1、西安邮电大学毕业设计（论文）题目实数完备性研究及应用院（系）理学院专业信息与计算科学班级信息1101班学生姓名导师姓名职称副教授起止时间2015年3月9日至2015年6月14日毕业设计（论文）诚信声明书本人声明本人所提交的毕业论文实数完备性研究及应用是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，论文中所引用他人的文献、数据、图件、资料均已明确标注；对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明并表示感谢。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。论文作者（签字）时间年月日指导教师已阅（签字）时间年月日西安邮电大学本科毕业设计（论文）开题报告学号07111012姓名导师题目实数完备
2、性研究及应用选题目的（为什么选该课题）实数完备性，又称为实数连续性是微积分建立的基础，是微积分大厦坚实的理论地基。可以这样说，整个微积分都建立在实数完备性基础之上的,它在整个数学分析中占据着重要的位置但由于之前课程体系和具体内容安排,对于它的学习是比较浅显而粗糙的选择该课题可以说是对这部分内容重要性的补充,很有必要前期基础（已学课程、掌握的工具，资料积累、软硬件条件等）通过已学课程数学分析，了解实数完备性的一些相关知识，具备了一定数学理论基础，并且学校丰富的资源例如大量参考文献和论文资料，以及导师提供的指导与讲解都是研究该课题的有利工具。所查阅资料有华东师范大学数学系的数学分析第三版，和刘玉琏
3、的数学分析讲义第五版。要解决的问题（做什么）熟悉和理解实数完备性的六个定理,深刻理解它们的本质完整证明实数完备性定理之间的等价性；利用实数完备性证明闭区间上连续函数的性质,并对其在整个微积分中的应用展开讨论。工作思路和方案（怎么做）回顾所学知识以及参考大量的相关文献以及相关论文，利用中国知识网，中国学术期刊网搜集整理所需的资料,从中筛选出自己论文所要用到的内容，并结合自己已掌握的数学分析知识深入题目，对实数完备性的六个定理中的每一个都从定理本身和其适用范围及相互关系的角度具体展开研究尤其是六个定理之间的等价性证明,采用循环证明的方法进行在对实数完备性理解更深刻之后,研究它在整个微积分体系中的作
4、用,并具体举例说明指导教师意见同学通过收集和阅读相关文献资料，初步明确了实数完备性研究及应用这一课题的目的，做了一些前期准备工作，针对课题中要解决的问题提出了合理的解决思路，工作方案行之有效，计划合理。签字2014年3月24日西安邮电大学毕业设计论文成绩评定表学生姓名性别学号专业班级课题名称指导教师意见评分（百分制）指导教师签字年月日评阅教师意见评分（百分制）评阅教师签字年月日验收小组意见评分（百分制）验收教师组长签字年月日答辩小组意见评分（百分制）答辩小组组长签字年月日评分比例指导教师评分20评阅教师评分30验收小组评分30答辩小组评分20学生总评成绩百分制成绩等级制成绩答辩委员会意见毕业论
5、文设计最终成绩等级学院答辩委员会主任签字年月日实数完备性研究与应用目录摘要ABSTRACT引言11预备知识错误未定义书签。21互补问题错误未定义书签。22互补问题的应用错误未定义书签。2非光滑牛顿法研究错误未定义书签。31半光滑函数及其性质错误未定义书签。32半光滑再生方程错误未定义书签。33无约束优化问题错误未定义书签。34半光滑牛顿法（）错误未定义书签。35半光滑牛顿法（）与正则牛顿法错误未定义书签。3数值实验与分析错误未定义书签。结论错误未定义书签。致谢错误未定义书签。参考文献错误未定义书签。I摘要实数集的完备性即实数的连续性（稠密性），为实数集合的一个基本特征。它是数学原理证明的基础，
6、也是微积分学坚实的理论基础。实数的完备性一直都是研究者热衷的研究课题，也是考查学生基本功和论证能力的一项重要指标。通过学者研究，我们可以从多个角度来刻画和描述实数的完备性。这就是本篇论文主要描述并证明的实数完备性六个基本定理，包括确界原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理以及柯西收敛准则。另外，在论文中还介绍了一些实数完备性在其他定理证明以及例题中的应用，例如有界性定理，最大、最小值定理，介值性定理，一致连续性定理等。通过这些应用是我们认识到实数完备定在数学理论中的重要地位。关键词实数完备性；实数连续性；等价性；微积分；IIABSTRACTTHECOMPLETENESSOFRE
7、ALNUMBERSISALSOCALLEDCONTINUITYANDDENSITYOFREALNUMBERSITISABASICFEATUREOFREALSETITISNOTONLYABASISOFTHEPROOFOFTHEMATHEMATICALTHEOREMS,BUTALSOATHEORETICALBASISOFCALCULUSTHECOMPLETENESSOFREALNUMBERISALWAYSTHERESEARCHTOPICWHICHTHERESEARCHERISKEEN,ALSOISANIMPORTANTINDEXTOEXAMINETHESTUDENTSBASICSKILLSANDT
8、HEABILITYOFDEMONSTRATIONBYSCHOLARS,WECANFROMTHEMULTIPLEPERSPECTIVESTODEPICTTHEREALNUMBERCOMPLETENESS,SOINTHEENDBEAREALNUMBERCOMPLETENESSTHEOREM,THISISTHISARTICLEMAINLYDESCRIBEANDPROVETHECOMPLETENESSOFREALNUMBERSIXBASICTHEOREMS,INCLUDINGDEFINITEPRINCIPLE,DRABBOUNDEDTHEOREM,THEOREMOFNESTEDINTERVAL,THE
9、FINITECOVERINGTHEOREM,DOTTHEOREMANDCAUCHYCONVERGENCECRITERIONINTHEPAPER,THEAPPLICATIONOFREALNUMBERCOMPLETENESSINOTHERPRINCIPLESISINTRODUCED,SUCHASBOUNDEDTHEOREM,MAXIMUM,MINIMUMVALUETHEOREM,VALUETHEOREM,UNIFORMCONTINUITYTHEOREM,ETCTHROUGHTHESEAPPLICATIONS,WERECOGNIZETHEIMPORTANTPOSITIONOFREALNUMBERTH
10、EORYINMATHEMATICSTHEORYKEYWORDSCOMPLETENESSOFREALNUMBERSCONTINUITYOFREALNUMBERSEQUIVALENCECALCULUS1引言大家都知道，实数理论是数学分析的基础，而完备性和连续性是实数系最为重要的特征，因为具有了实数的完备性和连续性，所以才能讨论极限，连续，微分和积分。在实数理论中，实数的完备性的六个定理又充当着至关重要的作用。为了能让大家对这六个定理可以有一个全面的认识，本篇论文便以确界定理为起始证明其他定理的正确性，并且在实数的完备性应用方面进行了分析和举例。因此在探讨函数的不同极限的运算正确性的过程中，人们慢慢
11、建立起严密完善的数学分析理论体系。实数完备性研究及应用这篇论文并不能称得上是一篇具有创新性的论文，前人对于此项方面的研究已经积累到了一定水平。而我所做的工作就是“站在巨人的肩膀上”。撰写这篇论文的过程中，我不仅搜集了许多学者在实数完备性方面的研究报告，并且整理出了对于循环证明实数完备性六个定理所需要的基础预备知识。通过对资料的分析理解，我也完成了对该六个定理的研究证明及应用。实数完备性的基本定理是整个数学体系理论性很强的一部分。实数理论的建立,体现了数学分析的严密性。我们都知道，数学分析的理论基础是实数完备性,而实数完备性也是实数的理论中重要内容之一,这其中也有许多的精彩有趣之处。目前，实数的
12、完备性研究主要关注六个定理的循环证明，还有定理的应用。虽然该六个定理描述的方向不同，但表达的都是实数稠密性这同一件事，因此它们彼此是等价的。实数完备性基本定理的证明在不同的课程辅导教材中都有各自不同的处理方法，可以说是众说纷纭。在这些方法中，比较通俗易懂的是用区间套方法去证明其它的定理。1987年，数学家MWBOTSKO提出了一种可以统一对这部分内容进行处理的新方法完全覆盖法，这个方法使大家在实数完备性的研究方面有了新的领悟和体会。因此，许多学者在这些方面都做了一些工作。另外，我认为该完备性定理的应用也是研究的重要方向之一，这些定理从不同方面体现了实数的完备性，并且它们也在对论证其它一些重要定
13、理和规则上提供了依据，例如介值性定理，有界性定理等。另外，最为数学分析的基础知识，实数完备性在很大程度上考察了学生的基础知识和专业论证能力，经常得到考题官的喜爱。21预备知识11确界定义2定义111设S为中的一个数集。若存在数ML，使得对一切SX，都有XMXL，则S称为有上界下界的数集，数ML称为S的一个上界下界。若数集S上界与下界都有，则称S为有界集若S不是有界集，则称S为无界集。定义112设S是中的一个数集若数满足（I）对一切SX，有X，即是S的上界；（II）对任何存在SXO，使得OX即又是S的最小上界则数叫做数集S的上确界，写作SSUP。定义113设S是中的一个数集若数满足（I）对一切S
14、X，有X，即是S的下界（II）对任何，存在SXO，使得,OX即又是S的最大下界，则数叫做数集S的下确界，记作SINF。因此，统称上确界与下确界为确界。12极限以及数列定义2定义121若函数F的定义域为全体正整数集合，则RF或NNF,为数列。定义122设NA为数列，A为定数。若对任给的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当NN时有AAN，则称数列NA收敛于A，定数A称为数列NA的极限，并记作AANLIM或NAAN。定义123若数列NA的各项满足关系式11NNNNAAAA，则称NA为递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。13区间套定义23定义131若闭区间序列NNBA,具有如下
15、性质（I）,2,1,11NBABANNNN；（II）0LIMNNNAB，则称NNBA,为闭区间套，简称区间套。14聚点定义2定义141设S为数轴上的非空点集,为直线上的一个定点当然可以属于S,也可以不属S。若对于任意正数,在U中含有S的无限个点,则称为的S一个聚点。定义141设S为实数集R上的非空点集,R。若对于任意正数，SU，则称为的S一个聚点。定义141若存在各项互异的收敛数列SXN，则其极限NNXLIM称为S的一个聚点。下面简单叙述一下这三个定义的等价性定义141定义141由定义直接得到定义141定义141对任给的0，由SU，那么取11，SUX11；取12,21MINX，SUX22；取1
16、,1MINNNXN，SUXNN；这样就得到一列SXN。由N的取法，NX两两互异，并且NXNN10由此NNXLIM定义141定义141根据极限的定义知道是显然的。415开覆盖定义2定义151设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如,的开区间）。若S中任意一点都包含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S如果H中开区间的个数无限（有限）的，那么称H为S的一个有限开覆盖。52实数完备性定理的证明1021确界原理及其证明确界原理设S为非空数集若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。2证我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明。为叙述的方便起
17、见，不妨设S含有非负数。由于S有上界，故可找到非负整数N，使得1对于任何SX有1NX2存在SA0,使NA0对半开区间1,NN作10等分,分点为9,2,1NNN,则存在,2,1,09,中的一个数1N,使得1对于任何SX有1011NNX；2存在SA1，使11NNA再对半开区间101,11NNNN作10等分，则存在9,2,1,0中的一个数2N使得1对于任何SX有X221101NNN2存在SA2，使212NNNA继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在9,2,1,0中的个数KN，使得1对于任何SX有KKNNNNX101212存在SAK，使21KKNNNNA将上述步骤无限地进行下去
18、，得到实数21KNNNN。以下证明SSUP。为此只需证明（I）对一切SX有X；（II）对任何，存在S使A倘若结论（I）不成立，即存在SX使X，则可找到X的K位不足近似KX，6使KKXKNNNN21K101，从而得KKNNNNX10121，但这与不等式1相矛盾于是（I）得证。现设，则存在K使的K位不足近似KK，即KKNNNN21，根据数的构造，存在SA使KA，从而有KAK，即得到A，这说明（II）成立。22单调有界定理及其证明单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限2证设NA为有上界的递增数列由确界原理知，数列NA含上确界，写作NAASUP。下面证明A就是NA的极限。事实上，任给0，按上确
19、界的定义，存在数列NA中的某一项NA使得NAA。又由NA的递增性，当NN时有NNAAA。另一方面，由于A是数列NA的一个上界，故对一切NA都有AAAN。所以当NN时AAAN，这就证得AANNLIM。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。23区间套定理及其证明区间套定理若NNBA,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得,2,1,NBANN,即,2,1,NBANN。2证由定义7的条件（I）可知,数列NA为递增有界数列,依单调有界定理，NA有极限，且有,2,1,NAN同理，递减有界数列NB也有极限，并按区间套的条件（II）有NNNNABLIMLIM，且,2,1,NBN7综
20、上，可得,2,1,NBANN下面证明满足,2,1,NBANN的是唯一的。设数也满足,2,1,NBANN，则由,2,1,NBANN有,2,1,NABNN由区间套的条件（II）得0LIMNNNAB，故有。注区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结论不一定成立。例如对于开区间列N1,0,显然是不存在的。推论若,2,1,NBANN是一个区间套NNBA,所确定的点，则对任给的0，存在0N，使得当NN时有,UBANN。证由区间套定理的证明可得NNNNABLIMLIM。由极限的保号性,对于任意正数,存在正整数N,当NN时，有NA，NB，即NNBA，这就是说,UBANN。24柯西收敛准则及其证明柯西收敛准则数
21、列NA收敛的充要条件是对任给的0，存在正整数N使得当NMN,时有MNAA。2证必要性设AANNLIM，由数列极限的定义，对任给的0，存在正整数N，使得当NMN,时有2AAN,2AAM因而有AAAAAAMNMN。充分性由题设，对任给的0，存在正整数N，当NN时，NNAA。即当NN时，有NNNAAA,。NANANAX8令21，存在正整数1N，当1NN时，21,2111NNNAAA，取21,21,1111NNAA。令221,存在正整数12NN，当2NN时，2221,2122NNNAAA,取22112221,21,22NNAA。显然有2211,，2122，并且当2NN时，22,NA。令K21，存在1K
22、KNN，当KNN时，KNKNNKKAAA21,21,取221121,21,KKNNKKKKAA。这样就得到一列闭区间KKBA,，满足（I）,2,1,11KBABAKKKK；（II）KABKKK,0211；（III）对K，当KNN时，KKNA,由区间套定理，存在惟一的KK,。由区间套定理的推论，对任给的0，存在0N,当NN时,UBAANNN，所以NA。这就证明了NNALIM故数列NA收敛。25魏尔斯特拉斯聚点定理及其证明聚点定理实数轴上的任意有界无限点集必有聚点。2证因为S为有界点集,所以存在正数M,使MMS,且记MMBA,11。现将11,BA等分为两个子区间因S为无限点集，故两个子区间中至少有
23、一个含有S中无穷多个点，记此子区间为22,BA，则2211,BABA且MABAB211122。再将22,BA等分为两个子区间，则其中至少有一个含有S中无穷多个点，取9出这样一个子区间，记为33,BA，则3322,BABA，且2212233MABAB。将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列NNBA,，它满足,2,1,11NBABANNNN，021NMABNNN，即NNBA,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点。由区间套定理，存在唯一的一点,2,1,NBANN。由区间套定理的推论，对任给的0，存在0N,当NN时,UBAANNN从而U内含有S中无穷多个点，按定义8为S的一个聚
24、点。推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列。2证设NX为有界数列若NX中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的。若数列NX不含有无限多个相等的项，则NX在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集NX至少有一个聚点，记为。于是按定义8，存在NX的一个收敛子列（以为其极限）。26海涅博雷尔有限覆盖定理及其证明有限覆盖定理设H为闭区间BA,的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖BA,。2证（论反证）假设定理的结不成立，则不能用H中有限个开区间来覆盖BA,。现将BA,等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆
25、盖。记此子区间为11,BA，则BABA,11且2111ABAB。再将11,BA等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。取出这样一个子区间，记为22,BA，则1122,BABA，10且21222ABAB。将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列NNBA,，它满足,2,1,11NBABANNNN，021NABABNNN，即NNBA,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。由区间套定理，存在唯一的一点,2,1,NBANN。由于H是BA,的一个开覆盖，故存在开区间H,，使,。于是，由区间套定理的推论，当N充分大时有,NNBA。这表明NNB
26、A,只须用H中的一个开区间,就能覆盖，与挑选NNBA,时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾。从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖BA,。注定理的的结论只对闭区间BA,成立，而对开区间则不一定成立。113实数完备性的循环证明及应用31实数完备性定理的循环证明8首先使用有限覆盖定理证明聚点定理7证设S为直线上的有界无限点集于是存在BA,使BAS,。假定BA,在任何点都不是S的聚点，则对每一点BAX,都存在相应的0X，使得XXU内至多包含S的有限多个点。令BAXXUHX,，则H是BA的一个开覆盖，据有限覆盖定理，H中存在有限个邻域11XXU，NXNXU，使得覆盖了H，从而也覆盖了S。由
27、于每个邻域中至多含有S的有限个点，故这N个邻域的并集也至多只含有S的有限个点，于是S为有限点集，这与题设S为无限点集矛盾。因此，在BA,中至少有一点是S的聚点。接下来用聚点定理证明柯西收敛准则证设数列NA为有界数列。若NA中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的。若数列NA不含有无限多个相等的项，则NA在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集NA至少有一个聚点，记为。于是按定义8，存在NA的一个收敛子列（以为其极限）。设数列NA满足柯西条件。先证明NA是有界的为此，取1，则存在正整数N，当1NM及NN时，有11NNAA。由此得111111NNNN
28、NNNNAAAAAAAA。令1,MAX121NNAAAAM，则对一切正整数N均有MAN。于是，由致密性定理，有界数列NA必有收敛子列KNA，设AAKNKLIM。对认给的0，存在0K，当KKMN,时，同时有2MNAA（柯西条件）2AAKN（AAKNKLIM）12因此当取KKNMK时，得到22AAAAAAKKNNNN这就证明了AANNLIM。然后用柯西收敛准则证明确界原理证设S为非空有上界数集由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数K，使得K为S的上界，而1K不是S的上界，即存在S，使得1K。分别取N1，,2,1N，则对每一个正整数N，存在相应的N，使得N为S的上界,而NN1不是S的上界，故存在S
29、，使得NN11又对正整数M，M是S的上界，故有M结合1式得NMN1；同理有MNM1。从而得NMNM1,1MAX。于是，对任给的0，存在0N，使得当NMN,时有NM由柯西收敛准则，数列N收敛记NNLIM2现在证明就是S的上确界。首先，对任何SA和正整数N有NA，由2式得A，即是S的一个上界。其次，对任何0，由01NN及2式，对充分大的N同时有21N，2N。又因NN1不是S的上界，故存在S，使得NN1。结合上式得22。13这说明为S的上确界。同理可证若S为非空有下界数集，则必存在下确界。接着用确界原理证明单调有界定理证不妨设NA为有上界的递增数列。由确界原理，数列NA有上确界，记为NAASUP。下
30、面证明A就是NA的极限。事实上，任给0，按上确界的定义，存在数列NA中的某一项NA使得NAA。又由NA的递增性，当NN时有NNAAA。另一方面，由于A是数列NA的一个上界，故对一切NA都有AAAN。所以当NN时AAAN，这就证得AANNLIM。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。现在用单调有界定理证明区间套定理证由定义7的条件（I）可知,数列NA为递增有界数列,依单调有界定理，NA有极限，且有,2,1,NAN。同理，递减有界数列NB也有极限，并按区间套的条件（II）有NNNNABLIMLIM，且,2,1,NBN。综上，可得,2,1,NBANN。下面证明满足,2,1,NBA
31、NN的是唯一的。设数也满足,2,1,NBANN，则由,2,1,NBANN有,2,1,NABNN。由区间套的条件（II）得0LIMNNNAB，故有。最后使用区间套定理证明有限覆盖定理证假设定理的结不成立，则不能用H中有限个开区间来覆盖BA,。现将BA,等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖记此子区间为11,BA，则BABA,1114且2111ABAB。再将11,BA等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖取出这样一个子区间，记为22,BA，则1122,BABA，且21222ABAB。将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个
32、区间列NNBA,，它满足,2,1,11NBABANNNN021NABABNNN，即NNBA,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。由区间套定理，存在唯一的一点,2,1,NBANN。由于H是BA,的一个开覆盖，故存在开区间H,，使,。于是，由区间套定理的推论，当N充分大时有,NNBA。这表明NNBA,只须用H中的一个开区间,就能覆盖，与挑选NNBA,时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾。从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖BA,。32实数完备性在闭区间函数定理中的应用6定理321若函数F在闭区间BA,上连续，则F在BA,上有界。证（应用有限覆盖定理）由连续函数
33、的局部有界性，对每一点BAX,，都存在邻域XXU及正数XM，使得XMXF，BAXUXX,。考虑开区间集BAXXUHX,，显然H是B,的一个无限开覆盖。由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集KIBAXXUHIII,2,1,覆盖了BA,，且存在正数1M，2M，KM，使得对一切BAXUXII,有IMXF，KI,2,1。令IKIMM1MAX，则对任何BAX,，X必属于某IIXU可以推出MMXFI。这就证得F在BA,上有界。（应用致密性定理）倘若F在BA,上无上界，则对任何正整数N，存在15BAXN,，使得NXFN依次取,2,1N，则得到数列BAXN,由致密性定理，它收敛子列KNX，记KNKXLIM。由B
34、XAKN及数列极限的保不等式性，BA,利用F在点处连续，推得LIMFXFKNK。（3）另一方面，由NX的选取方法又有LIMKKNKKNXFKNXF，这与（3）式相矛盾。所以F在BA,上有上界类似地可证F在BA,上有下界从而F在BA,上有界。322最大、最小值定理定理若函数F在闭区间BA,上连续，则F在BA,上有最大值和最小值。证（应用确界原理）由于已证得F在BA,上有界，故由确界原理，F的值域BAF,有上确界，记为M以下我们证明存在BA,，使得MF。倘若不然，对一切BAX,都有MXF令XFMXG1，BAX,。易见函数G在BA,上连续，故G在BA,上有上界设G是G的一个上界，则GXFMXG10，
35、BAX,。从而推得GMXF1，BAX,但这与M为BAF,的上确界（最小上界）相矛盾所以必存在BA,，使MF，即F在BA,上有最大值。同理可证F在BA,上有最小值。323介值性定理定理设函数F在闭区间BA,上连续，且BFAF。若为介于AF与BF之间的任何实数（BFAF或BFAF），则存在,0BAX，使得0XF。证（应用确界原理）不妨设BFAF令XFXG，则G也是BA,上的连续函数，且0AG，0BG。于是定理的结论转化为存在16,0BAX，使得00XG这个简化的情形称为根的存在性定理。记,0BAXXGXE。显然E为非空有界数集（,BAE且EB），故由确界原理，E有下确界，记EXINF0。因0AG，
36、0BG，由连续函数的局保号型，存在0,使得在AA,内0XG，在BB,内0XG，由此易见AX0，BX0，即,0BAX。下证00XG倘若00XG，不妨设00XG,则又由局部保号性，存在0XU（,BA），使得其内0XG，特别有EXXG20200。但这与EXINF0相矛盾，故必有00XG。（应用区间套定理）同上述证法，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数G在闭区间BA,上连续，0AG，0BG，则存在,0BAX使00XG。将BA,等分为两个子区间CA,与BC,若0CG，则C即为所求；若0CG，则当0CG时记CABA,11，当0CG记BCBA,11。于是有01AG，01BG，且BABA,11，21
37、11ABAB。再从区间11,BA出发，重复上述过程，得到或者在11,BA的中点1C上有01CG，或者有闭区间22,BA，满足02AG，02BG，且1122,BABA，21222ABAB。将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形（1）在某一区间的中点IC上有0ICG，则IC即为所求；（2）在任一区间的IC上均有0ICG，则得到闭区间列NNBA,，满足0NAG，0NBG，且,2,1,11NBABANNNN，021NABABNNN。由区间套定理，存在点NNBAX,0，,2,1N下证00XG倘若00XG，不妨设00XG,则由局部保号性，存在0XU，使在其内有0XG。而由区17间套定理的推论，当N充分
38、大时有,0XUBANN，因而有0NAG。但这与NNBA,选取时应满足的0NAG相矛盾，故必有00XG。324根的存在定理定理若函数F在闭区间BA,上连续且AF与BF异号（即0BFAF），则至少存在一点,0BAX，使得00XF，即方程0XF在,BA内至少有一个根。证（应用有限覆盖定理）设XF在闭区间BA,上连续，AF与BF异号，现证明方程0XF在,BA内至少有一实根。假定方程0XF在,BA内无实根，则对每一点,BAX，有0XF，据XF的连续性，存在正数X，使得XF在BAXUXX,上与点X处的函数值XF同号。令,BAXXUHX，则H是BA,的一个开覆盖，据有限覆盖定理，H中必存在有限个邻域能够覆盖
39、BA,。设这有限个邻域为11XXU，NXNXU，且NXXX21。不妨设其中任意两个邻域无包含关系（否则，去掉被包含邻域仍能覆盖BA,），于是11JXJXUJXJXU,3,2NJ。而XF在每个JXJXU内不变号，由此推得XF在JXJNJXUU1内不变号，这与题设AF，BF异号矛盾。因此，方程0XF在,BA内至少有一实根。325一致连续性定理定理若函数F在闭区间BA,上连续，则F在BA,上一致连续。证（应用有限覆盖定理由F在闭区间BA,上的连续性，任给0，对每一点,BAX，都存在0X，使得当XXUX时有2XFXF（4）18考虑开区间集合,2,BAXXUHX，显然H是BA,的一个开覆盖由有限覆盖定理
40、，存在H的一个有限子集KIXUHII,2,12,覆盖了BA,记02MIN1IKI。对任何X，BAX,，XX，X必属于H中某开区间，设2IIXUX，即2IIXX。此时有IIIIIIXXXXXX222，故由（4）式同时有2IXFXF和2IXFXF。由此得XFXF。所以F在BA,上一致连续。（应用致密性定理）用反证法。倘若F在BA,上不一致连续，则存在某00，对任何0，都存在相应的两点X，BAX,，尽管XX，有0XFXF。令N1（N为正整数），与它相应的两点记为NX，BAXN,，尽管NXX1，但有0NNXFXF（5）当N取遍所有正整数时，得到数列NX与,BAXN。由致密性定理，存在NX的收敛子列KN
41、X，设,0KBAXXKN。同时有KNNNXXKK1000XXXXXXKKKKNNNNK，又得0KXXKN。最后，由（5）式有0NNXFXF，在上式中令K，由F的连续性及数列极限的保不等式性，得到000LIM0KKNNKXFXFXFXF。19这与00相矛盾所以F在BA,上一致连续。33实数完备性应用举例1例331求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证（1）22XXS；（2）,NNNXXS；解（1）2SUPS，2INFS，下面依定义验证。因22X，等价于22X，所以对任意的SX，有2X且2X，即2、2分别是S的上、下界。又对任意的正数，不妨设22，于是存在220X，221X，使0X，SX1，使2
42、0X，21X，所以由上下确界的定义2SUPS，2INFS（2）SSUP，1INFS，下面依定义验证。对任意的SX，X1，所以1是S的下界。因为对任意的0M，令1MN，则MN，故S无上界，所以SSUP；对任意的正数，存在SX111，使11X，所以1INFS。例332设NX为单调数列。证明若NX存在聚点，则必是唯一的，且为NX的确界。证设NX为递增数列，设为NX的聚点。下面证明NXSUP（1）是NX的上界若不然，NNXX，使NX，取NX0，由NX的递增性，0,内只含有NX中的有限项121,NXXX这与是NX的聚点矛盾从而是NX的上界。2）A，取20A，则NNXX0,，使得NXA。所以NXSUP由确界的唯一性，聚点是唯一的。例333证明在BA,上的连续函数F为一致连续的冲要条件是0AF，0BF都存在。证（必要性）设F在BA,上一致连续，则BAXX,0,0/
