1、2.32待定系数法求二次函数的解析式知识讲解（提高） 【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的 【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a0)2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a0；
2、第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时可设函数的解析式为；当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】
3、 设所求抛物线的解析式为（）.由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.解之，得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围.2. 一条抛物线经过点与.求这条抛物线的解析式.【答案与解析】 抛物线经过点（）和，这条抛物线的对称轴是直线.设所求抛物线的解析式为.将点代入，得，解得.这条抛物线的解析式为，即.【总结升华】解析式中的a值已经知道，
4、只需求出的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答.还可以从所给两点的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线，这样又可以从抛物线的顶点式入手.当点M（）和N（）都是抛物线上的点时，若，则对称轴方程为，这一点很重要也很有用.3. 已知抛物线的顶点坐标为（1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为（1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为： ， 则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：解法：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a0)，把
5、（2，0）代入得，所以抛物线的函数关系式为；解法：设抛物线的函数关系式为两点式：(a0)，把（1，4）代入得，所以抛物线的函数关系式为：；【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三：【变式】已知一抛物线与x轴的交点是，B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.【答案】（1）；（2）.类型二、用待定系数法解题4. 如图所示，已知二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点(1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC的面积 【答案与解析】 (1)把A(2
6、，0)，B(0，-6)代入得 解得 这个二次函数的解析式为(2) 该抛物线的对称轴为直线， 点C的坐标为(4，0)， ACOC-OA4-22 【总结升华】求ABC的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解(1)将A、B两点坐标分别代入解析式求出b，c的值(2)先求出点C的坐标再求出ABC的面积举一反三：【变式】已知二次函数图象的顶点是，且过点（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上.【答案】（1）；（2）证明：若点在此二次函数的图象上，则 得 =，该方程无实根 所以原结论成立【巩固练习】一、选择题1. 对于任何的实数t
7、，抛物线 y=x2 + (2-t) x + t总经过一个固定的点，这个点是 ( )A. (l, 3) B.（-l, 0) C.（-1, 3) D. (1, 0)2如图所示为抛物线的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OAOC1，则下列关系中正确的是（ ） A B C D3在平面直角坐标系中，先将抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么两次变换后所得的新抛物线的解析式为( ) A B C D4老师出示了小黑板上题后小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a1，小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有( )已知抛物线与
8、x轴交于(1，0)，试添加一个条件，使它的对称轴为直线x2 A1个 B2个 C3个 D4个5将抛物线绕它的顶点旋转180，所得抛物线的解析式是( ) A B C D6如图所示，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AEBFCGDH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是( )二、填空题7已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_ _8已知二次函数对称轴为x2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴交点为(0，-2)，则此二次函数的解析式为 9抛物线上部分点的横坐标为，纵坐标的对应值如下表：x-2
9、-1012y04664从上表可知，下列说法中正确的是_ _（填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；函数的最大值为6；抛物线的对称轴是；在对称轴左侧，y随x增大而增大10某同学利用描点法画二次函数， (a0)的图象时，列出的部分数据如下表：x01234y30-203 经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出二次函数的解析式：_11如图所示，已知二次函数的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为_ 第11题 第12题12在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90至AC （1）
10、点C的坐标为 ；（2）若抛物线经过点C，则抛物线的解析式为 三、解答题13已知(a0)经过A(-3，2)，B(1，2)两点，且抛物线顶点P到AB的距离为2，求此抛物线的解析式14有一个二次函数的图象三位同学分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x4； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3，请写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式15已知，如图所示，抛物线与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C(0，3)(1)求抛物线的函数关系式；(2)若点是抛物线上的一点，请求出m的值，并求出此时ABD的面积 【答
11、案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】把 y=x2 + (2-t) x + t化为y=x2+2x+(1-x)t, 因为对于任何的实数t，抛物线 y=x2 + (2-t) x + t总经过一个固定的点，所以与t的值无关，即1-x=0，x=1,代入y=x2+2x+(1-x)t,得y=3,过定点（1,3），故选A.2.【答案】B；【解析】由图知A(-1，0)，C(0，1)代入中得 a-b-13.【答案】C；【解析】先将抛物线关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为，再将抛物线为，整理得4.【答案】C；【解析】小颖说的不对，其他人说的对5.【答案】D；【解析】此题容易误选A、B，简单地认为改变。的符
12、号，抛物线开口向下，或改变函数值的正负即可将抛物线绕它的顶点旋转180，所得的抛物线顶点坐标、对称轴不变，只是开口方向向下因此，由化为，因而所求抛物线解析式即6.【答案】B；【解析】 ABBCCDDA1，AEBFCGDHx， AHDGCFBE1-x ， ， 又0x1，其图象应为开口向上，自变量从0到1之间的抛物线部分，故选B二、填空题7【答案】或；【解析】抛物线经过点(1，0)或(-1，0)8【答案】 ； 【解析】由对称轴x2和抛物线在x轴上截得的线段长为6，可知抛物线与x轴的两个交点为(-1，0)，(5，0)，然后设交点式易求解 抛物线的对称轴为x2，且在x轴上截得线段长为6， 抛物线与x轴
13、两交点为(-1，0)，(5，0) 设二次函数解析式为ya(x+1)(x-5) (a0) 将点(0，2)代入上式得-2a(0+1)(0-5)， 因此二次函数解析式为 即9【答案】 ； 【解析】由纵坐标相等的点关于对称轴对称可得对称轴为，由表可知在时y随x的增大而增大，与x轴的一个交点为(-2，0)，则另一个交点为(3，0)当时，y值最大，故错.10【答案】；【解析】先描点，根据二次函数的图象找出错误的一组数据，再利用表内的数据的特点，选用求解析式较简便由描点知，表内，是错误的设(a0)，由表知，又点(0，3)在抛物线上，所以3a(0-1)(0-3)，所以因此，即11【答案】3；【解析】由经过点(
14、-1，0)，(1，-2)可得 其对称轴为，由对称性可求C点坐标为（2，0）， .12【答案】（1）(3，-1)；（2）.【解析】(1)过点C作CDx轴，垂足为D，在ACD和BAO中， 由已知有CAD+BAO90， 而ABO+BAO90， CADABO，又 CDAAOB90，且由已知有CAAB， ACDBAO， CDOA1，ADBO2， 点C的坐标为(3，-1)； (2) 抛物线，经过点C(3，-1)， ，解得， 抛物线的解析式为.三、解答题13.【答案与解析】 A(-3，2)，B(1，2)的纵坐标相同， 抛物线对称轴为x-1 又 顶点P到AB距离为2， P(-l，0)或P(-1，4) 故可设抛物线解析式为(a0)或(a0)将B(1，2)分别代人上式得或 或14.【答案与解析】 答案不唯一或或或设(a0)，由甲所述知，由乙所述，知，均为整数，不妨取，则， ，由丙所述知，解得， ，即15.【答案与解析】（1）由已知得 解之 （2） 是抛物线上的点， ，
