1、 高安中学 2015届高考数学模拟试题理科（ 2） 一 、选择题 （ 本大题共 12 小题，每小题 5 分 在每小题给出的四个选项 中 有且 只有一项是符合题目要求的 ，把答案填在答题卡的相应位置 ） 1 已知 全集 UR ，集合 2 0M x x x ，则 MCU （ ） A | 0 1xx B | 0 1xx C | 0 1x x x或 D | 0 1x x x或 2如图，在复平面内，若复数 12,zz对应的向量分别是 ,OAOB ，则复数 12zz所对应的点 位 于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作，每个地段至
2、少有 1名学生的分配方案 有 （ ） A 60 种 B 90 种 C 150 种 D 240 种 4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 （ ） A 22 B 52 C 62 D 3 5 如图所示，若输入的 n 为 10，那么输出的结果是 （ ） A 45 B 110 C 90 D 55 6设 x， y 满足约束条 件0002063yxyxyx，若目标函数 z=ax+by（ a0， b0）的最大值为 12，则 ba 32 的最小 值为 （ ） A 625 B 38 C 311 D 4 7 在锐角三角形 ABC 中，已知 ABC,则 cosB 的取值范围为 （ ） A
3、 22,0B 22,21 C 1,0 D 1,228 已知 0AB BC， 1AB ， 2BC ， 0AD DC，则 BD 的最大值为 （ ） yxBAOD1 C1B1A1CA BPDA 255 B 2 C 5 D 25 9若 从区间 (0,)e 内 随机 取两个数，则这两个 数之积 不小于 e 的概率 为 （ ） A 11eB 21eC 1eD 2e10如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，若平面 11ABCD 上一 动点 P 到 1AB和 BC 的距离相等，则点 P 的轨迹为 （ ） A椭圆的一部分 B圆的一部分 C一条线段 D抛物线的一部分 11 设椭圆 222 1
4、4xya和双曲线 221xyab有共同的焦点，连接椭圆的焦点和短轴的一个 端点所得直线和双曲 线的一条渐近线平行，设双曲线的离心率为 e ，则 2e 等于（ ） A 512 B 312 C 3 D 5 12 已知 定义在 R 上的 函数 ()fx满足 : ( ) (2 ) 0f x f x ， ( 2) ( )f x f x ， (3) 在 1,1 上表达式为21 1 , 0 () c o s ( ) ( 0 , 1 2xxfxxx ， 则 函 数 ()fx 与函数20() 10x xgx xx 的图像 区间 3,3 上的交点个数 为 （ ） A 5 B 6 C 7 D 8 二填空题：本大题共
5、 4 小题，每小题 5 分。 13 已知多项式 10102210102 )1()1()1( xaxaxaaxx 则 9a 14 已知三次函数 32()f x ax bx cx d 的图象如图所示， 则 ( 3)(1)ff 15 已知函数22( ) si n 2 si n c os 3 c osf x x x x x ，（ xR），则函数()fx的单调增区间为 16 定义函数 Ixxfy ),( ，若存在常数 M ，对于任意 Ix1 ，存在唯一的 Ix2 ，使得Mxfxf 2 )()( 21 ，则称函数 )(xf 在 I 上的“均值”为 M ，已知 2,1,lo g)( 20142 xxxf ，
6、则函数 xxf 2log)( 在 2,1 2014 上的“均值”为 三解答题：（共 70 分） 17 （ 12 分） 在 ABC 中，角 A、 B、 C 依次成等差数列，其对边依次分别为 ,abc. （ I） 若 cos(B+C)=- 63 ，求 cosC 的值； （ II） 若 a 3， AC CB 3， 求 b 18 （ 12 分） “ALS 冰桶挑战赛 ”是一项社交网络上发起 的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在 24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动 .若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外 3个
7、人参与这项活动 .假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响 . （ ）若某被邀请者接受挑战后，对其他 3 个人发出邀请，则这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战的概率是多少？ （ ）假定（ ）中被邀请到的 3 个人中恰有两人接受挑战 .根据活动规定，现记 X 为接下来 被邀请到的 6 个人中接受挑战的人数，求 X 的分布列和数学期望 . 19（ 12 分） 已知四棱柱 1 1 1 1C D C D ，侧棱 1 底面 CD ，底面 CD 中， D ，C/ D， 2 ， D4， C1，侧棱 1 4 （ 1） 若 是 1 上一点，试确定 点位置使 / 平面 1CD ； （ 2） 在 （
8、1） 的条件下，求平面 D 与平面 D 所成角的余弦值 20 （ 12 分） 如图，分别过椭圆 : 221xyab（ 0ab ）左、右焦点 1F 、 2F 的动直线 1l ， 2l 相交于 点，与椭圆 分别交于 、 与 C 、 D 不同四点，直线 、 、 C 、 D 的斜率1k 、 2k 、 3k 、 4k 满足 1 2 3 4k k k k 已知当 1l 与 x轴重合时， 23 ， 43CD 3 （ 1） 求椭圆 的方程 ； （ 2） 是否存在定点 、 ，使得 为定值？若存在，求出 、 点坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由 21 （ 12 分） 已知 bxaxxxf 2ln)( （ 1）
9、 若 1a ，函数 ()fx在其定义域内是增函数，求 b 的取值范围； （ 2） )(xf 的图象与 x 轴交于 )(0,(),0,( 2121 xxxBxA )两点 , AB 中点为 0( ,0)Cx ， 求证： 0)( 0 xf 请从第 22、 23、二题中任选一題作答 22（ 本小题满分 10 分 ） 选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系与直角坐标系长度单位相同，且以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴 . 设直线 C1： 1 cos ,sin ,xtyt (t 为参数 )，曲线 C2： =1. （ I） 当 3 时 ，求曲线 C1 的 极坐标方程及极径 ( 0) 的最小值
10、 ； （ II） 求曲线 C1 与 C2 两交点的 中点的 直角坐标（用 表示） 23 （本题满分 10 分 ) 选修 45：不等式选讲 已知关于 x 的不等式 21x x m 对于任意的 1,2x 恒成立 （）求 m 的取值范围； （）在（）的条件下求函数21() ( 2 )f m m m 的最小值 高安中学 2015届高考数学模拟试题理科（ 2） 参考答案 一、选择题：（每小题 5 分，共计 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C B D A A C B D A B 二、填空题：（每小题 5 分，共计 20 分） 13. -10 14.-5
11、 15. 3 , ( )88k k k Z 16.1007 三解答题（共 70 分） 17. （本小题满分 12 分） 解： （ 1）在 ABC 中， 因为 角 A、 B、 C 依次成等差数列，所以 2B=A+C 又 A+B+C=180，所以 B =60 由 cos(B C) 63 ，得 sin(B C) 1 cos2(B C) 33 cosC cos cos(B C) cosB sin(B C) sinB 63 12 33 32 366 （ 2） 由 AC CB 3， 得 |AC| |CB|cos(180 C) 3， 即 abcosC 3， 又 a 3， bcosC 1， 由正弦定理 asi
12、nA bsinB，得 asin(120 C) bsin60， 3bcosC bsinC 3 3， 将代入，得 bsinC 4 3， 将 结合可得 b 7 18. 解：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的， 所以每个人接受挑战的概率为 12 ，不接受挑战的概率也为 12 （ ）设事件 M 为“这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战”， 则 2323331 1 1 1() 2 2 2 2P M C C （ ）因为 X 为接下来被邀请的 6 个人中接受挑战的人数，所以 1 6,2XB 所以 0606 1 1 10 2 2 6 4P X C ， 516 1 1 6 31 2 2 6 4 3 2P
13、X C ， 2426 1 1 1 52 2 2 6 4P X C ， 3336 1 1 2 0 53 2 2 6 4 1 6P X C ， 4246 1 1 1 54 2 2 6 4P X C ， 5156 1 1 6 35 2 2 6 4 3 2P X C ， 6066 1 1 16.2 2 6 4P X C 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 P 164 332 1564 516 1564 332 164 所以 1632EX 故 所求的期望为 3 21、（ 13 分） (1)依题意： 2( ) lnf x x ax bx 1( ) 2f x x bx ()fx在 (0,
14、) 上递增， 1( ) 2 0f x x bx 对 (0, )x 恒成立， 即 1 2bxx 对 (0, )x 恒成立，只需min1( 2 )bxx 0x ， 1 2 2 2xx ，当且仅当 22x 时取“”， 22b ， b 的取值范围为 ( ,2 2 (2)由已知得 221 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2( ) l n l n( ) l n l nf x x a x b x x a x b xf x x a x b x x a x b x 两式相减，得1 1 2 1 2 1 22l n ( ) ( ) ( )x a x x x x b x xx 1 1 2 1 22l n
15、 ( ) ( ) x x x a x x bx 由 1( ) 2f x ax bx 及 0 1 22x x x，得 10 0 1 20 1 2 1 2 1 2 21 2 2 1( ) 2 ( ) l n xf x a x b a x x bx x x x x x x x 11 2 1 2 111 2 1 2 2 1 2 222( 1 )2( )11 l n l n ( 1 )xx x x x xxx x x x x x x xx 令 12 22, ( ) l n (0 1 )1x tt t t txt 22( 1)( ) 0( 1)tt tt ， ()t 在 (0,1) 上递减， ( ) (1
16、) 0t 1211 222 ( 1)ln 01xxxx xx ，即 1 2 11 2 22( ) ln 0x x xx x x ， 又 12xx ， 0( ) 0fx 22.（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 解： （ 1） 当 3a 时， C1 的普通方程为 )1(3 xy ， 又因为 s in , c o syx ，代入上式得 s in 3 c o s 3 , 故 曲线 C1 的极坐标方程为 3cos( )62 当 cos( ) 16时可得 ， 极径 ( 0) 的最小值 32 （ 2）消去参数得 C1 的普通方程为 tan ( 1)yx， C 2 的普通方程为 122
17、yx ， 二者联立，将 tan ( 1)yx代入 122 yx 得 2 2 2 2(1 t a n ) 2 t a n t a n 1 0xx 因为判别式 =4，所以设其二根分别为 1 2 1 2, , C C ( , ) ,x x x y曲 线 与 交 点 的 中 点 坐 标 为 2122+ ta n=2 1 ta nxxx 则12 2+ t a nt a n ( 1 ) =2 1 t a nxxy 即所求的中点的直角坐标为（ 22tan1 tan，2tan1 tan ） 23.（本小题满分 10 分 ) 选修 45：不等式选讲 解 （）关于 x 的不等式 21x x m 对于任意的 1,2
18、x 恒成 立 m a x( 2 1 )m x x 根据柯西不等式，有2 2 2 2 2 2( 2 1 ) ( 1 2 1 1 ) 1 1 ( 2 ) ( 1 ) 6x x x x x x 所以 2 1 6xx ，当且仅当 12x时等号成立，故 6m （）由（）得 20m ，则 221 1 1 1( 2 ) ( 2 ) 2( 2 ) 2 2 ( 2 )f m m m mmm 3 321 1 1 33 ( 2 ) ( 2 ) 2 2 22 2 ( 2 ) 2f m m m m 当且仅 当211( 2)2 ( 2)m m ，即 3 2 2 6m 时取等号， 所以函数 21( 2)f m m m 的最小值为 33 222
