1、一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知,且,则 解,.2、已知为常数,则1.解：.3、已知,则4.解：4、函数的拐点数为2.解：有3个零点:,有2个零点:,显然符号是：,故有2个拐点.5、 .解：.二、选择题(每小题3分,共15分)1、设为偶函数,为奇函数,且有意义,则是A(A) 偶函数；(B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数；(D) 可能奇函数也可能偶函数.2、是函数的 D(A) 跳跃间断点；(B) 连续点；(C) 振荡间断点；(D) 可去间断点.3、若函数在处不可导，则下列说法正确的是 B(A) 在处一定不连续；(B) 在处一定不可微；(C) 在处的左极限与右极限必有一个不存在；(D)
2、在处的左导数与右导数必有一个不存在.4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是： D (A) ； (B) ；(C) ； (D) .5、若函数存在原函数,下列错误的等式是： B (A) ； (B) ；(C) ； (D) .三、计算题(每小题6分,共60分)1、设,求. 答案： 解：令,则,(3分)于是. (6分) 2、计算. 答案： 解： (3分). (6分)3、求极限.答案： 解：由于， (3分)而, ,所以. (6分)4、求极限.解： (4分). (6分)5、求函数的导数. 答案： 解：(2分). (6分)6、求曲线在点处的法线方程. 答案： 解： 方程两边对求导得：,将代入得法
3、线斜率, (3分)从而法线方程为：, 即： . (6分)7、求曲线的凹凸区间和拐点. 答案：曲线在区间和是凹的,在区间是凸的拐点为, 解：(1), (2), ,(3),得,. , (3分)(4) 列表如下：+0-0+凹拐点凸拐点凹(5) 曲线的拐点为、(6) 曲线在区间和是凹的,在区间是凸的 (6分)8、计算 答案： 解： (3分) (6分)9、计算 答案： 解： (3分), (6分)10、设某商品的需求函数为,其中分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.答案：,当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少.俞诗秋解：总收益函数为,令,得,而,可见, 当时, 总收益达到最大. (3分) 此时需求弹性, (5分)说明,当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少. (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)1、证明方程在区间内有且只有一个实根. 孙仁斌,俞诗秋证明：显然,由于,由零点定理知,即；(3分)又因,知,所以方程在区间内有且只有一个实根.(5分)2、设在闭区间连续,在开区间可导,且,证明在内必存在一点,使得.证明: 令,显然,且,由罗尔定理知：,所以.
