1、 高二数学 (理 )期中考试试卷 命题人 :王强 试题说明：时间 120 分钟 总分 150 分 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1、设 （ 是虚数单位），则 等于（ ） A B. C D. 2、 “ 0mn”是“方程221mx ny表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3、下列推理是归纳推理的是 （ ） A 为定点，动点 满足，则动点 的轨迹是以 为焦点的双曲线； B由 求出 猜想出数列 的前 项和 的表达式； C由圆 的面积 ，猜想出椭圆 的面积 ； D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 4、用反证法证
2、明命题“ ”,其反设正确 的是（ ） A. B. C. D. 5、函数 的单调递减区间是 A. B. C. D. 6、若函数在区间 内单调递增，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 7、已知函数 满足对任意 ，都有 成立，则 的取值范围为（ ） A、 B、 (0,1) C、D.、 (0,3) 8、将 5 名实习教师分配到高一 年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有（ ） A. 30 种 B. 90 种 C. 180 种 D. 270 种 9、某人进行了如下的 “三段论 ”推理：如果，则 是函数 的极值点，因为函数 在 处的导数值，所以 是函数 的极值点。
3、你认为以上推理的 A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确 10、函数 处的切线方程是 （ ） A B C D 11、计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 12、设函数 在区间（ 0， 4）上是减函数，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、在平面上，若两个正三角形的边长之比为 ，则它们的面积之比为 ；类似地，在空间内，若两个正四面体的 棱长之比为，则它们的体积之比为 ； 14、一份试卷有 10 道考题，分为 A、 B 两组，每组 5 题，要求考生选做 6 题，但每组最多选 4 题，则每位考 生有
4、_种选答方案 . 15、 已知函数 在区间上恰有一个极值点，则实数 的取值范围是 _. 16、设 是定义在 R 上的奇函数，当时， ，且 ， 则不等式 的解集为 _. 三 、 解答题 17、 （本小题满分 10 分） 有 4 名男生、 5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ （ 1）甲不在中间也不在两端； （ 2）甲、乙两人必须排在两端； （ 3）男、女生分别排在一起； （ 4）男女相间； （ 5）甲、乙、丙三人从左到右顺 序保持一定 18、（本小题 12 分）在各项为正的数列中，数列的前 n 项和 满足 （ 1） 求 ；（ 2） 由（ 1）猜想数列的通项公式并证明，（ 3
5、） 求 19、 （本小题满分 12 分） 如果方程表示一个圆， （ 1）求 的取值范围； （ 2）当 m=0 时的圆与直线相交，求直线 的倾斜角的取值范围 . 20、（本题满分 12 分）如图，四棱锥的底面 为矩形，且 ， ， ， （ ）平面 与平面 是否垂直？并说明理由； （ ）求直线 与平面 所成角的正弦值 21、 （本小题满分 12 分） （ 1）若 ，求 ; （ 2）若函数 对应的图象记为 （ I）求曲线 在 处的切线方程？（ II）若直线 为曲线 的切线，并且直线 与曲线有且仅有一个公共点，求所有这样直线的方程？ 22、（ （本小题满分 12 分）已知函数. ( )若 ，求曲线 在
6、处切线的斜率； ( )求 的单调区间； （ ）设 ，若对任意，均存在 ，使得 ，求 的取值范围 . 高二数学 (理 )期中考试试卷 命题人 :王强 试题说明：时间120 分钟 总分 150 分 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1、设 （ 是虚数单位），则 等于（ ） A B. CD. 【答案】 D 【解析】 . 2、 “ 0mn”是“方程 221mx ny表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分 条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 3、下列推理是归纳推理的是 （ ） A 为定点，动点 满足，则动点 的轨迹是以 为焦点的双曲线； B由
7、 求出 猜想出数列 的前 项和 的表达式； C由圆 的面积 ，猜想出椭圆 的面积 ； D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 【答案】 B 【解析】因为归纳推理就是从特殊到一般的思想，那么符合题意的选项 B，选项 A,是演绎推理，选项C 是类比推理，选项 D 是类比推理。 4、用反证法证明命题“ ”,其反设正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【 解 析 】 解 ： 因 为 用 反 证 法 证 明 命 题“ ”,其反设正确的是 ，选 A 5、函数 的单调递减区间是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】因 为函数 y=3x2-12=3(x+2)(x-2),可知函数递减区间为
8、 y0 时， ,所 以 不 等 式 的解集为. 三 、 解答题 17、 （本小题满分 10 分） 有 4 名男生、 5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的 排法？ （ 1）甲不在中间也不在两端； （ 2）甲、乙两人必须排在两端； （ 3）男、女生分别排在一起； （ 4）男女相间； （ 5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定 【答案】（ 1） 241920 种排法（ 2） 10080种排法（ 3） 种 （ 4） 2880 种 （ 5） 种 【解析】本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等
9、机会法、插空法等常见的解题思路 （ 1）这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，先排甲有 6 种，剩下的 8 个元素全排列有 A88 种，根据分步计数原理得到结果 （ 2）先排甲、乙，再排其余 7 人，再根据分步计数原理得到结果 （ 3）把男生和女生分别看成一个元素，两个元素进行排列，男生和女生内部还有一个全排列， （ 4）先排 4 名男生有 A44 种方法，再将 5名女生插在男生形成的 5 个空上有 A55 种方法，根据分步计数原理得到结果 （ 5） 9 人共有 A99 种排法，其中甲、乙、丙三人有 A33 种排法，因而在 A99 种排法中每A33 种对应一种符合条
10、件的排法，类似于平均分组 18、（本小题 12 分）在各项为正的数列中，数列的前 n 项和 满足 （ 1） 求 ；（ 2） 由（ 1）猜想数列的通项公式并证明，（ 3） 求 【答案】解： （ 1） a1=1， a2= ， a3= ； （ 2）数列 an的通 项公式可能是：an= ，证明见解析。 （ 3） Sn= 【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式与前n 项和的关系式的运用，令值的思想得到前几项，然后归纳猜想数列的通项公式，并运用数学归纳法证明， （ 1）由题意可知 ，那么对于 n 令值，那么可知 a2= a3= (2)根据上一问的结论，数列 an的通项公式可能是： an= ，然后运用数学
11、归纳法分两步骤证明即可。 （ 3）因为通项公式累加可以得到前 n 项和的结论。 解 ： （ 1） S1=1/2(a1+1/a1) 又 S1=a1 故 1/2(a1+1/a1)=a1 即 a12=1 因为 a10 故 a1=1 S2=1/2(a2+1/a2) 又 S2=a1+a2=1+a2 故 1/2(a2+1/a2)=1+a2 (a20) 解得： a2= 同理： a3= （ 2）从（ 1）中可看出：数列 an的通项公式可能是： an= 假设 an= 成立 证明： 当 n=1 时， an=1= 假设成立 当 n=2 时， an= = 假设成立 假设 n=i时，假设成立，即 ai= Si=(+(
12、)+( )+( )= 那么，当 n=i+1 时 由 sn=1/2(an+1/an)得 Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1) ai+1=Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)- 解得： ai+1= 由 可证明假设 an= 成立 an 通项公式为： an= （ 3） Sn= 19、 （本小题满分 12 分） 如果方程表示一个圆， （ 1）求 的取值范围； （ 2）当 m=0 时的圆与直线相交，求直线 的倾斜角的取值范围 . 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】本试题主要是考查了圆 的一般式方程的运用，以及直线与圆的位置关系的运用。 （ 1）根据已知条件可知，将方程配方得 方程表示圆
13、 0 解得 1 或， 4 （ 2）当 =0 时，圆的方程为 直线与圆相交 2 解得 k ，那么利用直线与圆相交得到倾斜角的范围。 解：（ 1）将方程配方得 方程表示圆 0 解得 1 或， 4 的取值范围为 6 分 （ 2）当 =0 时，圆的方程为 直线与圆相交 2 解得 k 10 分 设直线 的倾斜角为 则 又 直线 的倾斜角的取值范围为13 分 20、（本题满分 12 分）如图，四棱锥的底面 为矩形，且 ， ， ， （ ）平面 与平面 是否垂直？并说明理由； （ ） 求直线 与平面 所成角的正弦值 【答案】（ I）见解析；（ ）. 【解析】本试题主要是考查了面面垂直和线面角的求解的综合运用。
14、 （ 1）第一问中要证明面面垂直关键是证明线面垂直，然后利用判定定理得到。 （ 2）第二问先根据线面角的定义，作出线面角，然后利用直角三角形的边角的关系求解的得到。 （ I）平面 平面； 1 分 证明：由题意得 且 又 ，则3 分 则 平面, 5分 故平面 平面7 分 （ ）解法 1：以点 A 为坐标原点， AB 所在的直线为轴建立 空间直角坐标系如右图示，则, , 可得, 9 分 平面 ABCD 的单位法向量为， 11 分 设直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 ，则13分 则 ，即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 14分 解法 2： 由（ I）知 平面 ， 面 平面 ABCD
15、 平面PAB, 9 分 在平面 PAB 内，过点 P 作 PE AB，垂足为E，则 PE 平面 ABCD，连结 EC， 则 PCE 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角， 11 分 在 Rt PEA 中， PAE=60， PA=1， , 又 13 分 在 Rt PEC 中.14 分 21、 （本小题满分 12 分） （ 1）若 ，求 ; （ 2）若函数 对应的图象记为 （ 3）求曲线 在 处的切线方程？（ II）若直线 为曲线 的切线，并且直线 与曲线有且仅有一个公共点，求所有这样直线的方程？ 【答案】（ 1） =2 或 0（ 2） （ 3） y=2 【解析】本试题主要是考查了向量的共线，以及曲线的切线方承担求解，直线与曲线的交点问题的综合运用 （ 1）由于向量共线，那么根据坐标关系式得到参数 x 的值。 （ 2）由于函数 则由得到切线方程。 设切点坐标 曲线 在 处的切线方程为，然后联立方程组，得到参数 t 的值。 解： （ 1） =2 或 03 分 ; （ 2）函数 4 分 （ I） 6 分 曲线 在 处的切线方程为7 分 （ II）设切点坐标 8 分 曲线 在 处的切线方程为9 分
