1、函数对称中心的求法解析题目 函数的图象是中心对称图象，其对称中心为_.一、利用定义求对称中心 分析 根据中心对称图形的定义，在函数图象上的任意一点关于对称中心的对称点也在函数的图象上.，即. ，代入函数式有：,化简得：，与是同一函数，则对应系数相等，故，即函数的对称中心为.点评 利用中心对称的定义求解是基本方法，考察基本概念，通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心.二、巧取特殊点求对称中心 分析 在函数的图象上取点、，它们关于对称中心的对称点分别为、也在函数的图象上.，相减则，或.又若对称中心为，则关于的对称点应在函数图象上，而，不是对称中心，故对称中心为.点评 这里巧妙地在函数图象上
2、取两个特殊点，构建关于对称中心坐标的方程，解出对称中心，但要注意由特殊点求出的解是否也满足一般的点，因此还要继续检验，排除增解. 三、巧构奇函数求对称中心 分析 把函数变形为，设函数，为奇函数，其对称中心为，又将函数的图象按向量平移刚好得到，的对称中心是由的对称中心按向量平移得到的，即为的对称中心为点评 这里巧妙地构造奇函数，将原函数看作是由奇函数平移得到的，利用奇函数关于原点对称的性质，这样原函数的对称中心就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的.【2013春考】31（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分。已知真命题：“函数的图像关于点成中心对
3、称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”。（1）将函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标；（2）求函数 图像对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数 是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。解:（1）平移后图像对应的函数解析式为，整理得，由于函数是奇函数，由题设真命题知，函数图像对称中心的坐标是。（2）设的对称中心为，由题设知函数是奇函数。设则，即
4、。由不等式的解集关于原点对称，得。此时。任取，由，得，所以函数图像对称中心的坐标是。（3）此命题是假命题。举反例说明：函数的图像关于直线成轴对称图像，但是对任意实数和，函数，即总不是偶函数。修改后的真命题：“函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”。长宁区20132014学年第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）22、（本题满分16分，其中（1）小题满分4分，（2）小题满分6分，（3）小题满分6分）已知函数为奇函数.（1）求常数的值；（2）判断函数的单调性，并说明理由；（3）函数的图象由函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出的一个对称中心，若，求的值。22、解： (1)因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由，得，所以。 2分这时满足，函数为奇函数，因此 4分（2）函数为单调递减函数.法一:用单调性定义证明；法二：利用已有函数的单调性加以说明。在上单调递增，因此单调递增，又在及上单调递减，因此函数在及上单调递减；法三：函数定义域为，说明函数在上单调递减，因为函数为奇函数，因此函数在上也是单调递减，因此函数在及上单调递减。10分（3）因为函数为奇函数，因此其图像关于坐标原点（0,0）对称，根据条件得到函数的一个对称中心为， 13分因此有，因为，因此 16分
