1、1. 不考虑原子在态上的衰减时，二能级系统态的运动方程为式中；，；。假设光场与二能级原子共振（共20分）（1） 推导旋波近似条件下的和所满足的方程（2） 假设初始条件为和，试利用迭代法求解旋波近似条件下和的一级近似解和以及三级近似解和解：（1）将和的表达式代入两能级运动方程，约化得到 （1.1）式中。由共振条件，上式可简化为 （1.2）旋波近似即忽略上式中的快变量，和，即得到旋波近似条件下的和所满足的方程 其中 （1.3）（2）假定级数解形式如下 （1.4）由题可得，。将微扰形式解代入式（1.3），可得（1.5）（1.6）（1.7）由方程（1.5）（1.7）可得；一级近似解为： （1.8）三级
2、近似解为： （1.9）2. 设原子系统哈密顿量为：（其中），能级图如图所示。电磁场，原子偶极矩为实数，Rabi频率为。推导旋波近似条件下的Bloch方程，并阐述各方程物理意义。解：系统的哈密顿量为密度矩阵方程服从刘维方程两能级密度矩阵方程为其中。唯相加入衰减之后，密度矩阵方程为令，上式可写为旋波近似，忽略快速震荡项，则可简化为：（）令下列一组矢量，同时，可得到其中对于介质极化强度的实部和虚部，分别表示单原子的色散，吸收。表示反转粒子数大小。3. 推导Lamb方程，并阐述各方程所表示的物理意义。解：先考虑腔长为L无源腔方程：的解。用分离变效法可得其解。由于谐振腔的存在，只有沿z轴且同时满足驻波条
3、件的光波才能在腔内形成稳定模式。n是第n个纵模模式为，腔内电场应是所有模式场的叠加：sin (knz)是区间(0，L)(即激光腔)内的正交函数集，它满足 对于腔长一定的激光器来说，本征函数集sin(knz)可作为已知量对待，因而求解电场E(z，t)主要是求解场随时间变化部分An(t)。An(t)满足一定的运动方程。将式(1-1)代入单向含极化介质的Maxwell方程可得在方程两边同乘以sin(knz)并对区间(0，L)积分，最后利用正交关系式，并将m改为n，同时定义：(Pn(t)为Pn(z，t)的空间傅立叶分量)可得：(1-1)假设方程解为 (1-2)式中，En(t)和n(t)为时间t的慢变函
4、数。 由于宏观电极化强度P是由电场E诱导产生的，在响应上会有滞后，不会是瞬时的。考虑到这一滞后效应，Pn(t)应写成如下的形式(1-3)式中第一项分量与An(t)同位相，第二项与An(t)差/2相位，Cn(t)仍与Sn(t)也是时间的慢变化函数。因此有(1-4)将唯象参量。用谐振腔第n个模的品质因数Qn来代替，令(1-5)将式(1-2)、(1-3)、(1-4)代入式(1-1)中，忽略 等小量并比较方程两端正弦项和余弦项的系数，可得在上面两方程中，忽略较小项 ，同时，nn ，所以有于是上面两方程变为(1.6)(1-7)式(1-6)和式(1-7)就是激光振荡半经典理论中描述激光场的基本方程，称为激
5、光电磁场方程，也称兰姆方程。其中第一个方程表示极化强度的同相位分量(即Cn(t)在使场的频率(有源腔频率)偏离非激活腔场的频率(无源腔振荡频率)中所起的作用，从而描述了频率牵引和排斥。第二个方程描写阻尼和激活介质对模的振幅的影响：如果极化强度的正交分量为零(即Sn(t)0)，则就像非激活介质损耗腔那样，振幅按指数规律衰减。所以含有极化强度的正交分量Sn(t)代表激活介质所起的增益，它克服腔的损耗，使振荡得以发生。4. 激光半经典理论框架下使用了哪些近似？并分别加以论述答：主要使用了下述近似，1）两能级近似；2）原子间没有相互作用；3）电偶极近似；4）旋波近似；5）缓变振幅近似；6）绝热近似。各
6、个近似论述如下：1）两能级近似。实际原子，分子等拥有许多的能级，在激光器理论中，只有与激光直接相关的上下能级才与光发生只要作用。泵浦作于与衰减作用，只要是提供初始条件，用光与两能级原子作用作为基本模型，即简捷又能反映问题的本质。2）原子间没有相互作用。由于激活原子的密度比较低，忽略原子之间的直接作用，如偶极偶极相互作用，是较合理的近似。原子之间的碰撞作用归于原子的弛豫或衰减。当各个原子同时与同意光场耦合，原子间通过光场发生间接相互作用，一定条件下可发生原子的集体效应，但这并非原子间的直接作用。3）电偶极近似。光与原子作用的电偶极近似，其实质是原子的大小远小于光波的波长，在原子的大小范围内，光场
7、可近似为常数。考虑到原子坐标原子的光场与矢量势，在计算光场与原子作用时，可提到积分号外，例如。在研究光的吸收、自发辐射和受激辐射等问题时，电偶极近似是很好的近似，但处理多光子过程时可能出现问题，需用失势直接计算相互作用。4）旋波近似。在处理与二能级原子作用是，只考虑近共振项，而忽略远离共振的项，这里分别表示光频率与原子的共振频率。旋波相当于只考虑光场与原子的矢量在相平面同向旋转的情况。5）缓变振幅近似。假定光场与极化强度等可以分解为快变与慢变部分，其慢变量在一个光学周期内的变化可以忽略不计。通常用于约化Maxwell方程。6）绝热近似。假定光场的弛豫时间较长，而原子的变量，如偶极矩，的弛豫时间
8、短。这样，光场的慢变部分变化时，原子可以很快地及时地跟随光场的变化；反之，在原子的弛豫时间内，光场的慢变振幅可看成与时间无关的常数。 5. 什么是光脉冲面积定理？并加以简要分析。同时阐述光脉冲面积定理与光脉冲能量有何区别？答：光脉冲面积定理，它可描述入射光场强相对于时间的积分（光脉冲面积）在空间的演化情况。借助该定理，可以方便的讨论脉冲在吸收和放大介质中出现的某些现象，而无需知道布洛赫方程的详细解。光脉冲面积定义对于脉冲持续时间小于能级寿命和退相干时间时，光脉冲面积所遵守的运动方程其中，为圆频率多普勒线型函数。该式即为面积定理。分析如下：1)对于原子初始处于下能级，并在弱信号条件下，光脉冲在介
9、质中传播光强满足规律为，这就是正常吸收的比尔定理，即为介质的吸收系数。2)强脉冲而言，对于共振吸收介质，脉冲面积为的整数倍时，脉冲在介质传输中为稳定脉冲；对于吸收介质，脉冲面积为的奇数倍时，脉冲在介质中传输为稳定脉冲。3)数值计算表明，对于共振吸收介质，强脉冲将分裂为m个分离的稳定的面积为的脉冲。6. 如图所示有一三能级工作物质，其能级a和b分别为激光跃迁所对应的上下能级，能级g为基态。为向能级a和b的激励速率，为衰减速率。写出能级a和b的速率方程，求出稳态时的表达式并进行讨论。解：根据能级图，能级a和b的速率方程为稳态解，即速率方程左边等于0，可得等式 (1-1) (1-2)由(1-1)和(
10、1-2)可得 (1-3)稳态条件下的布局差表达式为使得粒子布局数翻转的条件为即发生粒子数反转至少需要满足的条件是，即上能级寿命a必须大于下能级b寿命。同时，当R(对应于腔内场强)增加时，布局差减小，其意味着饱和效应发生。因为R为Z的函数，那么可得也为Z的函数，呈现空间不均匀的分布，在一定条件下，将发生空间烧孔效应。7. 什么是相干态？它和经典的单色辐射场有何关系？相干态有什么重要性质？答：相干态满足如下的本征值方程，其中表示相干态，为其对应的本征值。通常情况下，为复数。相干态的Fork态表示为：。相干态是量子力学所能允许的最接近经典情况的状态，即准经典态。相干态的性质：1)相干态之间相互不正交
11、，即；2)相干态具有最小的测不准量的状态，即；3)相干态中的光子数服从Poission分布。4)相干态的过完备性。8. 1) 证明如果算符满足对易关系式，则Baker-Hausdorff公式成立：2)证明：证明：1)令，显然有。不难得到利用式子，因而对积分，考虑到对易关系所以右乘，得B与A位置互换，则有2)令，可得其满足Baker-Hausdorff公式成立条件，利用改公式得9. 证明。证明：定义关于的函数，其一阶导数为当与时，有，即有令，可得：第二个等式可由第一式结论得到：即证！10. 计算电场算符，在态上的期望值。解：电场的期望值为11. 证明证明：令，显然，对求导利用Taylor展开，即证！12. 假设量子化的谐振子处于相干态，试推导谐振子坐标和动量所满足的测不准关系。解：谐振子坐标与动量算符同产生湮灭算符的关系为于是有所以，处于相干态的量子谐振子坐标与动量测不准关系为
