1、历年全国高中数学联赛试题及答案解析全集（1988-2015）目录2015全国高中数学联赛试题及答案解析2014全国高中数学联赛试题及答案解析2013全国高中数学联赛试题及答案解析2012全国高中数学联赛试题及答案解析2011全国高中数学联赛试题及答案解析2010全国高中数学联赛试题及答案解析2009全国高中数学联赛试题及答案解析2008全国高中数学联赛试题及答案解析2007全国高中数学联赛试题及答案解析2006全国高中数学联赛试题及答案解析2005全国高中数学联赛试题及答案解析2004全国高中数学联赛试题及答案解析2003全国高中数学联赛试题及答案解析2002全国高中数学联赛试题及答案解析20
2、01全国高中数学联赛试题及答案解析2000全国高中数学联赛试题及答案解析1099全国高中数学联赛试题及答案解析1098全国高中数学联赛试题及答案解析1097全国高中数学联赛试题及答案解析1096全国高中数学联赛试题及答案解析1095全国高中数学联赛试题及答案解析1094全国高中数学联赛试题及答案解析1093全国高中数学联赛试题及答案解析1092全国高中数学联赛试题及答案解析1091全国高中数学联赛试题及答案解析1090全国高中数学联赛试题及答案解析1089全国高中数学联赛试题及答案解析1088全国高中数学联赛试题及答案解析2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午
3、9:0011:30）题号一二总分9101112得分评卷人复核人注意：1本试卷共12小题，满分150分；2请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3书写不要超过装订线；4不得使用计算器一、填空题（每题8分，共64分）1. 函数的最小值是 2. 设数列的通项公式是 3. 设平面向量满足，则的取值范围是 4. 设是定义域为的具有周期的奇函数，并且，则在中至少有 个零点5. 设为实数，且关于的方程有实根，则的取值范围是 .6. 给定定点，动点满足线段的垂直平分线与抛物线相切，则的轨迹方程是 7. 设为复数，其中是实数，是虚数单位，其满足的虚部和的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集所构成区域的面积是 8. 设
4、是正整数把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是 二、解答题（第9题20分，第1012题22分，共86分）9. 设正实数满足求证：10. 在如图所示的多面体中，已知都与平面垂直设，求四面体与公共部分的体积（用表示）11. 设平面四边形的四边长分别为4个连续的正整数。证明：四边形的面积的最大值不是整数。12. 已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同试题解答一、填空题（每题8分，共64分）1. 当时，, 因此单调减；当时， ，此时亦单调减；当时，. 令得 因此在处取得最小值6
5、-2ln22. 设方程有实根双曲线与圆有公共交点. 注意到圆的圆心位于直线之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为或.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，圆心坐标为或.因此，a的取值范围为3. 由和，可得故4. 以上等号均可取到故的取值范围是5. 由题设可知。令x=0得。 另一方面， 类似地， 因此，在中的零点一定包含这11个零点6. 设的垂直平分线与抛物线相切于，切向为. 则的方程为设，由与垂直且中点在上，可得 由解得，代入得的轨迹方程为，7. 等价于. 又由于，故满足条件的点集构成了圆的一部分，计算得其面积为 8. 从3n名男选手
6、中选取2n人作为男双选手有种选法，把他们配成n对男双选手有种配对方式。女选手类似。把n个男选手和n个女选手配成n对混双有n!种配对方式。因此，配对方式总数是二、 解答题（第9题20分，第1012题每题22分，共86分）9. 证明：对任意，由均值不等式有 -（5分）因此， -（15分）同理，对于任意，因此，-（20分）10. 设，则四面体是与的公共部分-（5分）易计算得：到直线的距离，-（10分）到平面的距离， -（15分）到直线的距离，-（20分）因此，-（22分）11. 不妨设是凸四边形，其面积为S记。由，可得，-（8分）两遍平方和得等号成立当且仅当，即四点共圆-（16分） 现根据假设为四个
7、连续整数 由此 . 显然 因此，S不是整数。-（22分）12. 证明：设是所有试题的集合，是第位学生解出的试题的集合，题目即证存在使得-（5分）不妨设共有个三元子集，每个恰包含4个三元子集因此，存在使得包含相同的三元子集，-（15分）从而，-（22分）2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一、填空题（每题8分，共64分） 1. 函数的值域是_.2. 函数在中的零点个数是_3. 设定点，动点在轴上，动点在直线上，则的周长的最小值是_ 4. 设是平面上两点，是关于的对称点，是关于的对称点,若，则_5. 已知四面体的侧面展开图如下图所示，则其体积是_6. 设复数满足，则的取值范围是_7. 设动点，
8、其中参数，则线段扫过的平面区域的面积是_8. 从正12边形的顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻的概率是_二、解答题（第910题每题21分，第1112题22分，共86分） 9. 已知正实数满足求证：10. 设数列满足求证：（1） 当时，严格单调递减（2） 当时，这里11. 已知平面凸四边形的面积为1求证：12. 求证：（1）方程恰有一个实根，并且是无理数； （2）不是任何整数系数二次方程的根2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合同时满足,就称有序集对为“好集对”。这里的有序集对意指当，是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个。.设函
9、数,为( )3.设是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是( ) 4.在直角中, ,为斜边上的高,D为垂足. .设数列的通项为则( )5.在正整数构成的数列1.3.5.7删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列,易见那么6.设则7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有_种.8.设,且为使得取实数值的最小正整数,则对应此的为 9.若正整数恰好有4个正约数,则称为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异
10、数有_个.10.平行六面体中,顶点出发的三条棱的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为那么这个平行六面体的四条对角线的长度(按顺序)分别为_11.函数的迭代的函数定义为其中=2,3,4设,则方程组的解为_12.设平行四边形中，则平行四边形绕直线旋转所得的旋转体的体积为_三解答题13.已知椭圆和点直线两点(可以重合). 1)若为钝角或平角(为原点), 试确定的斜率的取值范围. 2)设关于长轴的对称点为,试判断三点是否共线,并说明理由. 3)问题2)中,若三点能否共线?请说明理由.14. 数列由下式确定: ,试求(注表示不大于的最大整数,即的整数部分.)15. 设给定的锐角的三边长满足其中为给定的正
11、实数,试求的最大值,并求出当取此最大值时, 的取值.2008年安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题1.若函数的图象绕原点顺时针旋转后，与函数的图象重合，则（ ）（A）（B）（C）（D）2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ）（A）椭圆（B）双曲线的一部分（C）抛物线的一部分 （D）矩形3.下列4个数中与最接近的是（ ）（A）-2008 （B）-1（C）1（D）20084.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。（A）3（B）4（C）5（D）65.写成十进制循环小数的形式，其循环节的长度为( )(A)30 (B)40(C)50（D）606.设多项式，则中共有（ ）个是偶数。（
12、A）127（B）1003（C）1005（D）1881二、填空题7.化简多项式 8.函数的值域为 9.若数列满足，且具有最小正周期2008，则 10.设非负数的和等于1，则的最大值为 11.设点A，B、C在椭圆上，当直线BC的方程为 时，的面积最大。12.平面点集，易知可被1 个三角形覆盖（即各点在某个三角形的边上），可被2个三角形覆盖，则覆盖需要 个三角形。三、解答题13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放2个小球，记为盒中小于颜色相同的盒子的个数，求的分布。14.设，其中表示不超过x的最大整数。证明：无论取何正整数时，不在数列的素数只有
13、有限多个。15.设圆与圆相交于A，B两点，圆分别与圆，圆外切于C，D，直线EF分别与圆，圆相切于E，F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A，B，G三点共线。2009年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题二解答题（共86分）9.（21分）已知平行四边形ABCD满足BAD,向四边形外部做DCE和BCF使得EDC=CBF, DCE=BFC,连接EF,向CEF外部作EFG使得EFG=CFB, FEG=CED.证明：10.（21分）设正项数列满足=1，。求数列的通项公式11，（22分）求方程的所有解，其中表示不超过a的最大整数12（22分）假设平面点集S具有性质：（1）任意三点不公线；（2）任意两点距离各
14、不相等。对于S中两点A,B，若存在使得，则称AB是AB的一条中边。对于S中三点A,B,C,若AB,AC,BC都是S的中边，则称三角形ABC是S的中边三角形。求最小的n使得任意具有性质（1）（2）的n元平面点集S中一定存在中边三角形。 2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数的值域是 .2.函数 的图象与的图象关于直线对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆与双曲线相切，则 .5.设是复数，则的最小值等于 .6.设，是实数，若方程的三个根构成公差为1的等差数列，则，应满足的充分必要条件是 .7.设是的内心，动点的轨迹所覆盖
15、的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .二、解答题（共86分）9.（20分）设数列满足，.求的通项公式.10.（22分）求最小正整数使得可被2010整除.11.（22分）已知的三边长度各不相等，分别是，的平分线与边，的垂直平分线的交点.求证：的面积小于的面积.12.（22分）桌上放有根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多根火柴，此后每人每次至少取走根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2011年全国高中数学联赛安徽省预赛一、填空题（每小题8分，共64分
16、）1以表示集合的元素个数. 若有限集合满足，则的最大可能值为 2设是正实数. 若的最小值为10，则 3已知实系数多项式满足，则的所有可能值集合为 4设展开式. 若，则 第5题第6题5在如图所示的长方体中，设是矩形的中心，线段交平面于点. 若，则. 6平面上一个半径的动圆沿边长的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为 . 7设直角坐标平面上的点与复数一一对应. 若点分别对应复数（），则直线与轴的交点对应复数 （用表示）. 8设n是大于4的偶数. 随机选取正n边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为 . 二、解答题（第910题每题22分，第1112题每题21分，共86分）9 已知数列满足，（），
17、求的通项公式. 10已知正整数都是合数，并且两两互素，求证：. 11设（是实数），当时，. 求的最大可能值. 12设点，在双曲线的左支上，直线交双曲线的右支于点. 求证：直线与的交点在直线上. 2012年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一填空题（每题8分，共64分）1. 设函数，则的最小正周期为 2. 设实数x,y满足，则x-2y的最大值为 3. （用数字作答）4. 设两点C,D在以线段AB为直径的半圆弧上，线段AC和线段BD相交与点E，AB=10,AC=8,BD=,则三角形ABE的面积为 5. 设两个椭圆有公共的焦点，则t= 6. 如图，设正四棱锥P-ABCD的体积为1，E,F,G,H分别是线
18、段AB,CD,PB,PC的中点，则多面体BEG-CFH的体积为 7. 不超过2012且与210的最大公约数是1的正整数共有 个8. 设随机变量XN(1,2),YN(3,4)。若则= 二解答题（第910题每题25分，第1112题每题18分，共86分）9已知三角形ABC的周长是1，且。（1）证明：三角形ABC是直角三角形；（2）求三角形ABC面积的最大值。10.设无穷数列满足=1，。证明：（1）当时，；（2）不存在实数C使得对所有的n都成立11.设，m是正整数。求所有满足的n次实系数多项式12.设。对平面上任意n个向量，以M表示满足i1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 3平面上有三个点集M，N
19、，P： M=(x，y)| |x|+|y|1， N=(x，y)| +2， P=(x，y)| |x+y|1，|x|1，|y|； 命题乙：a、b、c相交于一点则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 MNP=I； N M P中，正确的表达式的个数是 A1 B2 C3 D4 二填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1设xy，且两数列x，a1，a2，a3，y和
20、b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= 2(+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 3在ABC中，已知A=，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= 4甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程的种数为 三(15分)长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积四(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z00，另一个动点Z满足Z1Z=1，求点Z
21、的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置五(15分)已知a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个nN*， (a+b)nanbn22n2n+11988年全国高中数学联赛二试题一已知数列an，其中a1=1，a2=2，an+2=试证：对一切nN*，an0二如图，在ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，)并证明
22、你的结论1988年全国高中数学联赛解答一试题一选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1设有三个函数，第一个是y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 解：第二个函数是y=1(x)第三个函数是x=1(y)，即y=(x)选B2已知原点在椭圆k2x2+y24kx+2ky+k21=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A|k|1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 解：因是椭圆，故k0，以(0，0)代入方程，得k210
23、，选D3平面上有三个点集M，N，P： M=(x，y)| |x|+|y|1， N=(x，y)| +2， P=(x，y)| |x+y|1，|x|1，|y|； 命题乙：a、b、c相交于一点则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 解：a，b，c或平行，或交于一点但当abc时，=当它们交于一点时，证明：作ABC及PQR的高CN、RH设ABC的周长为1则PQ=则=，但AB，APABPQ，AC，从而三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其
24、中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，)并证明你的结论证明：设an=bn0，即kn1=1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不存在，故kn1现设kn0，1，则y=kn(x1)+1，得bn=1kn，an=1， kn+1=kn此时knkn+1=kn21 kn1或kn1或k11时，由于0k2=k10，若k21，则又有k1k2k30，依此类推，知当km1时，有k1k2k3kmkm+10，且01，km+1=kmkm=km1km1k=k0，此时kk0即此时不存在这样的直线族 当k11时，同样
25、有10，得k1k2=k10若k21，又有k1k2k30，依此类推，知当km1时，有k1k2k3kmkm+11，km+1=kmkm=km1km1k1由于k1随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，m=m0，使k11，从而必存在一个m值，m=m1(m1m0)，使k1，而1k=k0，此时kk0即此时不存在这样的直线族综上可知这样的直线族不存在厦门市参加2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知贵校教务处转数学教研组：根据闽科协发【2010】39号文件关于举办2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知，以及省数学会关于2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数
26、学联赛福建赛区竞赛的通知，根据我市情况，有关竞赛工作通知如下： 一、赛制、竞赛时间和命题范围竞赛分预赛和复赛两个阶段。1预赛：（1）时间：2010年9月11日（星期六）9：0011：30，在本市考点进行。（2）试题来源：预赛试题由福建省数学学会组织命题，同时也作为2010年福建省高中数学竞赛的试题，试题类型以全国联赛类型为主，适当补充少量全国联赛加试部分的内容。（3）试卷结构：填空题10题，每题6分，满分60分；解答题5题，每题20分，满分100分。全卷满分160分。考试时间150分钟。2复赛（1）时间与地点：2010年10月17日（星期日）8：0012：10，集中在福州一中旧校区进行考试。其中联赛时间为8
