1、高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 平度市 2014-2015学年度高二下学期期末考试 数学试题（理科） 2015.7 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 一、选择题（ 本大题共 10题，每题 5分，共计 50 分 ） 1函数 2 232 x lo g e ln x afx x 的一个极值点在区间 12， 内，则实数 a 的取值范围是（ ） A 13， B 12， C 03， D 02， 2 下列命题中的真命题是 A 32,x x xR B 32,x x x R C
2、2,x y y x RR D ,y y x y RR 3 若复数 (1 )( )i a i是实数（ i 是虚数单位），则实数 a 的值为 （ ） A -2 B -1 C 1 D 2 4现有 4 名同学去听同时进行的 3 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 ( ) A.81 B.64 C.48 D.24 5已知函数 32 120f x x a x x aa ，则 2f 的最小值为 A 3122 B 16 C 288a a D 112 8a a 6设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点 .若 |AF|=3|BF|,则
3、l 的方程为 ( ) (A)y=x-1 或 y=-x+1 (B)y= 33 (x-1)或 y=- 33 (x-1) (C)y= 3 (x-1)或 y=- 3 (x-1) (D)y= 22 (x-1)或 y=- 22 (x-1) 7设 3m ，对于数列 ( 1, 2, )na n m ，令 kb 为 12,ka a a 中的最大值，称数列 nb 为 na的 “ 递进上限数列 ” 。例如数列 2,1,3,7,5 的递进上限数列为 2,2,3,7,7.则下面命题中（ ） 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 若数列 na 满足 3nnaa ，则数
4、列 na 的递进上限数列必是常数列 等差数列 na 的递进上限 数列一定仍是等差数列 等比数列 na 的递进上限数列一定仍是等比数列 正确命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 8 已知随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2），且 P（ 4） 0.8，则 P（ 0 2） ( ) A 0.6 B 0.4 C 0.3 D 0.2 9 若 p 是真命题， q 是假命题，则 （ A） pq 是真命题 (B) pq 是假命题 (C) p 是真命题 (D) q 是真命题 10设点 P(x， y)，则 “ x 2 且 y 1”是 “ 点 P 在直线 l： x y 1 0 上 ” 的 ( ) A充
5、分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（ 本大题共 5题，每题 5分，共计 25 分 ） 11 函数 )(xfy 在定义域（ 2， 4）内可导，其图象 如图所示，设函数 )(xf 的导函数为 )(xf ，则不等 式 0)( xf 的解集为 。 12函数 5523 xxxy 的单调递增区间是 _ 13设 aR ，则 1a 是 2 1a 的 条件。（填充分不必要 ，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要） 14二项式 102 2 xx展开式中的第 _项是常数项 1541nxxx的展开式中，第 3 项的二项式系数比第 2 项的
6、二项式系数大 44，则展开式中 的常数项是第（ ）项 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 三、解答题（ 75 分） 16（本小题 12 分） 设复数 z 满足 1z ，且 (3 4i) z是纯虚数，求 z 。 17（ 12 分）命题 :p 实数 x 满足 224 3 0x ax a ，其中 0a ；命题 :q 实数 x 满足2 60xx 或 2 2 8 0xx ，且 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围 18 （本小题满分 12 分）已知函数 ln ( ,f x a x bx a b R) ，曲线 y f x 在点 1, 1f
7、处的切线方程为 2 2 0xy （）求 )(xf 的解析式； （）当 1x 时， 0kfx x恒成立，求实数 k 的取值范围； 19（本题满分 15 分）已知直线 )0(1: kkxyl 与椭圆 ayx 223 相交于 BA、 两个不同的点，记 l 与 y 轴的交点为 C （）若 1k ，且210| AB，求实数 a 的值； （）若 CBAC 2 ，求 AOB 面积的最大值，及此时椭圆的方程 20 （本小题满分 12 分） 已知函 数 )()( nxmxxxf （ I） 当 2n 时，若函数 )(xf 在 3,1 上单调递减，求实数 m 的取值范围； （ II） 若 0nm ， 22nm ，且
8、过原点存在两条互相垂直的直线与曲线 )(xf 均相切，求m 和 n 的值 21 （ 14 分）已知 R ，函数 ( 1)( ) ln1xf x x x ，其中 1, )x （ ） 当 2 时，求 ()fx的最小值； （ ） 在函数 lnyx 的图像上取点 ( ,ln )nP n n ()nN ，记线段 PnPn+1 的斜率为 kn ，121 1 1nnS k k k 对任意正整数 n，试证明： （ ） ( 2)2n nnS ； （ ） (3 5)6n nnS 参考答案 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 1 C 【解析】 试题分析：求导
9、122xf x ax?（ ） 在（ 1， 2）上是增函数，故 1 2 0ff（ ） （ ） ，可得结果 122xf x ax?（ ） 在（ 1， 2）上是增函数， 若使函数 22 2 3xf x lo g e ln x a x=+（ ） 的一个极值点在区间（ 1， 2）内， 1 2 0 3 0 , 0 3f f a a a （ ） （ ） ， （ ） （ ） ，故选 C 考点：利用导数研究函数的极值 2 D 【解析】 对于所给的四个命题，可以看出，当 x=12 时，不等式不成立， A 不正确； 当 x=0 时，不等式不成立， B 不正确； 当 x 是负数时，不等式不成立， C 不正确， 当 x
10、=0 时，不管 y 取什么值，等式都成立， D 正确 解答：解： A 不正确，当 x=12 时，不等式不成立； B 不正确，当 x=0 时，不等式不成立， C 不正确，当 x 是负数时，不等式不成立， D 正确，当 x=0 时，不管 y 取什么值，等式都成立 故选 D 3 C 【解析】 试题分析：因为（ 1-i） (a+i)=a+1+(1-a)i,那么由于该复数为实数， 所以一定有 1-a=0,a=1,故选 C. 考点：本试题主要考查了复数的概念和运算。 点评：解决该试题的关键是理解复数为虚数时，只要虚部为零即可。那么求解原式，保证虚部等于零得到。 4 A 【解析】每个同学都有 3 种选择，所
11、以不同选法共有 34 81(种 )，故选 A. 5 B 【解析】本题考查基本不等式的应用 . 0 , 0 , ,2aba b ab 当且仅当 ab 是等号成立；特别注意等号成立的条件 . 2 1 10 , ( 2 ) 8 8 8 2 ( 4 ) 8 2 2 4 1 6a f a a aa a a ;当且仅当 14 ( 0)aaa即12a 时，等号成立 .故选 B 6 C 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2), 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 又 F(1,0), 则 AF =(1-x1,-y1),FB =(x2-1,y2),
12、由题意知 AF =3FB , 因此 12121 3 1 ,3,xxyy 即 124 3 ,3,xxyy 又由 A、 B 均在抛物线上知 2222224,3 4 4 3 .yxyy 解得221,323,3xy 直线 l 的斜率为233113= 3 , 因此直线 l 的方程为 y= 3 (x-1)或 y=- 3 (x-1). 故选 C. 7 B 【解析】 试题分析：根据设 3m ，对于数列 ( 1, 2, )na n m ，令 kb 为 12,ka a a 中的最大值，称数列 nb 为 na 的 “ 递进上限数列 ” ，那么 若数列 na 满足 3nnaa ，则数列 na 的递进上限数列必是常数列
13、，成立。 等差数列 na 的递进上限数列一定仍是等差数列，错误。 等比数列 na 的递进上限数列一定仍是等比数列，错误。故选 B. 考点：等差数列，等比数列 点评：主要是考查了等差数列和等比数列的概念的运用，属于基础题。 8 C 【解析】 试题分 析：由 P（ 4） 0.8 得 P（ 4） 1-0.8=0.2,则 P（ 0） 0.2, P（ 0 2）高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks =(0.8-0.2)/2=0.3,答案选 C. 考点：正态分布 【答案】 D 【解析】：或（ ）一真必真，且（ ）一假必假，非（ ）真假相反，故选 D 10
14、 A 【解析】当 x 2 且 y 1 时，满足方程 x y 1 0，即点 P(2， 1)在直线 l 上点 P (0,1)在直线 l 上，但不满足 x 2 且 y 1， “ x 2 且 y 1”是 “ 点 P(x， y)在直线 l 上 ”的充分而不必要条件 11 41( 2, ) ( ,2)52【解析】略 12 5( , ), (1, )3 【解析】 23 2 5 0y x x 解得 5 13xx 或 13必要不充分 【解析】当 a 时，取 2,a 得：不等式 2a 不成立， 1a不是 2a 的充分条件 . 当 2a 时，解得： 1 1 , 1 , 1 ,a a 是 2a 的必要条件 . 综上所
15、述， a 是 2a 的必要不充分条件 . 14九 【解析】 试 题 分 析 ： 根 据 题 意 可 知 ，二项式 102 2 xx展开式中的第 r+1 项为5202 ( 1 0 ) 221 0 1 022r rr r r r rC x x C x ，则令 520 0 82 rr ，故展开式中第 9 项是常数项，故答案为九。 考点：二项式定理 点评：解决该试题的关键是利用通项公式来分析未知数的次数为零即可，属于基础题。 15 4 【解析】解：因为由题意可得， Cn2-Cn1=44 可求 n=11，通项公式为 3311rr 211Cx ，令 x 的次数为零可知 r=3,那么是第四项故填写 4. 1
16、6解：设 i, ( , )z a b a b R ,由 1z 得 221ab；（ 3分） ( 3 4 i ) ( 3 4 i ) ( i ) 3 4 ( 4 3 ) iz a b a b a b 是纯虚数 ,则 4 3 03 4 0abab （ 6 分） 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 【解析】略 17 4a 或 2 03 a【解析】 略 18 （） ln 2xf x x； （） 1( , 2 【解析】 试 题分析： （）求导数得 af x bx ，由导数几何意义得曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线斜率为 1(1) 2kf，
17、且 1(1) 2f ，联立求 11, 2ab ，从而确定 )(xf 的解析式 ；（） 由 （） 知， 不等式等价于 ln 02xkx x ，参变分离为 2 ln2xk x x ，利用导数求右侧函数的最小值即可 试题解析： （） lnf x a x bx， af x bx 直线 2 2 0xy 的斜率为 12 ，且曲线 y f x 过点 1(1, )2 ， 11,211,2ff 即1,21,2bab 解得 11, 2ab 所以 ln 2xf x x 4 分 （）由（）得当 1x 时， 0kfx x恒成立即 ln 02xkx x ，等价于 2 ln2xk x x 令 2 ln2xg x x x ，
18、则 l n 1 1 l ng x x x x x 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 令 1 lnh x x x ，则 111 xhx xx 当 1x 时， 0hx ，函数 hx在 1, 上单调递增，故 10h x h 从而，当 1x 时， 0gx ，即函数 gx在 1, 上单调递增， 故 11 2g x g 因此，当 1x 时， 2 ln2xk x x 恒成立，则 12k k 的取值范围是 1( , 2 12 分 考点： 1、导数几何意义； 2、利用导数求函数的极值、最值 19（） 2；（） 23 ， 53 22 yx . 【解析】 试
19、题分析：（ 1）当 1k 时，联立直线与椭圆的方程表示出弦长构造方程即可得到 实数 a 的值； （ 2）根据条件 CBAC 2 以及韦达定理表示三角形的面积，然后利用基本不等式即可得到结论 . 试题解析：设 ),(),( 2211 yxByxA （）41,2101243 1 2121222 axxxxaxxayx xy ， 2210432|2| 21 aaxxAB （） 012)3(3 1 2222 akxxkayx kxy， 221221 31,3 2 kaxxkkxx ， 由 212211 2)1,(2)1,(2 xxyxyxCBAC ，代入上式得： 222221 3 23 2 kkxkk
20、xxx ， 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 23323| 333|3|23|212221 kkkkxxxOCSA O B， 当且仅当 32k 时取等号，此时32)3( 422,3 2 222222122 kkxxxkkx 又 6131221 akaxx ，因此 53261 aa 所以， AOB 面积的最大值为 23 ，此时椭圆的方程为 53 22 yx 考点：椭圆的性质 . 【答案】 （本小题满分 12 分） 解： （ I） 当 2n 时， 32( ) ( 2 ) 2f x x m x m x ，则 2( ) 3 2 ( 2 ) 2f
21、 x x m x m ， （ 2 分） 函数 ()fx在 1,3 上单调递减，则有： (1 ) 3 2 ( 2 ) 2 0 ,( 3 ) 2 7 6 ( 2 ) 2 0 ,f m mf m m 解得 154m，故实数 m的取值范围是 15 , )4 ； （ 6 分） （ II） 设切点 00( , )Qx y ， 020300 22 m nxxxy 则切线的斜率 mnxxxfk 0200 243)( ，所以切线的方程是 )(24322 0020202030 xxmnxxm n xxxy ， （ 8 分） 又切线过原点，则 02030202030 24322 m n xxxm n xxx ， 0
22、222 2030 xx ，解得 0 0x ，或 20x 两条切线的斜率为 1 (0)k f mn， 2)2(2 mnfk 121 kk ， 12)( 2 mnmn ， 1mn ， 由 0nm ， 22nm 得 12m ， 12m （ 12 分） 【解析】略 21 （ ） 0;（ ）详见解析 【解析】 试题分析：（ ）利用两点的连线的斜率公式得出 kn，再利用（ ）的结论对 Sn 放缩即可得出结论 （ ） 当 2 时， )1(1)1(2ln)( xx xxxf ， 利用导数求函数的最小值； （ ） 依题意，高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks
23、 )11ln (1 ln)1ln ( nnn nnk n （ ）由 （ ） 可知，若取 2 ，则当 1x 时 0)( xf ，即 1 )1(2ln xxx 于是 )11ln( n122111)111(2nnn ，即知2 12 nkn ，所以 nini in ikS 11 2 121 化简即可得到结果 （ ）取 3 ， )1(2 )1(3ln)( xxxxxf ，求导可得 ()fx2)1( )4)(1( xx xx，所以当)2,1(x 时， 0)( xf ，故 )(xf 在 )2,1(x 单 调 递 减 ，所 以 ，当 2,1(x 时，0)1()( fxf ，即 2)1(3ln xxx 由 于
24、对 任 意 正 整 数 n ， 2,1(11 n ， 于 是 利 用 不 等 式 放缩可得)11ln(nkn 13 3211)111(3 nnn ，即知 nk1 313n ，即可得到结论 试题解析：（ ） 当 2 时， )1(1)1(2ln)( xx xxxf ，求导可得 2)1( )1(2)1(21)( x xxxxf 0)1( 1( 22 xxx所以 )(xf 在 ),1 x 单调递增，故 )(xf 的最小值是 0)1( f 5 分 （ ） 依题意， )11ln (1 ln)1ln ( nnn nnkn 6 分 （ ）由（ 1）可知，若取 2 ，则当 1x 时 0)( xf ，即 1 )1(2ln xxx 于是 )11ln( n122111)111(2nnn ，即知2 12 nkn 所以 nini inikS11 2121 2 )2( nn 9 分 （ ）取 3 ， )1(2 )1(3ln)( xxxxxf ，求导可得 2)1( )1(3)2(31)( x xxxxf 2)1( )4)(1( x xx
