1、例析均值不等式常见错解及解决办法 运用均值不等式（，当且仅当“”时取等号）是求解最值的一种常用方法，也是高考考查的重点内容之一笔者在教学中发现，不少同学在使用时不能很好的抓住本质要求，造成了很多不该发生的错误本文就教学过程中的几个典型问题举例说明例1 已知，求的最值错解 为定值， ，的最小值为4错解剖析 虽然为定值，但是因为，所以此时不能直接应用均值不等式，需要将负数转化为正数后再使用均值不等式正解 ，即，当且仅当即时等号成立，的最大值为例2 已知，求的最小值错解 ，函数最小值为错解剖析 本题虽有为定值2，但是不可能成立，所以等号成立前提下的最小值取不到而可以利用函数的单调性解决正解 设，则
2、，易证函数在上是减函数， 即时，函数的最小值为3例3 已知求的最小值错解 由，可知，再有得，的最小值为24错解剖析 运算过程中两次用到了均值不等式，但是两次运用时等号成立的条件并不一致（等号成立时，而等号成立时）从而中的等号不可以取到而若采用代换便可以只使用一次均值不等式得出结果解法一 ，当且仅当且即时等号成立，所以的最小值为25解法二 ，又且，当且仅当，即时等号成立（），此时，的最小值为25解法三 设，当且仅当，即时等号成立，此时，的最小值为25例4 已知，求的最大值错解 ， ,的最大值为错解剖析 取到最大值的前提是且，但是此时，即，显然等号不能成立，所以本题不能直接运用均值不等式，但仍然可以用如下方法予以解决解法一 令，的最大值为6解法二 令，由平面向量的数量积的性质，得，当且仅当和同向，即时等号成立（注意：不能表示为），的最大值为6解法三 由柯西不等式，可知，即， 的最大值为6 可见，在应用均值不等式求解最值时，应该时刻注意“一正”、“二定”、“三相等”这三个条件，必须充分理解并掌握这些要点，并且要在解题时注意灵活运用类题练习：1 若则的取值范围是 2 求函数的最小值3 已知，且，求的最小值4 已知，且均为正实数，则的最大值为 参考答案：1 2 3 4 3
