1、 泰兴市第一高级中学 2014年秋学期 阶段练习五 高 三 数 学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在 答题卡相应位置上 1. 已知集合 2 1 , 2 , 3 , 4 , | , 5 ,A B x x R x A B I则= . 2. 22lo g sin lo g co s1 2 1 2的值为 . 3. 函数 1 2lnyxx的单调减区间为 . 4. 已知 2tan sin 3， 2 0， 则 cos( 6 ) _. 5. 已知函数 ()fx是定义在 R 上的奇函数，且 ( 2) ( )f x f x ， 若 (1) 1f
2、 ， 则(3) (4)ff_. 6. 在 ABC 中 ， 内 角 ,ABC 所对的边长分别为 ,.abc 若1s i n c o s s i n c o s ,2a B C c B A b且 ab ，则 B 7. 设函数 f(x) x， x0 ， x， x0，若 f(a) f( 1) 2，则 a _. 8. 函数 ( ) 2 sin ( )f x x（ 0 ） 的图象经过 ,26A 、 ,24B 两点，则 的最小值为 _. 9. 在 ABC 中， D 是 BC 的中点， AD 8， BC 20，则 ABAC 的值为 _ 10. 设 6 是 函数 ( ) sin 2f x x 的一个零点 ， 则
3、 函数 ()fx 在区间 02， 内所有极值点之和为 _ 11. 设等差数列 na 的首项及公差均是正整数，前 n 项和为 nS ，且 1 1a ， 4 6a ， 3 12S ，则 2015a = . 12. 若 函数 32()f x x ax bx 为奇函数 ， 其图象的一条切线方程为 3 4 2yx ， 则 b 的值为 _ 13. 已知函数321, , 1 ,12() 1 1 1, 0 , .3 6 2x xxfxxx 函数( ) si n( ) 2 2( 0)6g x a x a a ，若存在 12, 0,1xx，使得 12( ) ( )f x g x成立，则实数 a 的取值范围是 14
4、.对于实数 a 和 b，定义运算“”： baabb baababa ,22 ，设 )1()12()( xxxf ，且关于 x 的方程为 f（ x） =m（ m R）恰有三个互不相等的实数根 x1， x2， x3，则 x1x2x3的取值范围是 _ . 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知向量 ( s i n , c o s 2 s i n ) , (1 , 2 ) .ab （ 1）若 /ab，求 tan 的值； （ 2）若 | | | |, 0 ,ab 求 的值。 16. 在 ABC 中，角 ,ABC 所
5、对的边分别为 cba, ，已知CcAa sincos3 ， （ 1） 求 A 的大小 ； （ 2） 若 6a ，求 cb 的取值范围 . 17.已知公差不为 0 的等差数列 an的前 n 项和为 Sn， S3 a4 6，且 a1， a4， a13成等比数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)求数列 1Sn的前 n 项和公式 18.某校内有一块以 O 为圆心， R （ R 为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形 BCDB 区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物， OBD 区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售 .已知种植学校观赏植物的成本是每
6、平方米 20 元，种植花卉的利 润是每平方米 80 元，种植草皮的利润是每平方米 30 元 . （ 1）设 BOD （单位：弧度），用 表示弓形 BCDB 的面积 ()Sf弓 ； （ 2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计 BOD 的大小才能使总利润最大？并求出该最大值 . （参考公式：扇形面积公式 21122S R Rl， l 表示扇形的弧长） 19. 已知函数 32 3,f x a x b x x a b R 在点 1, 1f 处的切线方程为 20y 求函数 fx的解析式； 若对于区间 2,2 上任意两个自变量的值 12,xx都有 12f x f x c，求实数 c的最小值； 若过
7、点 2, 2M m m 可作曲线 y f x 的三条切线，求实数 m 的取值范围 20.已知数列 na 满足 121, 0a a a ，数列 nb 满足 1n n nb a a （ 1）若 na 为等比数列，求 nb 的前 n 项的和 ns ； （ 2） 若 3nnb ，求数列 na 的通项公式； （ 3）若 2nbn ，求证：121 1 1 2 2 3n na a a 高三数学阶段练习五参考答案 1. 2,1 2. 2 3. 102 ，4. 0 5. -1 6. 30 7. 1 8. 125 9. 36 10. 143 11. 4030 12. 3 13.14,2314. )0,1631(
8、15. 16. 17. 解： (1)设等差数列 an的公差为 d 0. 因为 S3 a4 6， 所以 3a1 3 2 d2 a1 3d 6. 因为 a1， a4， a13成等比 数列， 所以 a1(a1 12d) (a1 3d) 2. 由 ， 可得 ： a1 3， d 2. 4 分 所以数列 an的通项公式为 an 2n 1. 6 分 (2)由 an 2n 1 可知： Sn （ 3 2n 1） n2 n2 2n. 所以 1Sn 1n（ n 2） 12 1n 1n 2 . 9 分 所以 1S1 1S2 1S3 1Sn 1 1Sn 12（ 11 13 12 14 13 15 1n 1 1n 1 1
9、n 1n 2） 12 11 12 1n 1 1n 2 3n2 5n4（ n 1）（ n 2） . 13 分 所以数列 1Sn的前 n 项和为 3n2 5n4（ n 1）（ n 2） . 14 分 18. 解： （ 1） 212SR扇， 21 sin2OBDSR , 21( ) ( s in )2S f R 弓. 6 分 （ 2） 设总利润为 y 元，种植草皮利润为 1y 元，种植花卉利润为 2y ，种植学校观赏植物成本为 3y 221 113 0 ( )22y R R， 22 1 sin 802yR ， 23 1 ( sin ) 202yR , 2 2 2 21 2 3 1 1 1 13 0
10、( ) sin 8 0 ( sin ) 2 02 2 2 2y y y y R R R R . 25 3 (5 1 0 s in )R 9 分 设 ( ) 5 10 sing (0, ) . ( ) 5 10 cosg 1( ) 0 , co s , ( )2gg 在 （ 0, ）3上为减函数； 1( ) 0 , co s , ( )2gg 在 （ ， ）3上为增函数 . 12 分 当3时， ()g 取到最小值 , 此时总利润最大： 225 3 ( 5 1 0 sin ) = 5 -y R R 4（ 53 ）3. 15 分 答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成3时，总利润取最大值 25-R
11、4（ 53）316 分 19.解： 23 2 3f x ax bx 2 分 根据题意， 得 1 2,1 0,ff 即 3 2,3 2 3 0,abab 解得 10ab 3 分 所以 3 3f x x x 4 分 令 0fx ，即 23 3 0x 得 1x x 2 2, 1 1 1,1 1 1,2 2 fx + + fx 2 增 极大值 减 极小值 增 2 因为 12f ， 12f ， 所以当 2,2x 时， max 2fx ， min 2fx 6 分 则对于区间 2,2 上任意两个自变量的值 12,xx，都有 12 m a x m in 4f x f x f x f x ，所以 4c 所以 c
12、 的最小值为 4 8 分 因为点 2, 2M m m 不在曲线 y f x 上，所以可设切点为 00,xy 则 30 0 03y x x 因为 20033f x x ，所以切线的斜率为 2033x 9 分 则 2033x = 30003 2x x mx ， 11 分 即 32002 6 6 0x x m 因为过点 2, 2M m m 可作曲线 y f x 的三条切线， 所以方程 32002 6 6 0x x m 有三个不同 的实数解 所以函数 322 6 6g x x x m 有三个不同的零点 则 26 12g x x x 令 0gx ，则 0x 或 2x x ,0 0 0,2 2 2, gx
13、 + + gx 增 极大值 减 极小值 增 则 0020gg，即 6020mm ，解得 62m 16 分 20.解： 1 1 2 1,n n n nnna a b a a a Qg . . (2 分） 当 a=1 时 1nb ，则 nsn (3 分） 当 1a 时， 22(1 )1nn aas a . (5 分） （ 2） 13n nnaaQg 1 13 ( 2 , )n nna a n n N 11 3 ( 2 , )nna n n Na (7 分） 当 *2 1, ( )n k k N 时， * 1 122222 3 ( ) 3 = a 3kkk kka k N a aa 当 *2 ,(
14、)n k k N时， *121212 - 1 3 ( ) 3 kk kka k N aa 12223 ( = 2 1)3 ( 2 )nn nnkaa n k (11 分） （ 3） 1 2,nna a n Q ， 121, 3aa 1 1nna a n ( 2)n 得1 1 1 1 1) 1 ( 2 )n n n n n na a a a a na （231 1 1na a a 3 1 4 2 1 1( ) ( ) ( )nna a a a a a = 1 1 2nna a a a 1 2 31 1 1 1na a a a =1 1 2 111+3n n n na a a a a aa 112 2 2n n n na a a a n Qg1 2 31 1 1 1na a a a 22n 3 .(16 分 )
