1、北京市房山区2013年中考数学二模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑1（4分）（2012呼和浩特）2的倒数是（）A2B2CD考点：倒数分析：根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数解答：解：2（）=1，2的倒数是故选D点评：主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题2（4分）（2013房山区二模）国家统计局22日公布的2012年统计公报显示，我国2012年全年研究与试验发展（RD）经费支出10240亿元，比上年增长17.
2、9%，占国内生产总值的1.97%将10240用科学记数法表示应为（）A1.0240104B1.0240105C10.240104D0.10240104考点：科学记数法表示较大的数.分析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数解答：解：将10240用科学记数法表示为1.0240104故选A点评：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3（4分
3、）（2006宜宾）在直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A（1，2）B（2，1）C（1，2）D（1，2）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标.分析：根据平面直角坐标系的性题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点解答：解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P（m，n），点P（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（1，2）故选D点评：解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数4（4分）（2013房山区二
4、模）如图：A、B、C两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为（）ABC2D考点：扇形面积的计算.分析：根据三角形的内角和是180和扇形的面积公式进行计算解答：解：A+B+C=180，阴影部分的面积=故选B点评：考查了扇形面积的计算，因为三个扇形的半径相等，所以不需知道各个扇形的圆心角的度数，只需知道三个圆心角的和即可5（4分）（2013房山区二模）某场射击比赛中，第一小组10人第一轮射击成绩分别为8、9、9、10、7、8、8、9、8、8（单位：环），则这组数据的众数和中位数分别为（）A8、8B8、9C7、8D9、8考点：众数；中位数.分析：根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众
5、数，及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案解答：解：将数据从小到大排列为：7，8，8，8，8，8，9，9，9，10，众数为：8；中位数为：8故选A点评：本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，在求中位数的时候一定要将数据重新排列6（4分）（2013房山区二模）已知两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，则这两个圆的位置关系是（）A内切B相交C外切D外离考点：圆与圆的位置关系.分析：根据圆心距与半径之间的数量关系可知两圆的位置关系是内切解答：解：两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，53=2，两圆的位置关系是内切故选A点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方
6、法设两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为P，则外离：PR+r；外切：P=R+r；相交：RrPR+r；内切：P=Rr；内含：PRr7（4分）（2013房山区二模）若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（）A5B6C7D8考点：多边形内角与外角.专题：压轴题分析：利用多边形的内角和公式即可求解解答：解：因为多边形的内角和公式为（n2）180，所以（n2）180=720，解得n=6，所以这个多边形的边数是6故选B点评：本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记
7、了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要8（4分）（2013房山区二模）在正方体的表面上画有如图所示的粗线，则其展开后正确的是（）ABCD考点：几何体的展开图.分析：具体折一折，从中发挥想象力，可得正确的答案解答：解：由带有各种符号的面的特点及位置，可知只有选项D符合故选D点评：考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置二、填空题（本大题共16分，每小题4分）：9（4分）（2013房山区二模）图象经过点（1，2）的反比例函数的表达式是考点：待定系数法求反比例函数解析式.专题：待定系数法分析：先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k
8、值，即得到反比例函数的解析式解答：解：设反比例函数的表达式是y=，将点（1，2）代入解析式可得k=2，所以y=故答案为：y=点评：本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容10（4分）（2013房山区二模）分解因式：3a26ab+3b2=3（ab）2考点：提公因式法与公式法的综合运用.分析：先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解解答：解：3a26ab+3b2=3（a22ab+b2）=3（ab）2故答案为：3（ab）2点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要
9、彻底，直到不能分解为止11（4分）（2013房山区二模）如图，ABC中，D为AB上一点，且ACD=B，若AD=2，BD=，则AC=3考点：相似三角形的判定与性质.分析：先判断ACDABC，利用对应边成比例，可求出AC解答：解：ACD=B，A=A，ACDABC，=，即=，解得：AC=3故答案为：3点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断ACDABC，注意掌握相似三角形的对应边成比例12（4分）（2013房山区二模）观察下列等式：；则根据此规律第6个等式为，第n个等式为a+=2n+1（n为正整数）考点：规律型：数字的变化类.专题：规律型分析：观察所给的几个等式得到等式左边为a加
10、上a的倒数的倍数，这个倍数为等式的序号数与比它大1的数的积，等式的右边为等式的序号数的2倍加1，即第n个等式为a+=2n+1（n为正整数），然后把n=6代入可得到第6个等式解答：解：第6个等式为a+=13；第n个等式为a+=2n+1（n为正整数）故答案为a+=13；a+=2n+1（n为正整数）点评：本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况三、解答题（本大题共30分，每小题5分）：13（5分）（2013房山区二模）计算：考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值.专题：计算题分析：分别进行二次根式的化简、零指
11、数幂及负整数指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值即可解答：解：原式=22+14=3点评：本题考查了实数的运算，要求熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则，熟记一些特殊角的三角函数值14（5分）（2013房山区二模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集.分析：先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可解答：解：由，得x1，由，得x2，不等式组的解集是1x2不等式组的解集在数轴上表示为：点评：本题考查解不等式组和不等式组的解集在数轴上表示的方法在数轴是表示不等式组的解集时，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右
12、画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集15（5分）（2013房山区二模）已知a2a1=0，求代数式的值考点：分式的化简求值.分析：首先对所求的式子进行化简，先计算乘法，然后进行加减运算，最后把已知的式子化成a2a=1，代入求解即可解答：解：原式=，a2a1=0，a2a=1则原式=1点评：本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是关键16（5分）（2013房山区二模）已知：如图，点C、D在线段AB上，E、F在AB同侧，DE与CF相交于点O，且AC=BD，AE=BF，A=B求证：DE=CF考点：全等三角形
13、的判定与性质.专题：证明题分析：首先证明AD=BC，然后利用SAS即可证得ADEBCF，根据全等三角形的对应边相等即可证得解答：证明：AC=BD，AD=BC在ADE和BCF中，ADEBCF（ASA），DE=CF点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三角形全等的条件是关键17（5分）（2013房山区二模）如图，直线AB过点A，且与y轴交于点B（1）求直线AB的解析式；（2）若P是直线AB上一点，且P的半径为1，请直接写出P与坐标轴相切时点P的坐标考点：一次函数综合题.专题：计算题分析：（1）知道A、B坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）设出P的横坐标，代入函数解析式即可求出P
14、的纵坐标解答：解：（1）由图可知：A（3，3），B（0，3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k0）则，解得直线AB的解析式为y=2x+3（2）设P1（1，a），代入y=2x+3得，a=2+3=5，则P1（1，5）；设P2（1，b），代入y=2x+3得，b=2+3=1，则P2（1，1），与两个坐标轴相切；设P3（2，c），代入y=2x+3得c=4+3=1，则P3（2，1）综上，P1（1，5），P2（1，1），P3（2，1）点评：本题考查了一次函数综合题，熟悉待定系数法及圆与直线的位置关系是解题的关键18（5分）（2013房山区二模）据媒体报道，2010年北京市民到郊区旅游总人数约5000万人，
15、2012年市民到郊区旅游总人数增长到约7200万人求这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率考点：一元二次方程的应用.专题：增长率问题分析：设这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为x，则2011年郊区旅游人数为5000（1+x）人，2012年郊区旅游人数为5000（1+x）（1+x）人等于2012年市民到郊区旅游总人数增长到约7200万人建立方程求出其解即可解答：解：设这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为x，由题意，得5000（1+x）2=7200解得：x1=0.2，x2=2.2增长率不能为负，只取x=0.2=20%答：这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为20%
16、点评：本题考查列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时要验根是否使实际问题有意义是解答容易忽略的过程四、解答题（本大题共20分，每小题5分）：19（5分）（2013房山区二模）如图，四边形ABCD中，ABCD，AB=13，CD=4，点E在边AB上，DEBC若CE=CB，且tanB=3，求四边形ABCD的面积考点：平行四边形的判定与性质；解直角三角形.分析：如图，过点C作CFAB于点F根据已知条件证得四边形BCDE为平行四边形，则对边BE=CD=4然后利用等腰BCE的“三合一”的性质求得BF=2；再通过解RtBCF得到四边形ABCD的边AB上的
17、高CF=6所以由梯形的面积公式来求该四边形的面积即可解答：解：如图，过点C作CFAB于点FABCD，DEBC四边形BCDE为平行四边形BE=CD=4CE=CB，CFBEBF=BE=2在RtBCF中，tanB=3，BF=2CF=6四边形ABCD的面积=（4+9）6=39点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、解直角三角形平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法20（5分）（2013房山区二模）如图，在ABC中，ABC=ACB，以AC为直径的O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且CAB=2BCP（1）求证：直线CP是O的
18、切线；（2）若BC=2，sinBCP=，求O的半径及ACP的周长考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质.分析：（1）欲证明直线CP是O的切线，只需证得CPAC；（2）利用正弦三角函数的定义求得O的直径AC=5，则O的半径为如图，过点B作BDAC于点D，构建相似三角形：CANCBD，所以根据相似三角形的对应边成比例求得线段BD=4；然后在直角BCD中，利用勾股定理可以求得CD=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度则ACP的周长迎刃可解了解答：（1）证明：连接AN，ABC=ACB，AB=AC，AC是O的直径，ANBC，CAN=BAN，BN=CN，CAB=2BCP，
19、CAN=BCPCAN+ACN=90，BCP+ACN=90，CPACOC是O的半径CP是O的切线；（2）解：ANC=90，sinBCP=，=，AC=5，O的半径为如图，过点B作BDAC于点D由（1）得BN=CN=BC=，在RtCAN中，AN=2在CAN和CBD中，ANC=BDC=90，ACN=BCD，CANCBD，=，BD=4在RtBCD中，CD=2，AD=ACCD=52=3，BDCP，=，=CP=，BP=APC的周长是AC+PC+AP=20点评：本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用注意，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中21（5分）（2013房山区二模）某学
20、校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，一共抽查了名学生；（2）请将上面两幅统计图补充完整；（3）图中，“踢毽”部分所对应的圆心角为度；（4）如果全校有1860名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图.专题：图表型分析：（1）由图一和图二可知：这次问卷调查中，喜欢球类的有80人，占40%，据此即可求解；（2）其他所占的百分比为=20%，则
21、跳绳的人数占总人数的比例为115%40%20%=25%，跳绳的人数为20025%=50人；（3）图中，利用“踢毽”部分所对应的百分比即可求出答案；（4）利用样本估计总体即可解答：解：（1）800.4=200；（2分）（2）补充图：扇形图中补充的跳绳25%；（3分）其它20%；（4分）条形图中补充的高为50；（5分）（3）3600.15=54；（7分）（4）186040%=744（人）（9分）答：最喜欢“球类”活动的学生约有744人（10分）点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
22、图直接反映部分占总体的百分比大小22（5分）（2013房山区二模）如图1，在矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在边NP，PQ，QM，MN上，当1=2=3=4时，我们称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形已知：矩形ABCD的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点，请解决下列问题：（1）在图2中，点E，F分别在BC，CD边上，请作出矩形ABCD的反射四边形EFGH，并求出反射四边形EFGH的周长（2）在图3中作出矩形ABCD的所有反射四边形，并判断它们的周长之间的关系考点：四边形综合题.分析：（1）根据反射四边形的含义和E、F点的位置画出即可；根据勾股定理求出边长，即可求出周长；（2）根据图
23、形可以画出4个反射四边形，根据勾股定理求出四边形的边长，即可求出周长，根据求出的周长结果即可得出矩形ABCD的反射四边形的周长为定值解答：解：（1）如图1：四边形EFGH即为所求，在RtCEF中，CF=2，EC=4，由勾股定理得：EF=2，同理HG=GF=HE=2，即四边形的周长为：42=8；（2）如图2，图3：根据勾股定理图2中的反射四边形的边长是：=，=4，则反射四边形的周长是2+24=10；根据勾股定理形图3的反射四边形的边长是：=2，=3，则反射四边形的周长是22+23=10即矩形ABCD的反射四边形的周长为定值点评：本题考查了矩形，勾股定理的应用，此题是一道比较好的题目，通过做此题培
24、养了学生的阅读能力、理解能力和动手操作能力五、解答题（本大题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23（7分）（2013房山区二模）已知二次函数（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程x2+2（a+k）x+2ak2+6k4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值考点：二次函数综合题.专题：综合题分析：（1）表示出方程：x2+kx+k=0的判别式，即可得出结论；（2
25、）二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，则可得当x=1时，函数值y0，再由关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，可得出k的取值范围，从而得出k的整数值；（3）将求得的k的值代入，然后可求出方程的根，根据方程有大于0且小于3的实数根，可得出a的取值范围，继而得出a的整数值解答：（1）证明：x2+kx+k=0，1=b24ac=k24（k）=k22k+14=k22k+1+13=（k1）2+130，不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；（2）解：二次函数y=x2+kx+k的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上，当x
26、=1时，函数值y0，即1+k+k0，解得：k，关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，k0且2=b24ac=（2k+3）24k2=4k2+12k+94k2=12k+90，k且k0，k且k0，k=1；（3）解：由（2）可知：k=1，x2+2（a+1）x+2a+1=0，解得x1=1，x2=2a1，根据题意，02a13，2a，a的整数值为1点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了抛物线与x轴的交点问题、根的判别式、不等式组的整数解，对于此类综合题往往涉及的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通24（7分）（2013房山区二模）（1）如图1，
27、正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H.请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EGBF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD求证：FG+BEBF；HGF=HDF考点：四边形综合题.分析：（1）证ABEBCF，推出AE=BF，BAE=CBF，求出CBF+AEB=90，求出BHE=90即可；（2）过点A作AMGE交BC于M，证ABMBCF，推出AM=BF，根据AMGE且ADBC推出
28、AM=GE即可；（3）过点B作BNFG，且使BN=FG，连接NG、NE，根据四边形NBFG是平行四边形的性质求出BF=NG，BFNG，求出NGE为等腰直角三角形，由勾股定理得NE=NG，即NE=BF，即可求出答案；证G、H、F、D四点共圆，根据圆周角定理得出HGF=HDF即可解答：（1）解：AE=BF且AEBF，理由是：四边形ABCD是正方形，ABE=C=90，AB=BC，在ABE和BCF中ABEBCF（SAS），AE=BF，BAE=CBF，ABE=90，BAE+AEB=90，CBF+AEB=90，BHE=18090=90，AEBF（2）BF=GE，证明：过点A作AMGE交BC于M，EGBF，
29、AMBF，BAM+ABF=90，正方形ABCD，AB=BC，ADBC，ABC=BCD=90，CBF+ABF=90，BAM=CBF，在ABM和BCF中ABMBCF（ASA），AM=BF，AMGE且ADBC，AM=GE，BF=GE；（3）证明：过点B作BNFG，且使BN=FG，连接NG、NE，四边形NBFG是平行四边形，BF=NG，BFNG，由（2）可知，BFGE，且BF=GE，NGEG且NG=EG，NGE为等腰直角三角形，由勾股定理得NE=NG，NE=BF，当点F与点D不重合，点E与点C不重合时，N、B、E三点不共线，此时，在BEN中，NB+BENE，即FG+BEBF，当点F与点D重合，点E与点
30、C重合时，N、B、E三点共线，此时，NB+BE=NE，即FG+BE=BF；证明：正方形ABCDADC=90以GF为直径作P，则点D在P上GHF=90点H也在P上HGF=HDF点评：本题考查了圆周角定理，正方形性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力25（8分）（2013房山区二模）已知抛物线y=（3m）x2+2（m3）x+4mm2的最低点A的纵坐标是3，直线y=mx+b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C（1）求抛物线与直线AB的解析式（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin
31、BDE的值（3）过B点作x轴的平行线BG，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得AMB+ANB=45的点N的坐标考点：二次函数综合题.分析：（1）先由y=（3m）x2+2（m3）x+4mm2可以求出抛物线的对称轴，就可以求出顶点坐标，代入解析式就可以求出m的值，将A的坐标及m的值代入一次函数的解析式就可以求出结论；（2）根据旋转的性质就可以求出D、E的坐标，由勾股定理就可以求出BD，DE、DF的值根据求锐角三角函数的方法就可以求出结论；（3）根据题意画出图形，分情况讨论运用相似三角形的性质就可以求出结论解答：解：（1）y=（3m）x2+2（m3）x
32、+4mm2的，抛物线的对称轴x=1抛物线y=（3m）x2+2（m3）x+4mm2的最低点A的纵坐标是3抛物线的顶点为A（1，3）m25m+6=0，m=3或m=2，3m0，m3m=2，抛物线的解析式为：y=x22x+4，直线为y=2x+b直线y=mx+b经过点A（1，3）3=2+b，b=1直线AB为：y=2x+1；（2）令x=0，则y=1，）令y=0，则x=，B（0，1），C（，0）将直线AB绕O点顺时针旋转900，设DE与BC交于点FD（1，0），E（0，），CFD=90，OB=OD=1 OC=，CD=在RtBOC中，由勾股定理，得CB=，BD=CDOB=CBDF，DF=，由勾股定理，得BF=
33、，SinBDE=；（3）如图2，在BG上取一点Q，使AP=QP，AQP=45ANB+QAN=QAM+AMB=45AMB+ANB=45，ANB=QAM，AQNMQA，AD=3，OD=1，AP=QP=2，QM=4，AQ=2，MP=6，MQ=4，QN=2，BN=5N（5，1）；如图3，在BG上取一点Q，使AP=QP，AQP=45ANB+AMB=QAM+AMB=45ANB=QAM，AQMNAM，AD=3，OD=1，AP=QP=2，QM=4，BM=7，AQ=2，MP=6，MQ=4AM=2，MN=10，BN=3N（3，1）；N（3，1）或（5，1）点评：本题考查了运用抛物线的顶点式求顶点坐标的运，运用待定系数法求出二次函数与一次函数的解析式的运用，旋转的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时寻找解答本题的突破口从抛物线的顶点入手，求N的坐标运用相似三角形的性质是关键
