1、函数的概念及表示方法知识点1.概念：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也就是说x是自变量，y是因变量。2.确定函数自变量取值范围的方法（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题精讲考点1函数的概念例1下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个考点2函数的表示法例2如
2、图是广州市某一天内的气温变化图， 根据图象，下列说法中错误的是（ ）A这一天中最高气温是24 B这一天中最高气温与最低气温的差为16C这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高D这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低考点3求自变量的取值范围例3（2014上海）函数y=的自变量的取值范围是 例4.（2014四川省内江市）在函数中，自变量x的取值范围是 .例5等腰ABC周长为10cm，底边BC长为ycm，腰AB长为xcm（1）写出y与x的函数关系式；（2）求x的取值范围；（3）求y的取值范围4下列函数中，自变量x的取值范围是x 2的是（ ）Ay= By= Cy= Dy=一次函数的性质和图像知
3、识点 1. 理解一次函数和正比例函数的定义： 一般地，如果ykxb（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数ykxb中b为0时，ykx（k为常数，k0），这时，y叫做x的正比例函数。 强调指出：一次函数的解析式为ykxb（b为常数，k0）。 正比例函数的解析式为ykx（k为常数，k0）。 正比例函数与一次函数的关系是：正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。 2. 一次函数的图像与画法： 图像：一次函数ykxb（k0）的图像是一条直线，其图像也称为直线ykxb。 正比例函数ykx的图像是经过原点（0，0）的一条直线。 强调指出：点A（0，b）是直线ykxb
4、与y轴的交点。 当b0，此交点在y轴的正半轴上；当b0时，此交点在y轴的负半轴上； 当b0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数。 画法：画正比例函数ykx的图像，通常选取O（0，0），A（1，k）两点，两点，然后再连成直线。 强调指出：作一次函数的图像的一般步骤是：列表、描点、连线。 3. 一次函数的性质： （1）正比例函数ykx的性质： 当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小。 （2）一次函数的性质： 当k0时，y随x的增大而增大； 当k0时，y随x的增大而减小。 （3）一次函数ykxb与y轴的交点坐标为（0，b）。例题精讲考点1、概念题例1. 下列函数哪些是y
5、关于x的一次函数？哪些是y关于x的正比例函数？ 分析：判断一个函数关系式是否是一次函数或正比例函数，应紧扣定义。 无论是正比例函数还是一次函数的自变量和因变量的指数只能为1。 解： 例2. 例函数，求m的值。 分析：要使函数是一次函数，根据一次函数的定义，x的指数m2241，且系数m50。 要使函数是正比例函数，除了满足上述条件外，还需加上m10这个条件。 解： 考点2、过定点问题例3.（1）若一次函数的图象过原点，则的值为（2）如果函数的图象经过点，则它经过轴上的点的坐标为 （3）若正比例函数的图象经过点（1，2），则这个图象必经过点（ ）A(1，2)B(1，2) C(2，1)D(1，2)（
6、4）直线y=x+2与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 直线y=x1与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 直线y=4x2与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 例4. 求：（1）m、n分别为何值时，y随x的增大而减小；（2）m、n分别为何值时，图像与y轴的交点在x轴下方；（3）m、n分别为何值时，函数图像经过原点；（4）m1，n2时，求这个一次函数的图像与两个坐标轴的交点。解：考点3、一次函数的图象例5（1）已知直线y=kx+b，若k+b=5，kb=6，那么该直线不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D 第四象限（2）直线经过一、二、三象限，则，经过二、三、四象限，则有0，0，经过
7、一、二、四象限，则有0，0（3）若直线经过第二、三、四象限，则的取值范围是（） （4）一次函数的图象经过一、三、四象限，则的取值范围是（5）如果点P(a,b)关于x轴的对称点p,在第三象限,那么直线y=ax+b的图像不经过 ( )第一象 第二象限 第三象限 第四象限 （6）已知一次函数y=(m-1)x+n+1的图像不经过第三象限，求m,n的取值范围。解： 例6（1）xyOxyOxyOxyOBA.下列图象中不可能是一次函数的图象的是（）yxyxyxyxBA（2）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（）(3） 已知一次函数，其在直角坐标系中的图象大体是（）(4)在同一坐标系内，如图所
8、示，直线L1y=(k-2)x+k和L2y=kx的位置不可能为 ( )考点4、一次函数的性质例7.（1）已知一次函数y=（1m）x+m2，当m 时，y随x的增大而增大（2）已知点A(-4, a),B(-2,b)都在一次函数y=x+k(k为常数)的图像上,则a与b的大小关系是a_b(填”)（3）已知一次函数y(1-2m)xm-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.解：例8. .如图，是函数的一部分图像，根据图像回答。（1）自变量x的取值范围是什么？ （2）当x取什么值时，y有最小值？最小值是多少？ （3）在（1）中x的变化范围内，y随x的增大而怎样变化？例
9、9.已知一次函数y=(3-k)x-2k+18,(1) k为何值时,它的图像经过原点; (2) k为何值时,它的图像经过点(0,-2);(3) k为何值时,它的图像与y轴的交点在x轴的上方;(4) k为何值时,它的图像平行于直线y=-x;(5) k为何值时,y随x的增大而减小.考点5、图像平移例10.（1）直线和的位置关系是 ，直线可以分别看作是直线向 平移 个单位得到的; 向 平移 个单位得到的。 (2)将直线y-2x3向下平移5个单位，得到直线 。(3)函数ykx-4的图象平行于直线y-2x，求函数若直线的解析式为 ；(4)直线y=2x-3可以由直线y=2x经过 单位而得到；直线y=-3x+
10、2可以由直线y=-3x经过 而得到；直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 而得到。【方法总结】求一次函数解析式的专项练习待定系数法是求解一次函数表达式的基本方法，但在一些问题中，往往给出多样的条件让你求解，体现了函数表达式与其性质、图象以及其它相关知识的联系下面举例说明之，供参考考点1、已知两点例3（1）已知一次函数图象经过A（2，3），B（1，3）两点求这个一次函数解析式试判断点P（1，1）是否在这个一次函数的图象上？解：（2）已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_。 解： 考点2、已知一点例4（1）已知一次函数 的图像过点（2，1
11、），求这个函数的解析式。 解：（2）已知直线 与直线 平行，且经过（1,2）函数解析式为_ 。（3）直线 在y轴上的截距为2，且经过点（1，-2），其解析式为 考点3、已知图像例5.一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为_。已知函数图像如图，求其解析式。考点4、已知变量取值例6.（1）一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2x6，相应的函数值的范围是-11y9，求此函数的解析式。解：（2）如果一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2x6，相应函数值范围是-11y9，函数解析式为_解：考点5、已知两直线交点例7. （1） 一次函数y=kx+5与直线y=2x-1交于点P(2，m)，
12、求k、m的值（2）函数y=kx+b的图象与另一个一次函数y=-2x-1的图象相交于y轴上的点A，且x轴下方的一点B(3，n)在一次函数y=kx+b的图象上，n满足关系n2=9.求这个函数的解析式.考点6、交点及直线围成的面积问题例8. （1）已知直线y=2x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，且AOB的面积是9，求b的值.（2）已知直线y=kx-6与x轴、y轴分别交于点A、B，且AOB的面积是9，求k的值.（3）一次函数y=kx+b的图象过点A(3,0)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9，求该一次函数的解析式. （4）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= x的
13、图象相交于点(2,a),求(1)a的值(2)k,b的值(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.例9.（1）已知直线y=2x-6和直线y=-2x+2，求两条直线与x轴围成的三角形的面积；求两条直线与y轴围成的三角形的面积。 （2）已知直线l1： y=2x-6和直线l2： y=kx+b交于点（2，m）,两直线与x轴围成的三角形的面积2,求直线l2的解析式.（3）已知直线l1: y=2x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，直线 l2: y=kx+b过（2，-2）将ABO的面积分为2：7，求:直线l2的解析式.l1例10. （1）如图，已知直线经过点和点，另一条直线经过点，且与轴相交于点若的面积为
14、3，求的值（2）一个一次函数的图象经过点A（-3,0），且和y轴相交于点B，当函数图象与坐标轴围成的三角形面积为6时，求点的坐标.（3）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y 轴分别交于A、B 两点. 求点A、B的坐标； 点C在y轴上，当时，求点C的坐标. （4）已知直线经过点M（2，1），且与x轴交于点A，与y轴交于点B求k的值； 求A、B两点的坐标；过点M作直线MP与y轴交于点P，且MPB的面积为2，求点P的坐标（5）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于点A、 B，点在轴上，若,求直线PB的函数解析式7、知识拓展例1.（2004年济南市）如图4，直线y=x
15、3的图象与x轴、y轴交于A、B两点直线l经过原点，与线段AB交于点C，把AOB的面积分为2：3两部分求直线l的解析式例2. 如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，AOP的面积为6；（1） 求COP的面积；（2） 求点A的坐标及p的值；（3） 若BOP与DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。例3. 已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D（1）求直线的解析式；（2）若直线与交于点P，求的值。例4. 如图，已知点A（2
16、，4），B（-2，2），C（4，0），求ABC的面积。一次函数与方程、不等式综合知识点1、一次函数与一元一次方程的关系直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。2、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。3、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。例题精讲考点
17、1、一次函数与一元一次方程综合【例1】 已知直线和交于轴上同一点，的值为（ ）ABCD【例2】 已知一次函数与的图象相交于点，则_【例3】 已知一次函数的图象经过点，则不求的值，可直接得到方程的解是_考点2、一次函数与一元一次不等式综合【例4】 已知一次函数（1）画出它的图象；（2）求出当时，的值；（3）求出当时，的值；（4）观察图象，求出当为何值时，【例5】 当自变量满足什么条件时，函数的图象在：（1）轴上方；（2）轴左侧；（3）第一象限【例6】 已知，当时，x的取值范围是（ ）ABCD【例7】 已知一次函数（1）当取何值时，函数的值在与之间变化?（2）当从到3变化时，函数的最小值和最大值各
18、是多少?【例8】 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_【例9】 若解方程得，则当x_时直线上的点在直线上相应点的上方【例10】 如图，直线经过，两点，则不等式的解集为_【例11】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当时，的值；（2）x为何值时，？（3）当时，的值范围；（4）当时，的值范围考点三、一次函数与二元一次方程（组）综合【例12】 已知直线与的交点为（-5，-8），则方程组的解是_【例13】 已知方程组（为常数，）的解为，则直线和直线的交点坐标为_【例14】 已知，是方程组的解，那么一次函数_和_的交点
19、是_【例15】 一次函数与的图象如图，则下列结论；当时，中，正确的个数是（ ）A0B1C2D3【例16】 已知一次函数与一次函数的图象的交点坐标为A（2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与轴围成的三角形的面积【例17】 如图，直线与轴交于点，则时，的取值范围是（ ）A.BC.D【例18】 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）ABCD【例19】 已知一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）ABC D【例20】 如图所示的是函数与的图象，求方程组 的解关于x轴对称的点的坐标是_【例21】 一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）ABCD【例22】 如图，
20、一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解集是_【例23】 b取什么整数值时，直线与直线的交点在第二象限？【方法总结】一次函数的实际应用考点1、从图像获取信息例1.（鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系请根据图象解答下列问题：（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？（2）求线段CD对应的函数解析式（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从乙地出发后多长时间再与货车相遇。y（千米）x(小时)106O
21、600出租车客车例2.（黄石）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图像如右图所示：（1）根据图像，直接写出、关于的函数关系式；（2）若两车之间的距离为千米，请写出关于的函数关系式；（3）甲、乙两地间有、两个加油站，相距200千米，若客车进入加油站时，出租车恰好进入加油站，求加油站离甲地的距离.例3.（长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x
22、（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC-CD-DE，如图所示，从甲队开始工作时计时（1）分别求线段BC、DE所在直线对应的函数关系式（2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长 例4.（淮安）甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟y1、y2与x之间的函数图象如图1，s与x之间的函数图象（部分）如图2（
23、1）求小亮从乙地到甲地过程中y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式；（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式；（3）在图2中，补全整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数图象，并确定a的值例5.（南宁）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）写出A、B两地直接的距离；（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写
24、出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围例6.（绥化）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证
25、及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？例7.如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：汽车共行驶了120千米；汽车在行驶途中停留了0.5小时；汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时；汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少.其中正确的说法共有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个考点2、方案选择例1A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台
26、，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元。 （1）设B市运往C村机器x台，求总运费W（元）关于x的函数关系式。 （2）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案。 （3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？例2.某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元 . 小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为x张.（1）写出零星租碟方式应付金额y1(元)与租碟数量x（张）之间的函数关系式: （2）写出会员卡租碟方式应付金额y2(元 )与租
27、碟数量x(张)之间的函数关系式: （3）小彬选取哪种租碟方式更合算？例3.某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一：（A）计时制：0.05元/分； (B) 包月制：50元/月（限一部个人住宅电话上网）此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分（1）请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付的费用y（元）与上网时间x（小时）之间的函数关系式: 计时制： 包月制： （2） 若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？例4某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由
28、基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。（1）分别写出该公司两种购买方案的付款（元）与所购买的水果质量（千克）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。（2）依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。例5.某通讯移动通讯公司手机费用有A、B两种计费标准，如下表：月租费（元/部）通讯费（元/分钟）备注A种收费标准500.4通话时间不足1分钟按1分钟计算B种收费标准00.6设某用户一个月内手机通话时间为x分钟，请根据上表解答下列问题：（1）按A类收费标准，该用户应缴纳y1= 元；按B类收费标准，该用户应缴纳y1= 元；（用含x的代数式表示）（2）如果该用户每月通话时间为300分钟，应选择哪种收费方式？（3）如果该用户每月手机费用不超过90元，应选择哪种收费方式？例6.东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择 甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本 乙：按购买金额打九折付款 某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x10）本如何选择方案购买呢？【方法总结】
