09FAFED 得 解： AB=AC，将 绕点 A 延顺时针方向旋转 90得 ，连接 ，DCB 由旋转可得： ， ， ， ；AB045CDBCA ， ，045E 045FEAEE 在 和 中： ， ；FD AF ，E 09BCDBCB 是 ，FRt 22E 练习 3：如图、，ABC 是正三角形， BDC 是顶角 BDC120 的等腰三角形， 以 D 为顶点

9、作一个 60 角，角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N 两点，连接 MN 探究：线段 BM、MN 、NC 之间的关系，并加以证明 4利用旋转求面积的大小 例 7： 如图正方形 ABCD 中， ，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且BAE=30，3AB DAF=15，求AEF 的面积 分析：本题由已知条件直接去求结论是比较困难的， 由于该题中含 15，30等特殊角度，因此通过旋转ADF， 可构作出 45角，构造三角形全等，通过等积变形来解决 问题是比较容易的。 A B E D C F G B D C A D B E F 解：将ADF 绕 A 点延顺时针方向旋转 90得ABG， 由旋转性质可

10、知： ， ， ，FG015FADB09FDABG ， 点 G、B、E 三点共线，018CB 又 ，04E ， 005)3(9A 在 和 中： ， ；FG AFEAFEG ，又 ，E06G 中： ，BAE=30 ， ，ABRt31B 在 Rt EFC 中， ，00)(18FC ， ， )3(2ECF ，)3(2EG ，)13(21ABSA EGF 例 8：如图 A、B、C、D 是圆周上的四个点， 且弦 AB=8，弦ABCD CD=6，则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？ 分析：从已知条件直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件 ，容易发现 正好是整个圆弧的一半，因此通过将弓形ABCDABCD

11、CmD 绕圆心旋转使点 D 与点 B 重合，就可以得到直角三角形，然后求阴影部分的面积就 会很容易 解：由于 ，知 的长正好是整个圆弧的一半，将弓形 CmD 绕圆心旋转，使点 D 与点 B 重合（如图 2）：则 恰好为半圆弧，ABC AC 为 O 的直径， ABC=90 ，e 由勾股定理可求得 ，10AC 图 1 图 2 2156812.54RtABCSS阴 影 半 圆 练 习 4： 如 图 ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， D 为 AB 的 中 点 ， AB=2， 扇 形 ADG 和 BDH 分 别 是 以 AD、 BD 为 半 径 的 圆 的 ， 求 阴 影 部 分 面 积 41

12、 参考答案： 练习： ，提示：如图将 逆时针旋转 得 ，连接 ，分别求得0135BPC09AEBP 和 APEB 练习 2： 距离为 4，如图通过旋转变换得正方形 练习 3： ，把BDM 绕点 D 顺时针旋转 120得到 ，易证MNCB CDM D 练习 4： ，将扇形 BDH 和 BDC 绕 D 点顺时针旋转 1801()2 观察巧旋转 妙解题 沈岳夫 旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行 有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时 无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的 突破口

13、，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。 一. 通过旋转，解答角度问题 例 1. 如图 1，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10 。求APB 的度数。 A D CB E P 练习 1 练习 2 练习 3 练习 4 图 1 解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。 将PAC 绕点 A 逆时针旋转 60后，得到FAB，连接 PF（如图 2），则 BF=PC=10，FA=PA=6 ，FAP=60。 FAP 是等边三角形，FP=PA=6。 在PBF 中， BPF=90 APB=APF+FPB=60+90 =150 图 2 二

14、. 通过旋转，计算线段长度问题 例 2. 如图 3，P 是正ABC 内一点，PA=2 ， ，PC=4，求 BC 的长。 图 3 解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就显得十分容易。 将BPA 绕点 B 逆时针旋转 60，则 BA 与 BC 重合（如图 4）， BP=BM，PA=MC ，连接 MP。 则MBP 是正三角形，即 ， 由 ， 故CMP=90， 因为 ， 所以MPC=30， 又因为MPB=60， 故CPB=90 ， 得 图 4 例 3. 如图 5，在梯形 ABCD 中，AD/BC（BCAD），D=90， BC=CD=12， ABE=45，若 AE=10。求 CE

15、的长度。 图 5 解析：经观察，把BCE 绕点 B 顺时针旋转 90，可构成一个正方形，然后通过三 角形全等，找出边之间的关系。 延长 OA，把BCE 绕点 B 顺时针旋转 90，与 DA 的延长线分别交于点 G，点 M（如图 6），易知四边形 BCDG 为正方形。 BC=BG 又=CBE=GBM RtBECRtBMG BM=BE，ABE= ABM=45 ABEABM AM=AE=10 设 CE=x， 则 。 在 Rt ADE 中， ， 即 所以 CE 的长为 4 或 6。 图 6 三. 通过旋转，巧算面积问题 例 4. 如图 7，正方形 ABCD 中， ，点 E、F 分别在 BC、CD 上，

16、且 BAE=30，DAF=15，求AEF 的面积。 图 7 解析：由于该题中含 15，30等特殊角度，通过旋转ADF，可构作出 45角，构 造三角形全等，通过等积变形而获解。 将ADF 绕 A 点顺时针旋转 90到ABG 的位置（如图 8）， 由旋转性质可知：AG=AF ， BAG=FAD=15， 故GAE=15+30 =45。 EAF=90 GAE=FAE 又AE=AE AEG AEF（SAS） EF=EG，AEF=AEG=60 在 Rt ABE 中， ， BAE=30，则 BE=1， 在 Rt EFC 中，FEC= ， 即 图 8 例 5. 如图 9，A、B、C、D 是圆周上的四个点， 。

17、且弦 AB=8，弦 CD=4，则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？（结果保留三个有效数字） 图 9 解析：要直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件，运用整体思维可简易求得。 由于 ，知 长等于圆的周长的一半，将弓形 CmD 绕圆心 旋转，使点 D 与点 B 重合（如图 10）， 则 恰好为半圆弧，此时 AC 为圆 O 的直径，从而ABC=90， 由勾股定理可求得 ， 故其面积和为 15.4。 图 10 四. 通过分割、旋转、拼接平行四边形 例 6. 如图 11，已知四边形纸片 ABCD，现需将该纸片剪成一个与它面积相等的平行四边 形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：_（用“能”或“

18、不能” 填空），若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说 明理由。 图 11 解析：解此题的关键是把大四边形分割成四个小四边形，然后通过分割旋转达到目的， 简答如下： 能，如图 12，取四边形 ABCD 各边的中点 E、G、F、H，连接 EF、GH，则 EF、GH 为裁剪线，EF、GH 将四边形 ABCD 分成 1、2、3、4 四个部分，拼接时，图中的 1 不动， 将 2、4 分别绕点 H、F 各旋转 180，3 平移，拼成的四边形满足条件（如图 13）。 图 12 图 13 五. 通过旋转巧证三点一直线 例 7. 已知，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接

19、 PA、 PB、PC。 （1）将PAB 绕 B 点顺时针旋转 90到 的位置（如图 14） 设 AB 的长为 a，PB 的长为 b（ba）。求PAB 旋转到 的过程中边 PA 所 扫过区域（图 14 中阴影部分）的面积。 若 PA=2，PB=4，APB=135，求 PC 的长。 图 14 （2）如图 15，若 ，请说明点 P 必在对角线 AC 上。 解析：要说明点 P 必在对角线 AC 上（即点 A、点 P、点 C 三点成一直线）关键是弄 懂第（1）小题的问题，实质第（1）小题的解答过程为第（2）问埋下伏笔，让学生从中受 到启发，运用类比方法就易解答该题，简答如下： （1） 图 15 如图 1

20、6，连接 ，将PAB 绕 B 点顺时针旋转 90到 的位置，则 。AP= ，APB= ， 为等腰直角三角形， ， 。 PC=6 图 16 （2）将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90到 的位置（如图 17） 则 ，APB= ，连接 ，则 。 即点 P 必在对角线 AC 上。 图 17 六. 通过旋转探求线段之间的关系 例 8. 如图 18，E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的一点，AF 平分EAD 交 CD 于点 F。求 证：AE=BE+DF。 图 18 解析：解此题的关键是如何把分散的三条线段集中到一个三角形中，经观察可通过旋 转三角形达到目的。 将ADF 绕点 B 顺时针旋转 90到AB

21、G（如图 19），由旋转性质可知： ADF ABG。 则 DF=BG， BE+DF=BE+GB=GE 在AGE 中， AE=GE AE=BE+DF 图 19 例 9. 操作：如图 20，ABC 是正三角形，BDC 是顶角BDC=120的等腰三角形， 以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N 两点，连接 MN。 图 20 探究：线段 BM、MN 、NC 之间的关系，并加以证明。 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的思路，请你把探索过程中的 某种思路写出来（要求至少三步）； （2）在你经历说明（1）的过程中，可以从下列中选出一个补充或更换已知条件， 完成

22、你的证明：AN=NC （如图 21）；DM/AC（如图 22） 图 21 图 22 附加题：若点 M、N 分别是射线 AB、CA 上的点，其它条件不变，再探线段 BM、MN 、NC 之间的关系，在图 22 中画出图形，并说明理由。 图 23 解析：解此题的关键是如何将 MN、BN、CN 三条线段集中起来，根据题设条件，通 过旋转，再借助三角形全等进行证明。 把BDM 绕点 D 顺时针旋转 120得到 。（如图 24），由旋转性质可知 DBM ，则 BM= ，DM= ，BDC= 。 MDN=60 。DN=DN MDN （SAS） 图 24 附加题： 把DMB 绕点 D 顺时针旋转 120得到 。（如图 25），证明思路可仿照上述 小题，具体过程同学们自己补充完整。 图 25