1、 2015 年高考模拟考试 数学 (文科 ) 本试卷分第 I 卷和第卷两部分，共 5 页满分 150 分考试用时 120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项： 1答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效 3第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试 卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液
2、、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效 4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 参考公式： 柱体的体积公式： V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高 . 第 I 卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 2 2 3 0 , 1 , 1 , 3 ,M x x x N M N 则 A. 1,3 B. 1,1,3 C. 1,1, 3,3 D. 1,1, 3 2.已知复数 z 满足 1 i z i（ i 是虚数单位），则 z 在复平面内对应
3、的点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数 3log 2 1yx的定义域为 A. 1, B. 1, C. 1,2D. 1,124.“ 1cos 2 ”是“ 3 ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知 ,abc R ，那么下列命题中正确的是 A.若 ab ，则 22ac bc B.若 0, 0a b c ，则 ccab C.若 ab ，则 22a c b c D.若 0ab ，则 2abba 6.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A.9 B. 16 C.25 D.36 7.已知 ,xy满足约
4、束条件 1 3223xx y z x yxy ， 若 的最大值和最小值分别为 ,ab，则 ab A.7 B. 6 C.5 D.4 8.已知函数 y f x 是 R 上的偶函数，当 12, 0,xx 时，都有 1 2 1 2 0x x f x f x .设 21ln , ln , lna b c ，则 A. f a f b f c B. f b f a f c C. f c f a f b D. f c f b f a 9. 已知 12,FF是双曲线 2222 1 0 , 0xy abab 的两个焦点，以 12FF 为直径的圆与双曲线一个交点是 P，且 12FPF 的三条边长成等差数列，则此双曲
5、线的离心率是 A. 2 B. 3 C.2 D.5 10.设函数 fx的定义域为 R，若存在常数 0 f x x， 使 对一切实数 x 均成立，则称 fx为“条件约束函数” .现给出下列函数： 4f x x ； 2 2f x x； 2 225xfx xx ； fx是定义在实数集 R 上的奇函数，且对一切 12,xx均有 1 2 1 24f x f x x x .其中是“条件约束函数”的有 A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个 第 II 卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11.100 名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直
6、方图如图所示，则 模块 测试成绩落在 50,70 中的学生人数是 _. 12.已知 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 ,abc，若 sin :sin :sin 1:2 : 3A B C ，则角 C=_. 13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示 ，其中俯视图是中心角为3的扇形，则该几何体的体积为 _. 14.设 ,abcrrr 是单位向量，且 0a b a c b c r r r r r r， 则 的最大值为 _. 15. 已知 P 是直线 3 4 10 0xy 上的动点， PA ， PB 是圆22 2 4 4 0x y x y 的两条切线， A,B 是切点， C 是圆心，那么四
7、边 形 PACB面积的最小值为 _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 . 16.（本小题满分 12 分） 设函数 22 3 c o s 2 s i n 3f x x x （其中 0 ），且 fx的最小正周期为 2 . （ I）求 的值； （ II）将函数 y f x 图象上各点的横坐标缩短为原来的 12 ，纵坐标不变，得到函数 y g x 的图象，求函数 gx的单调增区间 . 17. （本小题满分 12 分 ） 某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏 .已知在一个不透明的箱子内放有 大小和形状相同的标号分别为 1， 2， 3 的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其
8、中标号为 1 的小灯笼 1 个，标号为2 的小灯笼 2 个，标号为 3 的小灯笼 n 个 .若参赛者从箱子中随机摸取 1 个小灯笼进行谜语破解，取到标号为 3 的小灯笼的概率为 14 . （ I）求 n 的值； （ II）从箱子中不放回 地摸 取 2 个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为 a，第二次摸取的小灯笼的标号为 b.记“ 4ab ”为事件 A，求事件 A 的概率 . 18. （本小题满 分 12 分） 如 图 ， 平 面 PBA 平面 ABCD ，9 0 , ,D A B P B A B B F P A o ，点 E 在线段 AD 上移动 . （ I）当点 E 为 AD 的中点时，求
9、证： EF/平面 PBD； （ II）求证：无论点 E 在线段 AD 的何处，总有 PE BF . 19. （本小题满分 12 分） 数列 na 满足 111, 2nna a a n N ， nS 为其前 n 项和 .数列 nb 为等差数列，且满足 1 1 4 3,b a b S. （ I）求数列 ,nnab的通项公式； （ II）设2 2 21lognnnc ba ，数列 nc 的前 n 项和为 nT ，证明： 1132nT. 20. （本小题满分 1 3 分） 已知函数 0xf x e a x a a R a 且. （ I） 若函数 0f x x在 处取得极值，求实数 a 的值；并求此时
10、21fx 在 ， 上的最大值； （ II）若函数 fx不存在零点，求实数 a 的取值范围 . 21. （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 22: 1 0xyC a bab 的焦距为 2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形 . （ I）求椭圆 C 的标准方程； （ II）椭圆 C 的右焦点为 F，过 F 点的两条互相垂直的直线 12,ll，直线 1l 与椭圆 C 交于 P， Q 两点，直线 2l与直线 4x 交于 T 点 . （ i）求证：线段 PQ 的中点在直线 OT 上； （ ii）求 TFPQ的取值范围 . 2014 届 高三教学质量调研考试 文科数学 参考答案
11、 一、选择题 CBABD BACDC 二、填空题 11.25 12.313. 2 14. 12 15. 22 三、解答题 16. 解： （） ( ) 3 c o s 2 s i n 2f x x x=2sin(2 )3x 4 分 2 =22 ，即 12 6 分 （） 由 （ ）知 ()fx 2sin( )3x ,将函数 )(xfy 的 图象各点的横坐标 缩短为 原来的 12 ，纵坐标不变，得到函数 )(xgy 的图象， 即 ()gx 2sin(2 )3x 8 分 由 2 2 + 22 3 2k x k ， kZ 得： 51 2 1 2k x k ,kZ ， 10 分 ()gx 的单调递增区间是
12、： 5 , 1 2 1 2kk ,kZ 12 分 17. 解：（） 由题意，12 4n n， 1n 4 分 （ 2）记标号为 2 的小灯笼为 1a, 2； 连续 摸取 2 个小灯笼 的所有基本 事件 为 : （ 1, 1a） ,（ 1, 2a） ,(1,3),（1,1） ,（a,1） ,(3,1),（1a,2） , (1a,3） ,（2a,1） , （ 3, 1a） ,（2,3） , （ 3, 2）共 12 个 基本 事件 . 8 分 A包含的基本事件为 : (1,3), (3,1),（ 1a, 2） ， （ 2a, 1）， ( 1a,3） ，（ 3, 1a） , （ 2a,3） ,（ 3,
13、2a） 10 分 8()12PA3 12 分 18. （ ） 证明： 在三角形 PBA 中， ,PB AB BF PA， 所以 F 是 PA 的中点 ，连接 EF ， 2 分 在 PD中，点 ,EF分别是边 ,ADPA 的中点， 所以 /PD 4 分 又PBD 平 面 ，PB 平 面所以 EF /平面 PBD . 6 分 （）因为平面 PBA 平面 ABCD ，平面 PBA 平面 ABCD AB , 90DAB，DA AB ,DA AB CD 平 面所以 DA平面 PBA 8 分 又BF PBA 平 面,所以 DA BF ,又 BF PA ， PA DA A ,PA DA PD A 平 面,
14、所以PD面 10 分 又PE PDA 平 面所以 BF PE 所以无论 点 E 在线段 AD 的何处，总有 PE BF . 12 分 19. 解： （）由题意， na 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 111 21 nnn qaa . 12nna ， 21nnS ， 3 分 设 等差数列 nb 的公差为 d ， 111ba， 4 1 3 7bd ， 2d 1 ( 1) 2 2 1nb n n . 6 分 （ II） 212 2 2 2lo g = lo g 2 2 1nnan ， 2 2 21 1 1 1 1()l o g ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nnnc b
15、a n n n n , 7 分 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 . . . ) ( 1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nT n n n n . 9 分 *Nn , 1 1 112 2 1 2nT n 10 分 当 2n 时， 1 11 02 1 2 1 2 1 2 1nn nnTT n n n n 数列 nT 是一个递增数列 ， 1 13nTT. 综上所述， 1132nT. 12 分 20. 解 ： （） 函数 )(xf 的定义域为 R， aexf x )( ， 1 分 0)0( 0 aef ， 1a . 2 分 ( ) 1xf x e 在 )0,( 上 )(,
16、0)( xfxf 单调递减，在 ),0( 上 )(,0)( xfxf 单调递增， 0x 时 )(xf 取极小值 . 1a . 3 分 易知 )(xf 在 )0,2 上单调递减，在 1,0( 上 )(xf 单调递增； 且 ;31)2(2 ef ;)1( ef )1()2( ff . 4 分 当 2x 时， )(xf 在 1,2 的最大值为 .312e 5 分 （） aexf x )( ，由于 0xe . 当 0a 时， )(,0)( xfxf 是增函数， 7 分 且当 1x 时， 0)1()( xaexf x . 8 分 当 0x 时，取 ax 1 ，则 0)11(1)1( aaaaf ， 所以
17、函数 )(xf 存在零点，不满足题意 . 9 分 当 0a 时， )ln (,0)( axaexf x . 在 )ln(,( a 上 )(,0)( xfxf 单调递减， 在 ),(ln( a 上 )(,0)( xfxf 单调递增， 所以 )ln( ax 时 )(xf 取最小值 . 11 分 函数 )(xf 不存在零点，等价于 0)l n (2)l n ()( l n ( )l n ( aaaaaaeaf a， 解得 02 ae . 综上所述：所求的实数 a 的取值范围是 02 ae . 13 分 21. 解： （） 由题意 1222cac ， 1 分 解得 3,1,2 bca , 3 分 所求
18、椭圆 C 的标准方程为 134 22 yx ； 4 分 （）解法一： （ i）设 :1PQl x my， 221431xyx my ，消去 x，化简得 096)43( 22 myym . 09)43(436 22 mm 设 ),(),( 2211 yxQyxP PQ 的中点 00( , )Gx y ，则 43 6221 m myy，43 9221 myy， 6 分 43 32 2210 m myyy，43 41 200 mmyx， 即2243( , )3 4 3 4mG mm， 7 分 434 4343 3 22 mmm mk OG ， 设 )1(: xmylFT ，得 T 点坐标（ m3,4
19、 ）， 43mkOT ，所以 OTOG kk ， 线段 PQ 的中点在直线 OT 上 . 9 分 (ii) 当 0m 时， PQ 的中点为 F ， )0,4(T . 1| |,32|,3| 2 PQTFabPQTF . 10 分 当 0m 时， 13)3()14(| 222 mmTF ， |11| 122 yykPQPQ 212212 4)(1 yyyym 43 94)43 6(1 2222 mm mm 43 112 22 mm . 11 分 )1113(4112 431 13| | 2222 2 mmmm mPQTF 令 12 mt .则 )1)(13(41| | tttPQTF.令 )1)
20、(13(41)( ttttg 则函数 gt 在 1, 上为增函数， 13 分 所以 1)1()( gtg . 所以| |PQTF的取值范围是 1, ) . 14 分 解法二： （ i）设 T 点的坐标为 ),4( m ， 当 0m 时， PQ 的中点为 F ，符合题意 . 5 分 当 0m 时， mkmk PQFT 3,3 . 3: ( 1)PQl y xm )1(313422xmyyx，消去 x 化简得 22( 1 2 ) 6 2 7 0m y m y . 027)12(436 22 mm 设 ),(),( 2211 yxQyxP PQ 的中点 00( , )Gx y ，则 126221 m
21、 myy . 1227221 myy ， 6 分 1232 2210 m myyy ， 121231 200 mmyx ， 即 )123,1212(22 m mmG， 7 分 412 12123 22 mmm mk OG ，又 4mkOT . 所以 OTOG kk ， 线段 PQ 的中点在直线 OT 上 . 9 分 (ii) 当 0m 时 ， 6 32PQ , 4 1 3TF , 1TFPQ 10 分 当 0m 时， 9)14(| 222 mmTF ， |11| 12 yykPQPQ . 212212 4)(91 yyyym 12274)126(91 2222 mm mm 1294 22 mm
22、 . 11 分 )939(414 129 9| | 2222 2 mmmmmPQTF 令 92 mt .则 )3)(3(41| | tttPQTF.令 )3)(3(41)( ttttg 则函数 gt 在 3, 上为增函数， 13 分 所以 1)3()( gtg . 所以当| |PQTF的取值范围是 1, ) . 14 分 解法三： （ i） 当直线 PQl 斜率不存在时， PQ 的中点为 F ， )0,4(T ，符合题意 . 5 分 当直线 PQl 斜率存在时，若斜率为 0，则 2l 垂直于 x 轴，与 x=4 不能相交，故斜率不为 0 设 )1(: xkylPQ ，（ 0k ） )1(134
23、 22xkyyx ，消去 y，化简得 . 2 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k x k 4 2 2 26 4 4 ( 3 4 ) ( 4 1 2 ) 1 4 4 ( 1 ) 0k k k k 设 ),(),( 2211 yxQyxP PQ 的中点 00( , )Gx y ，则 2221 43 8 kkxx ，2221 43 124 kkxx ， 6 分 22210 43 42 kkxxx ，200 43 3)1( kkxky ， 即 )43 3,43 4(222 kkkkG ， 7 分 kk kkkk OG 434 4343 3 2 22 ， 设 )1(1: xkylFT，得 T 点坐标（ k3,4 ）， kkOT 43，所以 OTOG kk ， 线段 PQ 的中点在直线 OT 上 . 9 分 (ii) 当直线 PQl 斜率不存在时， PQ 的中点为 F ， )0,4(T . 1| |,32|,3| 2 PQTFabPQTF . 10 分
