1、高中数学综合复习结论学案椭圆1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆（ab0）的焦半径
2、公式：,( , ).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是椭圆（abo）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方
3、程是.13.过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.14.若P为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.15.设椭圆（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, 16.,，则有.17.若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0e时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.18.P为椭圆（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.19.椭圆与直线有公共点的
4、充要条件是.20.已知椭圆（ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）21.;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.过椭圆（ab0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.22.已知椭圆（ ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.23.设P点是椭圆（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .24.设A、B是椭圆（ ab0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .25.已知椭圆（ ab0）的右准
5、线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 30.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.31.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e
6、是C的离心率，求的最小值。例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期椭圆中减少运算量的主要方法一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）由椭圆的第一定义得：可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延
7、长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。故的最大值为，最小值为。三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。解：设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为,根据椭圆的第二定义有：，即可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。故的最小值为10。四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”于B”，MM”于M”图3则当且
8、仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。w.w.w.三、焦点三角形的性质1.椭圆（ab0）左右两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点.（1）已知cb，当F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围；（2）若F1 PF2=,求F1 PF2的面积; （3）求F1 PF2的最大值; （4）设F1 PF2的内心为I,PI交F1 F2于N,求的值。2设F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的任意一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值.四、焦半径1.椭圆（ab0）左右两个焦点F1、 F2，P
9、(x,y)是椭圆上的一点.(1)求证； . (2)求的最小值和最大值；(3)求的最小值和最大值； （4）若P F1x轴，求。2.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 ;3设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 4. 椭圆（ab0）的左右两个焦点F1、 F2，P是椭圆上的一点.以O为圆心，a为半径作圆O，以F2P为直径作圆O1，判断圆O与圆O1的位置关系.五、动点的轨迹1.已知，B是圆F：(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平
10、分线交BF于P，求动点P的轨迹方程. 2.设F1、 F2是椭圆的两焦点,Q是椭圆上的任意一点,从F1引F1QF2的外角平分线的垂线,垂足为P,求点P的轨迹方程. 3.已知C1: C2: ,动圆P与C1外切,与C2内切.求动点P的轨迹方程. 4.在B: 内有一点A(-3,0),过A作与B内切的圆C,求其圆心的轨迹方程.六、中点弦问题1.椭圆的弦AB的中点为M,则AB的斜率与OM的斜率之积为;yO.x.2已知椭圆,(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； (2)过点M(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨迹方程；(3)求过点M（）且被M点平分的弦所在的直线方程;3已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为
11、“果圆”，其中，是对应的焦点。（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。七、最值问题1.椭圆的左焦点为F,M为其上的动点, A(m,n)为椭圆内的定点,求的最大值和最小值. 2已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。3如图，直线ykxb与椭圆交于A、B两点，记AOB的面积为S（1）求在k0，0b1的条件下，S的最大值；（2)当AB2，S1时，求直线AB的方程4.设椭圆方程为，（1）过顶点B（0，2）作一弦BP，求弦BP的最大值； （2）求椭圆上动点到定点A（a，0）(0a3)距离的最小值； 5.求椭圆上的点到直线的距离的最小值. 5
