1、 朝阳县柳城高中 2014-2015 学年度 高三第二次模拟考试数学试题 (理科 ) 时间： 120 分钟 总分： 150 分 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x2+x 2， B=x|2x4)=0.1587，则 P(2X4)等于 A 0.3413 B 0.1585 C 0.8413 D 0.6826 4若 x (1， e)， a=ln x， b=(ln x)2， c=ln(ln x)，则 a， b， c 的大小关系为 A cba B bca C abc D bac 5已知函数 y=2sin x 的定
2、义域为，值域为，则 b-a 的值不可能是 A. 56B C.76D 2 6根据如图所示的程序框图 (其中表示不大于 x 的最大整数 )，输出 r 等于 A. 73B 2 C.52D 4 7已知双曲线2222 byax =1(a0， b0)的两条渐近线均与圆 C： x2+y2-6y+5=0 相切，且双曲线的焦距为 6，则该双曲线的方程为 A. 54 22 yx =1 B. 45 22 yx =1 C. 63 22 yx =1 D. 36 22 yx =1 8 (2+x+x2)(1- 1x)3 的展开式中常数项为 A -2 B 5 C 4 D 2 9抛物线 x2=y(-2x2)绕轴旋转 180形成
3、一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的上底面恰好与旋转体的开口面平齐，下底面的四个顶点落在曲面上，则此正方体的外接球的表面积为 A 4 B 12C 16 D 48 10一个质量均匀的骰子 (六个点数 )，若连续投掷三次，取三次的点数分别作为三角形的边长，则其能构成钝角三角形的概率为 A. 1372B. 127C.3172D. 42711已知函数 f(x)=(x+1)2，若存在实数 a，使 得 f (x+a)2x-4 对任意的 x 恒成立，则实数 t 的最大值为 A 10 B 8 C 6 D 4 12 椭圆 22xa+ 22yb=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1
4、、 F2，过 F2 作倾斜角为 120的直线与椭圆的一个交点为 M，若 MF1 垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为 A 2- 3 B. 3 -1 C. 12D. 32第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知变量 x， y R 且满足约束条件 1 102 2 0xxyxy 则 x+2y 的最大值为 _ 14已知函数 f(x)=a2x-2a+1.若命题 “x (0， 1)， f(x)0”是假命题，则实数 a 的取值范围为 _ 15将函数 y
5、= 3 sin 2x-2sin2x 的图象沿 x 轴向右平移 a(a 0)个单位长度，所得函数的图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是 _ 16某几何体的一条棱长为 m，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 4 的线段在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段， 若a+b=6，则 m 的最小值为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12 分 ) 已知数列 an的首项 a1=1，且满足 an+1=12 nnaa(n N*) (1)求证：数列 na1 为等差数列，并求数列 an的通项公式； (2)记 bn=nan2 ，求数
6、列 bn的前 n 项和 Tn. 18 (本小题满分 12 分 ) 在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定 每人最多投 3 次每次投篮的结果相互独立在 M 处每投进一球得 3 分，在 N 处每投进一球得 2 分，否则得 0 分将学生得分逐次累加并用 X 表示，如果 X 的值不低于 3 分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止投篮的方案有以下两种：方案 1，先在 M 处投一球，以后都在 N 处投；方案 2，都在 N 处投篮甲同学在 M 处投篮的命中率为 0.2，在 N 处投篮的命中率为 0.5. (1)当甲同学选择方案 1 时，求甲同学测试结束后所得总分 X 的分布列和数学
7、期望E(X)； (2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由 19 (本小题满分 12 分 ) 如图，已知四棱锥 PABCD 中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形， D=90，且 AB CD， AB=AD， BCD=45. (1)点 F 在线段 PC 上何位置时， BF 平面 PAD？并证明你的结论 (2)当直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45时，求二面角 BPCD 的大小 20 (本小题满分 12 分 ) 已知点 E(m， 0)为抛物线 y2=4x 内的一个定点，过 E 作斜率分别为 k1、 k2 的两条直线交抛物线于点 A、 B、C、 D，且 M
8、、 N 分别是 AB、 CD 的中点 (1)若 m=1， k1k2=-1，求三角形 EMN 面积的最小值； (2)若 k1 + k2=1，求证：直线 MN过定点 21 (本小题满分 12 分 ) 已知函数 f(x)= 1 m lnxx， m R. (1)当 m=0 时，若函数在区间 (a， a+ 12)上存在极值 (其中 a0)，求实数 a 的取值范围； (2)若不等式 x(x+1)f(x)+m(k-m)x 对 x 又 BF平面 PBC，所以平面 PBC 平面 PCD，即二面角 BPCD 为 90.12 分 (法二 )由题意知 AB， AD， AP 两两垂直，则以 A 点为原点， AB， AD
9、， AP 所在直线为 x， y， z轴建立空间直角坐标系 易证 PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，则 PBA=45，所以 PA =AB. 设 PA =AB=AD=1，则 A(0， 0， 0)， B(1， 0， 0)， D(0， 1， 0)， C(2， 1， 0)， P(0， 0， 1)， PB=(1， 0， -1)， PC=(2， 1， -1)， PD=(0， 1， -1).8 分 设平面 PBC 的法向量为 n1=(x， y， z)，则 PBn1=0， PCn1=0， 020xzx y z 即 xzyz 令 z=1，则 n1=(1， -1， 1).10 分 同理可以求出平面
10、PCD 的法向量 n2=(0， 1， 1)，则 n1n2=0， 所以平面 PBC 平面 PCD，即二面角 BPCD 为 90.12 分 20.【解析】 【答案】解： (1)当 m=1 时， E 为抛物线 y2=4x 的焦点， 设 AB 方程为 y=k1(x-1)， A(x1， y1)， B(x2， y2) 由 1124y k xyx 得 k1y2-4y-4k1=0， y1+y2= 41k， y1y2=-4， AB 中点 M( 122xx， 122yy)， M( 221k+1， 21k)；同理，点 N(2k 21 +1， -2k1) k1k2=-1， AB CD， S EMN= 12|EM|EN
11、|= 12 f(2 ,k 2 1)2 + f(2 ,k 1 )2 2k212+-2k12 =2 k 21+ f(1,k 21)+2 222 =4， 当且仅当 k 21 = 121k，即 k1=1 时， EMN 的面积取最小值 4.6 分 (2)设 AB 方程为 y=k1(x-m)， A(x1， y1)， B(x2， y2) 由 124y k x myx 得 k1y2-4y-4k1m=0， y1+y2= 41k， y1y2=-4m， AB 中点 M( 122xx， 122yy)， M( 221k+m， 21k)； 同理，点 N( 222k+m， 22k)， kMN= yM yNxM xN= 12
12、kk=k1k2， lMN： y- 21k=k1k2，即 y=k1k2(x-m)+2， 直线 MN 恒过定点 (m， 2).12 分 21.【答案】解： (1)函数 f(x)的定义域为 (0， +)， 当 m=0 时， f(x)=1 lnxx， x 0， f(x)=-2lnxx. 当 0 x 1 时， f(x) 0；当 x 1 时， f(x) 0. 所以 f(x)在 (0， 1)上单调递增；在 (1， +)上单调递减， 所以函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 . 因为函数 f(x)在区间 (a， a+12)(其中 a 0)上存在极值， 所以 1112aa解 得 12 a 1.6 分 (2)当
13、 x1 时，不等式 x(x+1)f(x)+m(k-m)x 恒成立， 即 x(x+1) 1 m lnxx+m(k-m)x 恒成立， 11x lnxxk 对 x min=h(1)=1 0，从而 g(x) 0， 故 g(x)在 min=g(1)=2， k2. 12 分 23. 【答案】解：(1) =4cos +2sin ， 2=(4cos +2sin )=4cos +2sin ， 由 2=x2+y2， cos =x， sin =y，得 x2+y2=4x+2y， 曲线 C 的直角坐标方程为 (x-2)2+(y-1)2=5，表示以 (2， 1)为圆心， 5 为半径的圆 .5分 (2) 直线 l 的参数方
14、程为 21x tcosy tsin (t 为参数 )， 直线 l 过定点 (2， 1)，也就是过圆 (x-2)2+(y-1)2=5 的圆心， |PQ|=2 5 ，为定 值 . 10 分 24.【答案】解： (1)当 a=64 时，原不等式为 |x-1|+|x-5|6， 当 x5 时， 2x-66，得 5x6， 原不等式的解集为 x|0x6. 5 分 (2)设 f(x)=|x-1|+|x-5|x-1-x+5|=4， f(x) 4， +)，即 f(x)的最小值为 4， 若使 f(x)log2a 有解，只需 log2af(x)min， 即 log2a4，解得 a16， 实数 a 的取值范围为 16， +). 10 分
