1、完全版 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.一 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分） （一 1） ，n 表小班人数noS10, （3）生产产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数。 （一 2） S=10，11，12，n， （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” ，不合格的盖上“次品” ， 如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1” ，查出次品记为“0” ，连续出现两个“0”就停止检查，或查
2、满 4 次才停止检查。 （一 (3)） S=00，100， 0100，0101， 1010，0110，1100，0111， 1011，1101，1110，1111， 2.二 设 A， B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生。 表示为： 或 A (AB+AC)或 A (BC ) （2）A，B 都发生，而 C 不发生。 表示为： 或 AB ABC 或 AB C （3）A，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A，B ，C 都不发生， 表示为： 或 S (A+B+C)或CBACBA
3、（6）A，B ，C 中不多于一个发生，即 A，B，C 中至少有两个同时不发生 相当于 中至少有一个发生。故 表示为： 。A, （7）A，B ，C 中不多于二个发生。 相当于： 中至少有一个发生。故 表示为：, ABC或 （8）A，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB，BC，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC +AC 6.三 设 A，B 是两事件且 P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下 P (AB)取到最 大值，最大值是多少？（2）在什么条件下 P (AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由 P (A) = 0.6，P (B) = 0.7 即知 AB，
4、 （否则 AB = 依互斥事件加法定理， P(AB )=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31 与 P (AB)1 矛盾） . 从而由加法定理得 P (AB)=P (A)+P (B)P (A B) (*) （1）从 0P(AB )P(A )知，当 AB=A，即 AB 时 P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6， （2）从(*)式知，当 AB=S 时，P( AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.71=0.3 。 7.四 设 A，B，C 是三事件，且 ，0)()(,41)()( BCPACPBA . 求 A，B，C 至少有一个发生的概率。81)( 解：P
5、 (A，B，C 至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P( AB)P(BC) P (AC)+ P(ABC)= 850143 8.五 在一标准英语字典中具有 55 个由二个不相同的字母新组成的单词，若从 26 个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？ 记 A 表“能排成上述单词” 从 26 个任选两个来排列，排法有 种。每种排法等可能。26A 字典中的二个不同字母组成的单词：55 个 1305)(26AP 9. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。 （设后面 4 个数中的每一个数都是等可能性地取自 0，1，29）
6、记 A 表“后四个数全不同” 后四个数的排法有 104 种，每种排法等可能。 后四个数全不同的排法有 10A 54.)(4P 10.六 在房间里有 10 人。分别佩代着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人记录 其纪念章的号码。 （1）求最小的号码为 5 的概率。 记“三人纪念章的最小号码为 5”为事件 A 10 人中任选 3 人为一组：选法有 种，且每种选法等可能。310 又事件 A 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码大于 5。这种组合的种数有251 1230)( P （2）求最大的号码为 5 的概率。 记“三人中最大的号码为 5”为事件 B，同上 10 人中任选 3 人，选
7、法有 种，310 且每种选法等可能，又事件 B 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码小于 5，选法有 种241 20134)(BP 11.七 某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶，红漆 3 桶。在搬 运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货 4 桶白漆，3 桶黑漆和 2 桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 记所求事件为 A。 在 17 桶中任取 9 桶的取法有 种，且每种取法等可能。917C 取得 4 白 3 黑 2 红的取法有 2340 故 15)(61734AP 12.八 在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正
8、品，任意取 200 个。 （1）求恰有 90 个次品的概率。 记“恰有 90 个次品”为事件 A 在 1500 个产品中任取 200 个，取法有 种，每种取法等可能。2015 200 个产品恰有 90 个次品，取法有 种94 201594)(AP （2）至少有 2 个次品的概率。 记：A 表“至少有 2 个次品” B0 表“不含有次品” ，B 1 表“只含有一个次品” ，同上，200 个产品不含次品，取法 有 种，200 个产品含一个次品，取法有 种21 1904 且 B0，B 1 互不相容。10A 2015942015)()()( 10BPP 13.九 从 5 双不同鞋子中任取 4 只，4
9、只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多 少？ 记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对 ” 则 表“4 只人不配对” 从 10 只中任取 4 只，取法有 种，每种取法等可能。410 要 4 只都不配对，可在 5 双中任取 4 双，再在 4 双中的每一双里任取一只。取法有25 2138)(1)(2405APC 15.十一 将三个球随机地放入 4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是 1，2，3，的概率各为多少？ 记 Ai 表“杯中球的最大个数为 i 个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有 43 种，每种放法等可能 对 A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 432 种。 (
10、选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列)162)(1P 对 A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有 种。342C (从 3 个球中选 2 个球，选法有 ，再将此两个球放入一个杯中，选法有 423C 种，最后将剩余的 1 球放入其余的一个杯中，选法有 3 种。694)(32AP 对 A3：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入 此 3 个球，选法有 4 种)16(3P 16.十二 50 个铆钉随机地取来用在 10 个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个 部件用 3 只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱， 问
11、发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 记 A 表“10 个部件中有一个部件强度太弱” 。 法一：用古典概率作： 把随机试验 E 看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完 10 个部件（在三个钉的一 组中不分先后次序。但 10 组钉铆完 10 个部件要分先后次序） 对 E：铆法有 种，每种装法等可能32347350CC 对 A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有 10323473CC 种 051.1960)( 32347503 CP 法二：用古典概率作 把试验 E 看作是在 50 个钉中任选 30 个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。 （铆钉要计先后次序） 对 E：铆法有 种，每种铆法等可能
12、350A 对 A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或 “28，29，30”位置上。这种铆法有 种2743274327432743 10AAA 5.9610)(357P 17.十三 已知 。)|(,.0)(,4.0)(,.)( BAPBAPA求 解一： ASP )(,6.)(1)(,7.0)(1)( 注意 . 故有BA P (AB)=P (A) P (A )=0.70.5=0.2。 再由加法定理， P (A )= P (A)+ P ( )P (A )=0.7+0.60.5=0.8BB 于是 25.08)()(| 25.06.7051)()()()|( )|()(72)
13、|(75.0)|( |5: BAPBAPBAP ABPAP定 义 故 解 二 由 已 知 18.十四 。)(,21)|(,31)|(,41)( BAPBAPBAP求 解：由 61)()(3421)(|)()|( BPBPBAP 有定 义 由 已 知 条 件 由乘法公式，得 )|AA 由加法公式，得 312641)()()( ABPBAP 19.十五 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7，求其中有一颗为 1 点的概率 （用两种方法） 。 解：（方法一） （在缩小的样本空间 SB 中求 P(A|B)，即将事件 B 作为样本空间， 求事件 A 发生的概率） 。 掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x
14、, y） （x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足 x,+y=7，则 样本空间为 S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3) 每种结果（x, y）等可能。 A=掷二骰子，点数和为 7 时，其中有一颗为 1 点。故 3162)(AP 方法二：（用公式 )(|(BPA S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每种结果均可能 A=“掷两颗骰子，x, y 中有一个为“1”点” ，B=“掷两颗骰子，x,+y=7” 。则 ，226)(16)(ABPBP 故 316)(|(2 20.十六 据
15、以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律： P(A)=P孩子得病=0.6，P (B|A)=P母亲得病|孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父亲得病| 母 亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。 解：所求概率为 P (AB )（注意：由于“母病” ， “孩病” ， “父病”都是随机事件，C 这里不是求 P ( |AB) P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P ( |AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6. 从而 P (AB )= P (AB) P( |AB)=0.30.6=0.18. 21.十七 已知 10 只晶体管中
16、有 2 只次品，在其中取二次，每次随机地取一只， 作不放回抽样，求下列事件的概率。 （1）二只都是正品（记为事件 A） 法一：用组合做 在 10 只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种 取法等可能。 62.0458)(210CAP 法二：用排列做 在 10 只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个 排列等可能。 4528)(10AP 法三：用事件的运算和概率计算法则来作。 记 A1，A 2 分别表第一、二次取得正品。 45289710)|()()221 APAP （2）二只都是次品（记为事件 B） 法一： 451)(20CP 法二： )(210AB 法三： 45190
17、2)|()() 12121 APP （3）一只是正品，一只是次品（记为事件 C） 法一： 4516)(20 18CP 法二： 4516)()2108ACP 法三： 互 斥与且 2121)() A 456908|() 12121 APAP （4）第二次取出的是次品（记为事件 D） 法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作， 法二： 51)(2019ADP 法三： 互 斥与且 2121)() A 519028)|(| PP 22.十八 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超 过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是 多少？ 记 H
18、 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第 i 次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 1038910 )|()|()|()() 213122321 APAAPHP 三 种 情 况 互 斥 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件 B）问题变为在 B 已发生的条件下，求 H 再发生的概率。 )|)|( 32121ABPAH )|()|()|(|()|()|( 213121 ABPABP 5314154 24.十九 设有甲、乙二袋，甲袋中装有 n 只白球 m 只红球，乙袋中装有 N 只白球 M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋 中取到
19、）白球的概率是多少？（此为第三版 19 题(1)） 记 A1，A 2 分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记 B 表“再从乙袋中取得白球” 。 B=A1B+A2B 且 A1，A 2 互斥 P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) = 1MNmnMNmn 十九(2) 第一只盒子装有 5 只红球，4 只白球；第二只盒子装有 4 只红球，5 只白 球。先从第一盒子中任取 2 只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取 到白球的概率。 记 C1 为“从第一盒子中取得 2 只红球” 。 C2 为“从第一盒子中取得 2 只白球” 。 C3 为“从第一盒子
20、中取得 1 只红球，1 只白球” ， D 为“从第二盒子中取得白球 ”，显然 C1，C 2，C 3 两两互斥， C1C 2C 3=S，由全 概率公式，有 P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 951675294529429 26.二十一 已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者。今从男女 人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：A 1=男人，A 2=女人，B=色盲 ，显然 A1A 2=S， A1 A2= 由已知条件知 %5.0)|(,5)|(1)(1 BPP 由贝叶斯公
21、式，有 2105102)|()|()|)()|( 211111 ABPABPAPB 二十二 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为 P，若第一 次及格则第二次及格的概率也为 P；若第一次不及格则第二次及格的概率为 （1）若2 至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。 （2）若已知他第二次已 经及格，求他第一次及格的概率。 解：A i=他第 i 次及格，i=1,2 已知 P (A1)=P (A2|A1)=P， 2)|(12P （1）B=至少有一次及格 所以 21两 次 均 不 及 格 )|()()()( 121APAPP |12 23)( （2） （*）)()212
22、1(AP定 义 由乘法公式，有 P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2 由全概率公式，有 )|()| 121A 2 )(P 将以上两个结果代入（*）得 12)|(21PA 28.二十五 某人下午 5:00 下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:355:39 5:405:44 5:455:49 5:505:54 迟于 5:54 乘地铁到 家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到 家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是 5:47 到家的，试求他是乘地铁 回家的概率。 解：
23、设 A=“乘地铁” ，B=“乘汽车” ，C=“5:455:49 到家” ，由题意, AB=, AB= S 已知：P ( A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由贝叶斯公式有 6923.015.42)|(1)|(45.0)(|)|( BCPAC 29.二十四 有两箱同种类型的零件。第一箱装 5 只，其中 10 只一等品；第二箱 30 只，其中 18 只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任 取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。 （2）第一次取 到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概
24、率。 解：设 Bi 表示“第 i 次取到一等品 ” i=1，2 Aj 表示 “第 j 箱产品” j=1,2，显然 A1A 2=S A1A2= （1） （B 1= A1B +A2B 由全概率公式解） 。4.05382501)(P （2） 4857.0593)()|(1212 B （先用条件概率定义，再求 P (B1B2)时，由全概率公式解） 32.二十六（2） 如图 1，2，3，4，5 表示继电器接点，假设每一 继电器接点闭合的概率为 p，且设各继电器 闭合与否相互独立，求 L 和 R 是通路的概率。 记 Ai 表第 i 个接点接通 记 A 表从 L 到 R 是构成通路的。 A=A1A2+ A1
25、A3A5+A4A5+A4A3A2 四种情况不互斥 P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)P (A1A2A3A5) + P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5) + P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)P (A 1A2 A3 A4A5) 又由于 A1，A 2， A3， A4，A 5 互相独立。 故 P (A)=p2+ p3+ p2+
26、 p3p 4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4 + p5 + p5+ p5+ p5p 5=2 p2+ 3p3 5p4 +2 p5 二十六（1）设有 4 个独立工作的元件 1，2，3，4。它们的可靠性分别为 P1，P 2，P 3，P 4，将它们按图（ 1）的方式联接，求系统的可靠性。 记 Ai 表示第 i 个元件正常工作，i=1，2，3，4， A 表示系统正常。 A=A1A2A3+ A1A4 两种情况不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)P (A 1A2A3 A4) (加法公式) = P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A 1)
27、P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4P 1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4 独立) 3 4 2 1 5 3 4 21 L R 34.三十一 袋中装有 m 只正品硬币，n 只次品硬币， （次品硬币的两面均印有国 徽） 。在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概 率为多少？ 解：设“出现 r 次国徽面”=B r “任取一只是正品”=A 由全概率公式，有 rrrrr rrrrr nmnmBPAAP n2)21()(|)|( 1)()|()|()( （条件概率定义与乘法公式） 35甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概
28、率分别为 0.4，0.5，0.7。 飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2，被两人击中而被击落的概率为 0.6，若三人都击 中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。 解：高 Hi 表示飞机被 i 人击中，i= 1，2，3。B 1，B 2，B 2 分别表示甲、乙、丙击中 飞机 ，三种情况互斥。321321321B 三种情况互斥B323H 又 B1，B 2，B 2 独立。 )()()()( 321321 BPBPP6.075.60.5.4)()()()( 3213212 BPBPHP 3.054.)()(321BP + 0.40.50.7+0.60.50.7=0.41 P (H3)=P (B1)P
29、 (B2)P (B3)=0.40.50.7=0.14 又因： A=H1A+H2A+H3A 三种情况互斥 故由全概率公式，有 P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.360.2+0.410.6+0.141=0.458 36.三十三 设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏 2%（这一事件记 为 A1） ， 10%（事件 A2） ，90% （事件 A3）的概率分别为 P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2) =0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为 B） ，试分别 求 P (
30、A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的 概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地） B 表取得三件好物品。 B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥 由全概率公式，有 P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =0.8(0.98)3+0.15(0.9)3+0.05(0.1)3=0.8624 01.8624.0)(5)(|)()|( 6891)|()(| 731.08624.)(0|)|( 33333 2222111 BPAABPB 37.三十四 将 A，B，C 三个字母之
31、一输入信道，输出为原字母的概率为 ，而 输出为其它一字母的概率都是(1 )/2。今将字母串 AAAA，BBBB，CCCC 之一输入信 道，输入 AAAA，BBBB，CCCC 的概率分别为 p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为 ABCA，问输入的是 AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。 ） 解：设 D 表示输出信号为 ABCA，B 1、B 2、B 3 分别表示输入信号为 AAAA， BBBB， CCCC，则 B1、B 2、B 3 为一完备事件组，且 P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。 再设 A 发、A 收分别表示发出、接收字母 A，其余类
32、推，依题意有 P (A 收 | A 发 )= P (B 收 | B 发 )= P (C 收 | C 发 )=， P (A 收 | B 发 )= P (A 收 | C 发 )= P (B 收 | A 发 )= P (B 收 | C 发 )= P (C 收 | A 发 )= P (C 收 | B 发 )= 21 又 P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A 收 | A 发 ) P (B 收 | A 发 ) P (C 收 | A 发 ) P (A 收 | A 发 ) = ，22 同样可得 P (D | B 2) = P (D | B 3) = 3)1( 于是由全概率公式，得
33、 332213 )1()()(|)( Papi ii 由 Bayes 公式，得 P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = )(|11B = (23211P 二十九 设第一只盒子装有 3 只蓝球，2 只绿球，2 只白球；第二只盒子装有 2 只 蓝球，3 只绿球，4 只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。 （1）求至少有一只蓝 球的概率， （2）求有一只蓝球一只白球的概率， （3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝 球一只白球的概率。 解：记 A1、A 2、A 3 分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球， B1、B 2、B 3 分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、
34、白球。 （1）记 C=至少有一只蓝球 C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5 种情况互斥 由概率有限可加性，得 952794739273 )()()()()()( 13123111 3232 BPAPPPBA独 立 性 （2）记 D=有一只蓝球，一只白球 ，而且知 D= A1B3+A3B1 两种情况互斥63192743 )()()() 311PBAPBAPD （3） )(5)()()|( DCCDC注 意 到 三十 A，B，C 三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给 A，B ，C 的电话的概率分别为 。他们三人常因工作外出，A，B，C 三人外1,2 出
35、的概率分别为 ，设三人的行动相互独立，求41,2 （1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了 3 个电话，求（3）这 3 个电话打给同一人的概率；（4）这 3 个电话打给不同人的概率； （5）这 3 个电话都打给 B，而 B 却都不在的概率。 解：记 C1、C 2、C 3 分别表示打给 A，B，C 的电话 D1、D 2、D 3 分别表示 A，B，C 外出 注意到 C1、C 2、C 3 独立，且 51)(,52)(31PP 4)(,)(32DP （1）P（无人接电话）=P (D 1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) = 4 （2）记 G=“被呼叫人在
36、办公室” ， 三种情况互斥，由有321CG 限可加性与乘法公式 2013453215 )|()|()|()( 3312CDPCDPCPDG )()|(kkDP故否 和 来 电 话 无 关由 于 某 人 外 出 与 （3）H 为“这 3 个电话打给同一个人 ” 12575525)( P （4）R 为“这 3 个电话打给不同的人” R 由六种互斥情况组成，每种情况为打给 A，B，C 的三个电话，每种情况的概率 为 125452 于是 6)(RP （5）由于是知道每次打电话都给 B，其概率是 1，所以每一次打给 B 电话而 B 不在 的概率为 ，且各次情况相互独立41 于是 P（3 个电话都打给 B
37、，B 都不在的概率）= 64)(3 第二章 随机变量及其分布 1.一 一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以 X 表 示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律 解：X 可以取值 3，4，5，分布律为 106)4,321,5()5( 3,44 10)2,1,3()3( 3524352 CPXC中 任 取 两 球再 在号一 球 为 中 任 取 两 球再 在号一 球 为 号两 球 为号一 球 为 也可列为下表 X： 3， 4，5 P： 106, 3.三 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作 不放回抽样，以 X 表示
38、取出次品的只数， （1）求 X 的分布律， （2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数 X 可能为 0，1，2 个。352)0(1CP)(3152X)2(315CP 再列为下表 X： 0， 1， 2 P： 35, 4.四 进行重复独立实验，设每次成功的概率为 p，失败的概率为 q =1p(03) 若 X N（， 2） ，则 P ( C )=P (XC) P (X C )=1P ( XC )= P (XC) 得 P (XC )= =0.521 又 P (XC )= C =3023,5.03查 表 可 得 26.二十四 某地区 18 岁的女青年的血压（收缩区，以 mm-Hg 计）服从
39、 在该地区任选一 18 岁女青年，测量她的血压 X。求)12,0(N （1）P ( X105)，P (100x) 0.05. 解: 384.061.417.0()4167.0()105() 5922)83.(2)65( )5()60 .74129.74129.10.645120 50)(0)( Xxx xXP故 最 小 的查 表 得 27.二十五 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为 =10.05 ，=0.06 的正 态分布。规定长度在范围 10.050.12 内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？ 设螺栓长度为 X PX 不属于(10.05 0.12, 10.05+0.12) =1P
40、 (10.050.12180=P X1180, X2180, X3180, X4180 =P X1804=1pX0，引入新的随机变量 （X *称为标准化的随机变量）： * 验证 E (X* )=0，D (X* )=1 （2）已知随机变量 X 的概率密度。,02|1|)(其 它 xxf 求 X*的概率密度。 解：（1） 0)()(1)()( XEDXEE D (X* )= E X*E (X ) * 2= E (X*2 )= 2)( = 1)(1X （2） 1)()(1|)( 21020 dxxdxdx Xi i 0 P i 67)1( )1(|)(2110202 dxxdxXE 61)(* )(
41、2XDEX 16* )()1()()() yX dxfyPyyPyF 时即当 时即当 时即当 yydxyy 6,121 620| ,601_60 为 其 他 值yyygX0|)61(|)(* 16.十六 设 X 为随机变量， C 是常数，证明 D (X )0，E ( W 2 )0 时，对 t 有 E (W tV )2 = E (V2 ) t2 2 E(VW )t+ E (W 2 )0.(*) (*)式是 t 的二次三项式且恒非负，所以有=2 E(VW ) 24 E ( V2 ) E (W 2 ) 0 故 Cauchy-Schwarz 不等式成立。 二十一 （1）设随机变量 X1，X 2，X 3
42、，X 4 相互独立，且有 E (Xi )=i, D (Xi )=5i, i=1,2,3,4。设 Y=2 X1X 2+3X3 X4，求 E (Y)，D (Y) 。 （2）设随机变量 X，Y 相互独立，且 X N（720，30 2） ， Y N（640，25 2） ，求 Z1=2X+Y，Z 2=X Y 的分布，并求 P XY , P X+Y1400 解：（1）利用数学期望的性质 2，3有 E (Y )= 2E (X1 )E (X 2 )+3 E (X3 ) E (X4 )=71 利用数学方差的性质 2，3有 D (Y )=22 D (X1 )+ (1) 2 D (X2 )+32 D (X3 )+(
43、 )2 D (X4 )=37.25 （2）根据有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知 Z1N（ ，） ，Z 2N（ ，） 而 E Z1=2EX+Y=2720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225 E Z2=EX EY=720640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525 即 Z1N（2080，4225） ， Z2N（80，1525） P XY = P X Y 0 = P Z20 =1P Z2 0 = 978.15280 P X+Y 1400 =1P X+Y 1400 同理 X+YN （1360，1525） 则 P X
44、+Y 1400 =1P X+Y 1400 = 1539.0152640 二十二 5 家商店联营，它们每周售出的某种农产品的数量（以 kg 计）分别为 X1，X 2，X 3，X 4，X 5，已知 X1N（200，225） ，X 2N（ 240，240） ，X 3N （180，225） ， X4N （260，265） ，X 5N（320，270） ，X 1，X 2，X 3，X 4，X 5 相互独立。 （1）求 5 家商店两周的总销售量的均值和方差； （2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于 0.99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？ 解：（1）令 为总销售量。
45、51iiXY 已知 E X1=200，E X 2=240，E X 3=180，E X 4=260，E X 5=320， D (X1)=225，D (X2)=240，D ( X3)=225，D (X 4)=265，D (X5)=270， 利用数学期望的性质 3有5120)()(iiY 利用方差的性质 3有5125)()(iiXDY （2）设商店仓库储存 a 公斤该产品，使得 P Y a0.99 由相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，并注意到（1） ，得 Y N（ 1200，1225） 9.03512a 查标准正态分布表知 5.12830a a 至少取 1282. 第五章 大数定理和
46、中心极限定理 1一 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布，现在随 机的抽取 16 只，设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件寿命总和大于 1920 小时 的概率。 解：设第 i 只寿命为 Xi， （1i 16） ，故 E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,16).依本章 定理 1 知 8.041610692106)920( 01661 iiiiii PPP .78).( 从而 .219078.1)9201920(616 iiii XPXP 3三 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数） ，设所有 的取整误差是相互独立的，且它们都在（0.5，0.5）上服从均匀分布， （1）若将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90 解： （1）设取整误差为 Xi（ ，1500） ，它们都在（ 0.5, 0.
