1、 联考 （二）数学（文科）答案及评分标准 一、选择题： 本大题共 10 个小题，每小题 5分，共 50 分 . （ 1） 答案 ： D 解析 ： 2 5 2 5 ( 3 4 ) 2 5 ( 3 4 ) 343 4 ( 3 4 ) ( 3 4 ) 9 1 6iizii i i 考点 ：复数的运算 （ 2） 答案： C 解析 ：解 2 4 5 0xx 得 1x 或者 5x ；解 2 02 xx 得 22x 取交 集可得答案 C 考点 ：解一元二次不等式、分式不等式，集合的运算 （ 3） 答案： C 解析 ： 以 50 为样本容量可计算出超过 315m 用水量的户数为 5 0 .0 5 0 .0 1
2、 5 0 1 5 , 所以可估算 200 户居民超过 315m 用水量的户数 60 . 考点 ： 统计 . （ 4） 答案 ： C 解析 ：由圆心 (2,0)C 到直线 1 xy 的距离22212 d， 22 22 drAB 考点 ：直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式 （ 5） 答案 ： D 解析 ： 20152 c o s 2 c o s (6 7 2 ) 2 c o s 1 ,3 3 3a 4p 考点 ：诱导公式，框图 （ 6） 答案 ： B 解析 ：函数 3211() 32f x x ax x 有两个极值点等价于 2( ) 1 0f x x ax 有两个根，所以 2 40a ，即 2
3、a 或 2a ；函数 2 9() ag x x 在 (0, ) 上为增函数时，应有2 90a ，即 3a 或 3a .由集合与充要条件的关系知 p 是 q 的必要不充分条件 . 考点 ：极值、幂函数、充要条件 （ 7） 答案： C 解析 ：解三角不等式 s in c o s 2 s in 14x x x ，故 2sin42x ，又 0,2x ，故 9,4 4 4tx ，由 2sin 2t ，得 39,44t ，所以 ,22x ，2 3224p 考点 ：三角函数辅助角公式，解三角函数不等式，几何概型 （ 8） 答案 ： A 解析： 令 ( ) sing x x x ，（ x0） .则 ( ) 1
4、 cos 0g x x 在 x0 时恒成立，所以 ()gx在(0, ) 单调递增，故 ( ) (0) 0g x g.所以 ()fx在 x0 时没有零点； 0x 时，解得 x=-1.综上： ()fx只有一个零点 . 考点： 函数零点 （ 9） 答案： C 解析： 易 知 双 曲 线的 右 焦 点 为 (2,0)F ，由抛物 线的 定 义 知 2d PF , 所以1 2 m in 1 m in( ) ( )d d d P F =F 到 l 的距离 d .而 222 8 2 8 452bbdbab ，从而 1b , 22 3a c b ,故 1C 的方程为： 2 2 13x y. 考点： 双曲线、抛
5、物线的方程、定义和性质 . （ 10） 答案： A 解析： 因为 1 , )4x ，使得不等式 x xmex成立 所以 1 , )4x ，使得不等式 xm x xe 成立 . 令 1( ) ( )4xg x x xe x ，则 1( ) 1 1 ( )22x xxeg x x e e xxx 因为 112222xxxx （当且仅当 12x 时取等号），且 14 1xee 所以 ( ) 0gx ， ()gx在 1 , )4 上为减函数，所以max 1( ) ( )4g x g141142e . 考点 ： 存在性问题、利用导数求最值、基本不等式 . 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5分，
6、共 25 分 . (11) 答案： 2. 解析： 由题意可知，所求为半径 3 的球体的内接正方体的棱长，假设棱长为 a ，则12)32(3 22 a ，即 2a . 考点： 三视图、组合体 (12) 答案：n2112n n c o s12n 2 c o s12n c o s . 解析： 观察各个等式可以看到，等式左边为余弦的乘积，各个角分母 为 12n ，分子为 到 n ，等式右边为n21. 考点： 合情推理 (13) 答案： 50, 8 解析： 不等式组 1 0,2 3 0,0,xyxyy 所表示的区域为以 ( 1,0)A 、 3( ,0)2B 、 25( , )33C 为顶点的三角形及其内
7、部， 取点 ( 2,0)P ，则 2yx 表示可行域内任意一点 (, )xy 与 ( 2,0)P 连线的斜率，结合图易知最小为 0，最大为5532 823PCk . 考点： 平面区域、斜率几何意义 (14) 答案： 655 解析： 以 AC 所在直线为 x 轴， AB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则 (0,0)A 、 (0,12)B 、(3,0)C 运算可得 (4,2)P 、 (0,6)Q .所以 (4,2)AP 、 (6, 3)CQ，从而 AP 在 CQ 方向上的投影 2 4 6 6 553 6 9A P C QAP . 考点： 平面向量的坐标运算、数量积、投影 . (15) 答案：
8、解析 ： 对于任意 xR ，都有 ( 4 ) ( ) ( 2 )f x f x f 令2 , ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0x f f f f ，又函数 ()y f x 是 R 上的偶函 数，则(2) 0f ，正确；又当 12, 0,2xx 且 12xx 时，都有 1212( ) ( ) 0f x f xxx ，则函数 ()fx在 0,2 上单调递增， 又函数 ()y f x 是 R 上的偶函数，函数 ()fx在 2,0 上单调递减，由 知，对于任意 xR ， ( 4) ( )f x f x ，则函数 ()fx的最小正周期为 4，画出函数 ()fx的大致图像， 知 直线 4
9、x 是函数 ()y f x 的图象的一条对称轴，正确；函数 ()y f x在 6, 4 上为减函数，错误；由周期性和奇偶性知， ( 2 ) (6 ) ( 2 ) ( 6 )f f f f =0，函数 ()y f x 在 6,6 上有四个零点，正确； 考点： 函数的单调性、奇偶性以及数形结合 思想 . 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75分 . (16)答案： （） 函数 ()fx的最小正周期 T ，单调增区间为 ,36k k k Z （ ） 边 BC 的最小值为 31 解析： （） 22 c o s 1( ) 3 s i n c o s 2 xf x x x 31sin 2 c o s
10、222xx sin(2 )6x 2 分 由图象上相邻三个最值点构成的三角形的面积为 ，得 1 2,2 TT 4 分 即 22 所以 1 即 ( ) sin(2 )6f x x 2 2 22 6 236k x kk x k 所以函数 ()fx的单调增区间为 ,36k k k Z ； 6 分 （ ） ( ) s in ( 2 ) 16f A A 又 0 2 2 26 6 6 6 2 6A A A A 8 分 设 ABC 中 ,角 A、 B、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， 则 3c o s 32A B A C b c A b c 即 2bc 由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 32
11、c o s 2 2B C a b c b c A b c b c = 2 2 2 23 2 3 2 2 3 4 2 3b c b c b c b c 11 分 当且仅当 2bc 时等号成立 所以边 BC 的最小值为 31 12 分 考点： 诱导公式、降幂公式、三角函数性质、平面向量数量积、余弦定理、重要不等式 . (17)（）解： A 班 5 名学生的视力平均数为A 4 . 3 + 5 . 1 + 4 . 6 + 4 . 1 4 . 9= = 4 . 65x 2 分 B 班 5 名学生的视力平均数为B 5 . 1 + 4 . 9 + 4 . 0 + 4 . 0 4 . 5= = 4 . 55x
12、 . 3 分 从数据结果来看 A班学生的视力较好 . 4分 （ ） 解： B 班 5 名学生视力的方差较大 . 7 分 （ ）解 ：由 （ ） 知， A 班的 5 名学生中有 2 名学生视力大于 4.6 .记为 12,AA 有 3 名学生视力不大于 4.6 .记为 1 2 3,a a a 从 5 名学生中随即选取 3 名 ,不同的选取方法有 10 种 : 1 2 3 , , a a a , 1 2 1 , , a a A , 1 1 3 , , a A a , 1 2 3 , , A a a , 1 2 2 , , a a A , 1 2 3 , , a A a , 2 2 3 , , A a
13、 a1 1 2 , , a A A , 1 2 3 , , A A a , 1 2 2 , , A a A , 10 分 3 名学生中恰好有两名学生的视力大于 4.6 有 : 1 1 2 , , a A A , 1 2 3 , , A A a , 1 2 2 , , A a A , 所求概率 310P 12 分 考点： 平均数、 方差、古典概型 . （ 18） 答案： 见解析 . 解析 ： （）证明：取 CE 中点 P ，连结 FP BP、 ， F 为 CD 的中点， FP DE ，且 FP = .21DE 又 AB DE ，且 AB .21DE AB FP ，且 AB =FP ， 四边形 A
14、BPF 为平行四边形， /AF BP 4 分 又 AF 平面 BCE ， BP 平面 BCE ， AF 平面 BCE . 6分 （）证明： ACD 为正三角形， AF CD , AB 平面 ACD ， DE /AB , DE 平面 ACD , 又 AF 平面 ACD , DE AF . 又 AF CD ， CD DE D , AF 平面 DCE . 10分 又 BP AF BP 平面 DCE . 又 BP 平面 BCE , 平面 BCE 平面 CDE . 12分 考点： 立体几何平行垂直关系的证明 . (19)答案： （） 34a =72 113 .2ijija （ ）2 ( 1 )3 ( 2
15、 1 ) l o g 3 2nn nnSn 解析： 由题意知这个等比数阵的每一行都是以 2 的公比的等比数列，每一列都是以 3 为公比的等比数列。 （） 2 3 33 1 3 4 3 11 3 9 2 9 2 7 2a a a 所 以 所 以 2 分 因为 111 11 33iiiaa 1 1 11 2 3 2j i jij iaa 所 以 5 分 （ ） 因为 112 2 1 2 3 2nnnaa 6 分 1 1 1223 2 l o g ( 3 . 2 ) 3 2 l o g 3 1n n nnbn 所以 8 分 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2. . . ( . . . ) ( l o g l o g . . . l o g )n n n ns b b b a a a a a a =23 (1 2 ) ( 1 )lo g 31 2 2n nnn =2 ( 1 )3 ( 2 1 ) lo g 3 2n nnn 12 分 考点： 等比数列的概念；等比数列的通项公式；数列求和公式；分组求和 . (20)答案： （） 022 yx （ ） 见解析 解析： （） 易知 )1(f =0， 2)1( f ，可得所求切线方程为 022 yx . 3 分
