1、专题14 相似三角形问题【考点综述评价】因动点产生的相似三角形问题，常常出现在综合题中一是以几何图形为载体，赋予动点、动线和动面，来探究相似三角形问题，进而研究面积、函数最值等问题；二是以动态问题为背景或与函数图象、圆结合探究相似三角形的存在性问题；三是以相似三角形为背景，经历“问题情境，建立模型，求解，应用”的基本过程，设置探究性问题问题设置常常具有开放性 相似三角形由于对应边、对应角的不确定，或者是图形的不确定，常常需要进行分类讨论，解题时根据对应角或对应边来分类要注意确定分类标准，按一个标准进行分类，做到“不重复，不遗漏”【考点分类总结】考点1：利用三角形相似与图象的判断 【典型例题】（
2、2017湖北省黄石市）如图，直线l：y=kx+b（k0）与函数（x0）的图象相交于A、C两点，与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE，设A、C两点的坐标分别为（a，）、（c，），其中ac0（1）如图，求证：EDP=ACP；（2）如图，若A、D、E、C四点在同一圆上，求k的值；（3）如图，已知c=1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使得OMAM？请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【方法归纳】利用相似三角形，得出比例式，代入得出函数关系式，结合图象进行判断【变式训练】（20
3、17湖北省恩施州）如图，AOB=90，反比例函数（x0）的图象过点A（1，a），反比例函数（k0，x0）的图象过点B，且ABx轴（1）求a和k的值；（2）过点B作MNOA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线于另一点，求OBC的面积考点2：相似三角形中的开放性问题 【典型例题】（2017辽宁省鞍山市）如图，MBN=90，点C是MBN平分线上的一点，过点C分别作ACBC，CEBN，垂足分别为点C，E，AC=，点P为线段BE上的一点（点P不与点B、E重合），连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧（1）求证：；（2）连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，
4、并说明理由；（3）设PE=x，PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式【方法归纳】两个三角形相似，根据不同的对应边或对应角需要分类讨论【变式训练】（2017怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CEx轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶
5、点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标考点3：相似三角形的存在性问题【典型例题】（2017山东省莱芜市）抛物线过A（2，3），B（4，3），C（6，5）三点（1）求抛物线的表达式；（2）如图，抛物线上一点D在线段AC的上方，DEAB交AC于点E，若满足，求点D的坐标；（3）如图，F为抛物线顶点，过A作直线lAB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时BPQ的面积；若不存在，请说明理由【方法归纳】一是求相似三角形的第三个
6、顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形，根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论；二是利用已知三角形中的对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小； 三是若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解【变式训练】（2017济宁）定义：点P是ABC内部或边上的点（顶点除外），在PAB，PBC，PCA中，若至少有一个三角形与ABC相似，则称点P是ABC的自相似点例如：如图1，点P在ABC的内部，PBC=A，PCB=ABC，则BCPABC，故点P是ABC的
7、自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线（x0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点（1）如图2，点P是OM上一点，ONP=M，试说明点P是MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由【新题好题训练】1（2017江苏省泰州市）如图，P为反比例函数（k0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=x4
8、的图象于点A、B若AOB=135，则k的值是（）A2B4C6D82（2017山东省潍坊市）如图，在ABC中，ABACD、E分别为边AB、AC上的点AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得FDB与ADE相似（只需写出一个）3（2017湖北省随州市）在ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似4（2017江苏省南通市）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个
9、三角形的“內似线”（1）等边三角形“內似线”的条数为 ；（2）如图，ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是ABC的“內似线”；（3）在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是ABC的“內似线”，求EF的长5（2017河南省）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；点M在x轴上自由运动，若三个点
10、M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值6（2017辽宁省葫芦岛市）如图，MAN=60，AP平分MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将ABC（0ABC120）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E（1）如图1，当点C在射线AN上时，请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，
11、AC=，请直接写出线段AD和DF的长7（2017新疆）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（1）试求A，B，C的坐标；（2）将ABC绕AB中点M旋转180，得到BAD求点D的坐标；判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使BMP与BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由8（2017内蒙古赤峰市）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边ABC（1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当PAD与OAB相
12、似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明9（2017海南省）抛物线 经过点A（1，0）和点B（5，0）（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连结PB，过点C作CQPM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得CNQ与PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由10（2017辽宁省抚顺市）如图，OF是MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3）如图3，MON=60，连接AP，设=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由
