1、3.1.2用二分法求方程的近似解(说课稿) 数学组 寇富弄一、教材分析(一) 课标要求根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。(二) 教学背景分析1. 教材所处地位、作用用二分法求方程的近似解是安排在高中课程标准实验教科书数学（人教版A版）必修1第三章第1节第二课时的内容。本小节是高中新课程的新增内容，在本节之前，关于方程根的求解，是通过因式分解、求根公式、换元来求方程的根，并以精确形式表示结果。而以“数形结合”为导引，以“零点存在定理”为理论基础，用“区间逼近”的方式求出方程的近似解即“二分法”，是一次“思想方法”上的突破，它把函数
2、、方程、不等式等高中的重要内容有机的联系起来.通过求函数零点来解方程的方法体现函数与方程、数形结合的思想；在“缩小区间”“逼近零点”的过程中，让学生体验无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。在解决实际问题中体现了二分法的工具性、应用性。、用二分法求函数零点的步骤中渗了透算法思想，为学生后续学习必修3的算法学习埋下伏笔。所以本节课的本质是向学生渗透函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。 另外在本节内容中教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中
3、所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.2.学情分析 高一学生通过函数和本章第一节学习，对函数的基本性质及函数与方程的联系有了初步认识，初步具备了数形结合思想方法考察问题的能力，但是只对二次函数的零点的求法比较熟悉，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难另外求近似解对他们是一个全新的问题，计算能力和准确表述解答过程的能力也需要进一步训练和提高。这些都是进行本课教学必须考虑到的学生因素。 另外，我们也要看到一个极其有利的因素，学生对用数学知识解决身边的问题有着强烈的兴趣，教学中应强调把课本所学知识应用于生活，加强学生的成功体验，进一步激发他们的学习兴趣。3. 教材
4、的重点、难点教学重点：理解二分法的原理，借助计算器用二分法求所给方程近似解的步骤和过程的掌握；教学难点：理解二分法的原理，精确度概念的理解，方程近似解的选取。二、教学目标分析（一）知识与技能：1、理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。 2、培养学生利用信息技术和计算工具的能力3、会用二分法思想解决实际问题（二）过程与方法：1.通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程，形成用函数的观点处理问题的意识。2.通过求具体方程近似解总结其步骤，体现了从具体到一般的认知过程。3.利用二分法求解，渗透了极限的数学思想，让学生能够初步了解逼近思想，体会数学逼近过程，感受精确
5、与近似的相对统一。（三）情感与态度：1.在二分法步骤的探索、发现过程中，获得成功的体验，锻炼了克服困难的意志，建立学习数学的自信心。2.通过了解数学家的史料来感受数学文化方面的熏陶，增强学习数学的兴趣。 三、教法选择和学法指导：(一) 教学方法问题导学、自主探究：通过问题引导学生自主探究二分法的原理与步骤，以师生互动为主的教学方法，学生根据问题研讨，教师根据反馈信息适时点拨，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬，树立他们学习数学的自信心。(二) 教学手段为了解决方法难理解，数值计算复杂和函数图象难画等困难，借助信息技术如几何画板、ppt等实现计算机辅助教
6、学。同时，让学生借助于计算器加强课堂练习的效果与反馈。(三) 学法指导 教师积极启发诱导，学生独立或者分组进行探究，使学生学会观察问题、探究问题，然后联系本课学习内容进行归纳总结，完成对新知识的认知过程. 四、教学基本流程设计内 容目 的1.探究活动1：解3个方程让学生自主探索，激起进一步探究的兴趣，导入课题求方程近似解2.探究活动2：缩小零点所在范围的方法使学生产生逐步逼近思想和二分法思想。3探究活动3：何时终止缩小区间的计算使学生明确精确度与区间长度的关系。4.探究活动4：归纳用二分法求方程近似解的步骤培养学生归纳概括的能力，为算法的学习做铺垫。5.例题2，用计算器辅助求解体会用二分法求方
7、程近似解的完整过程。6.学生练习巩固，拓展知识通过辨析明确二分法的适用范围。实际问题的解答，培养学生应用数学知识解决实际应用的能力。7.回顾二分法的步骤及用途通过口诀记忆二分法步骤，为算法的学习做铺垫，并归纳梳理了本节的知识和方法。8.作业布置进一步巩固了本节课知识，通过阅读史料感受数学文化的熏陶，增强学习的兴趣 五、教学过程 问题导入问题1如何判断函数y=f(x)在区间a,b上是否有零点?(1)函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线(2) f(a)f(b)0学生探究活动1：求下列方程的解预 案：运用求根公式、因式分解等方法可以求解方程（1）和（2）. 对于方程，学生不知道求
8、根公式，用上述方法难以求出精确解，尝试其他方法：图像法：找两个函数图像的交点。只能找到解的大概范围，也不能求出精确解求函数 的零点由上节课知识和图像能确定函数在（0，1）内只存在一个零点，但还是很难求出精确值。教师活动：利用几何画板演示函数图象，使学生有直观的认识。教师引导：对于简单的方程（如一元一次方程，一元二次方程和一些高次方程）我们可以通过变形、换元或求根公式得到它们的解，但对于大多数类型的方程（如很多高次方程，对数方程，指数方程）来说，我们是难以求出方程的精确解的而现实中，许多实际问题也不需要精确解，而只需要求出符合一定精确度的近似解就可以了，进而引本课主题求方程的近似解。设计意图：，
9、.建立起方程的根和函数的零点的联系，引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，从“数”的角度看：即是方程的实数根；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标.让学生自主探索，感受成功和失败的体验，激起进一步探究的兴趣。 方法探究 形成概念我们知道求方程 f(x)0的根，就是确定函数y=f(x) 的零点，现在虽然难以求出精确解，但我们能够确定解的大致范围是（0，1）问题2：你有进一步缩小零点的范围的方法吗？如何得到一个更小的区间，使得函数 的零点还在里面？学生探究活动：缩小零点所在范围的方法预案：.从区间一端每次加相同步长，向另一边缩小.从区间两端每次加相同步长，向中间缩小。取
10、区间二等分，3等分或n等分探究结果：由于在得到一个更小的区间后，要使得函数的零点还在里面，因此要判断新的区间端点是否异号，方法和的步长不好设置，计算起来较慢，可能把零点置于区间外。方法将区间3等分或n等分的计算量大，操作复杂。取中点将区间二等分操作简便，可以又快又准的将函数的零点区间缩小到原来的一半。教师引导：根据函数y=f(x)零点所在的大致范围，求函数零点更为精确的近似值或方程的更为精确的近似解，直观上就是去探求零点所处的更小的范围。也就是说，求方程近似解可以转化为不断缩小零点所在区间问题，我们可以不断地将区间取中点等分，将零点所在区间不断缩小，从而使区间的两个端点逐步逼近零点，这种方法就
11、是二分法。这样可以无限“逼近”任意精度下的解，与其说是求方程解，不如说是无限逼近方程的解。教师活动：给出二分法定义对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。设计意图：让学生自主思考和尝试缩小范围的方法，体验无限逼近过程，了解二分法定义，找到缩小区间的方法。问题3. 用二分法可以无限缩小零点范围，那么何时终止缩小区间的计算，取得满足精确度近似解？ 学生探究活动3：讨论精确度与区间长度的关系。教师引导：xxobxa设函数零点为，则有，因此，a，b及（a，b）内的任意值作为的近似值都达到函数零点的
12、精确度设计意图：将研究问题进一步深化，利用数轴画出简图来辅助说明，理解为求得方程更为精确的近似解要不断缩小零点所在区间，为何时结束二分提供理论依据，这一点是难于理解的。.方法实践，归纳原理： 问题4.用二分法求函数 零点的近似值，(精确度为0.1)，即方程根的近似值。 已知f（0）0 学生活动：利用计算器，列表展示用二分法逐次缩小零点所在范围计算的结果，体验二分法的过程，然后根据精确度确定零点的近似解。次数区间取a取b|a-b|1（0, 1）0.5-0.3750.5112(0.5,1)0.750.1718750.50.750.53(0.5,0.75)0.625-0.1308593750.625
13、0.750.254(0.625,0.75)0.68750.0124511720.6250.68750.01255(0.625,0.6875)0.65625-0.0611267090.656250.68750.0625如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精确度时，即为计算的最后一步教师活动：在黑板利用数轴演示二分法的过程，给出规范解题格式 f（.5）0 f（.5）0 f（.625）0 f（0.625）0 因为 ，所以方程的近似解可取为0.6875教师活动：用几何画板利演示二分法的过程，使学生加深对二分法的理解。设计意图：让学生动手操作、主体参与，在讨论、合作中解决问题，有利于学生对知识的掌
14、握，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想，并强化对二分法原理的理解。利用计算器运算速度快、精确度高，感受现代工具带来的便捷。利用多媒体辅助教学有利于完善学生认知，体现数形结合的方法的本质，并且提高教学效率。学生探究活动4：归纳用二分法求函数零点近似值的步骤问题5:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？ 确定区间a,b，使 f(a)f(b)0问题6:为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？ 求区间的中点c，并计算f(c)的值 问题7:若f(c)=0， f(a)f(c)0或f(c)f(b)0 ，分别说明什么？ 若f(c)=0 ，则c就是函数的零点； 若f(a)f(c)0
15、，则零点x0(a,c)；若f(c)f(b)0 ，则零点x0(c,b).师生活动：共同归纳总结，揭示新知二分法求方程近似解的一般步骤1确定区间，验证，给定精确度；2求区间的中点；3计算：（1）若=0，则就是函数的零点，计算终止；（2）若，则令（此时零点；（3）若，则令（此时零点。4判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值；否则重复24。教师适时点拨其中可能的疑点：（1） 若区间长度为1，使用二分法n次后，精确度为，可以估计达到精确度至少需要使用次数：满足的最小自然数n；（2） 如何取相应零点的近似值？零点在区间内，且 所我们可将内的任一实数作为该方程的近似解。教师在此基础上可以改进零点选取方法
16、确定为最后满足精确度的区间端点的更新值（即上一区间的中点）改进意义：（1）使学生对近似解的选择具有统一性（2）为学习算法作铺垫（要求程序输出确定的结果）设计意图： 通过问题启发学生归纳步骤，让学生参与教学过程，不仅降低步骤归纳的难度，又给二分法的本质理解提供了时机，进而转化到形式化的算法语言 (四) 应用新知，练习巩固例2. 借助计算器二分法求方程的近似解（精确度为0.1）问题8：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？（此处强调方程的解即求所对应函数的零点）师生共同完成：(1).确定函数的零点所在的大致区间（2，3）。(2).用二分法求函数的零点的近似解。说明： 第一步确定零点所在的大致区间
17、，可利用函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，通常可确定一个长度为1的区间；列表计算次数区间（a，b） 取a取b精确度|a-b|1（2，3）2.5-0.0842.5312（2.5，3）2.750.5122.52.750.53（2.5，2.75）2.6250.2152.52.6250.254（2.5，2.625）2.562 50.0662.52.562 50.1255（2.5，2.562 5）2.531 25-0.0092.531 252.562 50.06256（2.531 25，2.562 5）2.546 8750.0292.531 252.546 8750.031257（2.
18、531 25，2.546 875）2.539 062 50.012.531 252.539 062 50.0156258（2.531 25，2.539 062 5）2.535 156 250.0012.531 252.535 156 250.007813计算到第5次，由于2.5-2.562 5=0.06250.1，取近似解x=2.5625例2变式: 精确度改为0.01呢?将区间继续缩小，计算到第8次，由于2.53906252.53125=0.00781250.01，取近似解x=2.5390625设计意图：(1)使学生主动参与教学活动，体会二分法求方程近似解的全过程。(2)例题的变式是让学生更明
19、确精确度决定了二分的次数及根的选取。练习1下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ C ）xy0xy0xy0xy0练习2.模拟实验室：12金币中有一枚假币，假币比真币略轻.现有一座无砝码的天平，如何用最少的次数找出这枚假币？设计意图：练习1让学生明确二分法求近似解的使用是条件，这表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点，不能用于求方程偶次重根的近似解练习2 把课本所学知识应用于生活，加强学生的成功体验教师说明：二分法只能用来解决函数 图象在区间上连续不断，且在两端点处函数值异号，即f(a)*f(b)0。常用来高次方程的近似解，是方程求根的常用方法。在现实生活中常用来查找线路电线、水管、气管等
20、管道线路故障，实验设计、资料查询等。(五) 课堂小结，知识升华1.二分法的基本概念2.二分法求方程的近似解的步骤：体现了程序化的思想即算法思想。初始区间取区间中点中点函数值为零取新区间满足精确度结束否是否是3.二分法求方程近似解应做到：会找：利用函数图像数形结合，找到恰当的零点初始区间；会缩：运用逼近的思想，将零点所在区间不断二分，使区间端点逐步逼近零点；会判断：能根据要求的精确度，终止二分计算，求出函数零点的近似解。4.本小节的重要数学思想数形结合思想函数与方程的思想算法思想5. 二分法在现实生活中有广泛应用 设计意图：(1)通过小结使学生明确本节课的知识，利用框图总结二分法步骤，渗透算法思
21、想。(2)口诀有助于学生记忆解题步骤(六) 课后作业，知识拓展1. 书本92页习题3.1 A组3-52. 课外拓展： 阅读课本91页阅读材料中外历史上的方程求解，结合阅读材料和二分法的学习与应用，你对二分法以及对数学有哪些新的认识。3. 商品价格竞猜游戏：游戏规则：每件商品价格在999元以内，时间一分钟，每次出价后，有提示“高了”或“低了”，猜对了可以得到这件商品，并可继续猜下一件商品。要求两人为一组参加游戏，看哪一组先通过第一关。设计意图：(1) 适当的作业有助于进一步巩固新知。(2) 创设生活的情境，使学生在游戏中进一步体会二分法思想。(3) 阅读课本材料，通过阅读史料感受数学文化的熏陶，并增强学习数学的兴趣逐步形成正确的数学观。附:板书设计课题：3.1.2 用二分法求方程的近似解1二分法的概念 2二分法求方程 近似解的步骤 例题变式练习 以上是我对本节课的说明，不足之处，恳请各位评委批评指正，谢谢！10
