1、1 1、如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连结 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，1= 2 ， 3=4. (1)证明：ABEDAF； （2）若AGB=30，求 EF 的长.ACBDEFG1423 【解析】 （1）四边形 ABCD 是正方形， AB=AD， 在ABE 和DAF 中， ， 3412DAB ABEDAF. （2）四边形 ABCD 是正方形， 1+4=90 o 3=4, 1+3=90 o AFD=90 o 在正方形 ABCD 中， ADBC, 1=AGB=30 o 在 RtADF 中，AFD=90 o AD=2 , AF
2、= , DF =1,3 由(1)得ABEADF, AE=DF=1, EF=AF-AE= .13 2、如图， ,ABCDAEBDAEF于 点 ， ， 平 分 交 于 点 ，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加 以证明 【解析】 （1） 、ADBC 、 、E FAE 、 F （写出其中的三对即 可）. （2）以 为例证明 ADB C 证明： , 90A. 在 Rt 和 Rt 中，B ,ACD Rt Rt . 3、在ABC 中,AB=CB, ABC=90,F 为 AB 延长线 上一点,点 E 在 BC 上,且 AE=CF. (1)求证:RtAB ERtCBF; (2)若CAE=30,求ACF
3、 度数. 2 AB C E F 第 22 题图 【解析】 （1）ABC=90 CBF=ABE=90 在 RtABE 和 RtCBF 中 AE=CF, AB=BC RtABERt CBF(HL) (2)AB=BC, ABC=90 CAB=AC B=45 BAE=CAB-CAE=45 -30=15. 由（1）知 RtABE RtCBF， BCF= BAE=15 ACF=BCF+ACB=45+15=60 4、已知：如图，点 C 是线段 AB 的中点， CE=CD，ACD=BCE, 求证：AE=BD 题 20 图 【解析】 点 C 是线段 AB 的中点， AC=BC， ACD=BCE, ACD+DCE
4、=BCE+DCE, 即ACE=BCD, 在ACE 和BCD 中， ， ACBED ACEBCD（SAS） ， AE=BD. 5、如图 10，已知 ，AERtBCt ,90ADEB 与 相交于点 ，连接 F, （1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举； （2）求证： C 【解析】 （1） ,ABEDCBF （2）证法一：连接 ADERtBCt 又 tt AEDCB 3 AEDCABCE 即 F 证法二： Rtt ,EADCBADEAC, B 即 )(SAEBCD , 又 EBF 又 DC )(A 6、如图，点 F 是 CD 的中点，且 AF CD，BCED，BCDEDC （1）求证：AB=AE
5、； （2）连接 BE，请指出 BE 与 AF、BE 与 CD 分别 有怎样的关系？ （只需写出结论，不必证明） 【解析】 （1）证明：联结 AC、AD 点 F 是 CD 的中点，且 AF CD，AC=AD ACD=ADC BCDEDC ACBADE BC=DE ， AC=AD ABC AED AB=AE （2）BEAF,BE/CD,AF 平分 BE 7、如图 l，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交 于点 O，E 是 AC 上一点，连结 EB，过点 A 作 AM BE，垂足为 M，AM 交 BD 于点 F (1)求证：OE=OF； (2)如图 2，若点 E 在 AC 的延长线上，A
6、M BE 于点 M，交 DB 的延长线于点 F，其它条件不变，则结论 “OE=OF”还成立吗? 如果成立，请给出证明；如果不 成立，请说明理由 1 F M O C D B A E 2F M O C D B A E 【解析】 (1)证明：四边形 ABCD 是正方形 BOE= AOF90 OBOA 又AM BE， MEA+ MAE90 = AFO+ MAE MEA AFO RtBOE RtAOF A B C D E F 4 OE=OF (2)OEOF 成立 证明：四边形 ABCD 是正方形， BOE= AOF90 OBOA 又 AM BE， F+ MBF90 = B+ O BE 又 MBF OBE
7、 F E RtBOE RtAOF OE=OF 8、如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s， （1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过 程中，CMQ 变化吗？若变化，则说明理由， 若不变，则求出它的度数； （2）何时PBQ 是直角三角形？ （3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在 射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则CMQ 变化吗？若变化，则说明理由， 若不变，则求出它的度数； 【解析】 （1） 不变。06CMQ 06CAP
8、BA三三 又由条件得 AP=BQ， (SAS)BQCP A 06BACMBQCPCM （2）设时间为 t，则 AB=BQ=t，PB=4-t 当 34,24,2,6090 tBQPBP三三 当 2),4(2,6090 ttPBBPQ三三 当第 秒或第 2 秒时，PBQ 为直角三角形34 （3） 不变。01CM 06CAPBA三三 012CQPB 又由条件得 BP=CQ， (SAS)A 又MBPAPB Q CM图 1 AP B QC M图 2 5 MCQPB 012P 9、如图： ACB 与 DCE 是全等的两个直角三角形， 其中 ACB= DCE=900，AC=4，BC=2，点 D、C、B 在
9、同一条直线上，点 E 在边 AC 上. （1）直线 DE 与 AB 有怎样的位置关系？请证明你 的结论； （2）如图（1）若 DCE 沿着直线 DB 向右平移多 少距离时，点 E 恰好落在边 AB 上，求平移距离 DD， ； （3）在 DCE 沿着直线 DB 向右平移的过程中， 使 DCE 与 ACB 的公共部分是四边形，设平移 过程中的平移距离为 ，这个四边形的面积为 ，xy 求 与 的函数关系式，并写出它的定义域.y 【解析】 解：（1）点 M （2）经过 t 秒时， ， 则NBt2Ot ，3C4A = =Q5 t 1PQt1(42)2AMSt t 22194Stt 当 时，S 的值最大
10、0t t （3）存在 设经过 t 秒时，NB= t，OM= 2t 则 ，3CNt 4AM = = BCQ5 若 ，则 是等腰 Rt90P 底边 上的高A 是底边 的中线 PQM12 (4)tt 点 的坐标为（1，0） 若 ，此时 与 重合9QMAQP P 142tt 点 的坐标为（2，0） 10、如图， 四点共线， ，,AFEBACE ， ， 。求证：BDD 。CD EA BC D EA BC（1）D， D EA BC备用图 6 【解析】 ，ACEBDF90 在 与 中RttAEBFCD (HL)RttAEBF ，即AFBE 在 与 中CDAFBE (SAS)CD 11、如图， 是 的边 上的点，且ABC ， ， 是 的中EABD 线。求证： 。2 【解析】 延长 至点 ，使 ，连接AEFAEDF 在 与 中ABEFD (SAS)ABEFD ，ACB 又 DF ，ABC 在 与 中DFAC (SAS)DFA 又 2E 。C 12、已知：AC 平分 BAD，CEAB，B+D=180，求证： AE=AD+BE 7 【解析】 在 AE 上取 F，使 EFEB，连接 CF CEAB CEBCEF90 EBEF，CECE， CEBCEF BCFE BD180，CFECFA180 DCFA AC 平分BAD DACFAC ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE
