1、 2014 学年第二学期期中考试 高二 数学试卷 考生须知： 1本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 S=x N|0x6， T=4,5,6， 则 S T = （ ） A 1,2,3,4,5,6 B 1,2,3 C 4,5 D 4,5,6 2 下列函数中，既是偶函数又在 (0, ) 单调递增的函数是 （ ） A 3yx B 1xy C 2 1yx D 12 xy 3 、 函数 y=cosx 的图象向左平移3个单位，横坐标缩小到原来的
2、 12 ，纵坐标扩大到原来的3 倍，所得的函数图象解析式为 （ ） A. y=3cos( 12 x+3) B. y=13cos(12 x+6) C. y=3cos(2x+ 23) D. y=3cos(2x+3) 4 在 ABC 中 ， “ BA sinsin ” 是 “ BA ” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5. 已知 2cos2 3 ，则 44sin cos 的值为 （ ） A 23 B 23 C 1811D 29 6 .函数 2lnxyxx的图象可能是 （ ） A B C D 7 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(2+x)
3、=f( x)，当 0x1 时， f(x)=x2，则 f(2015)= （ ） A. 1 B.1 C.0 D.20152 8 对于函数 ()fx，若 00()f x x ，则称 0x 为函数 ()fx的“不动点”：若00( ( )f f x x，则称 0x 为 ()fx的“稳定点”，如果函数 2( ) 1( )f x ax a R 的稳定点恰是它的不动点 ,那么 a 的取值范围为 ( ) A 1( , 4 B 3( , )4 C 31 , 44 D 1( 1, 4 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，第 9， 10 题每空 2 分，第 11， 12 题每空 3 分，第
4、 13， 14，15 题每空 4 分，共 36分。 9设全集 U R ，集合 2| 1 0 , | 2 0 , A x x B x x则 AB ， AB ， BCU 10设函数 1( ) 2 co s( )26f x x，则函数的最小正周期为 ，值域为 ， 单调递增区间为 11 已知函数 )0(2 )0(12)( 2 xxx xxfx ， 则 )2(f ； 若 1)( af ，则 a 12在 ABC 中，若 120A ， DCBDBCAB 21,13,1 ， 则 AC ； AD 13. 函数5454() 22 xx xxfx ，函数( ) ( ) 5g x f x的零点个数为 _ _个 14
5、定义在 ( , 0) (0, ) 上的函数 ()fx,如果对于任意给定的等比数列 , ( )nna f a ,仍是等比数列 ,则称 ()fx为 “ 等比函数 ”. 现有 定义在 ( , 0) (0, ) 上的 如下函数 : ( ) 3 xfx ； 3()f x x ； 2()fxx ； 2( ) log | |f x x.则其中是 “ 等比函数 ” 的 ()fx的序号为 15 已 知函数 f(x)= sin 1costxt 的最大值和最小值分别是 M， m，则 Mm 为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. （本题满分 14 分） 已知函数
6、)8c o s ()8) s i n (8s i n (21)( xxxxf （ I）求函数 )(xf 的最小正周期；（ ）当 12,2 x，求函数 )8( xf的 值域 17、 （本小题满分 14） 已知函数 221 , 01 , 0x a xfxx b x ，其中 a ， Rb 当 0a 时，且 fx为奇函数，求 fx的表达式； 当 0a 时，且 fx在 1,1 上单调递减，求 ba 的值 18 （本题满分 15 分） 在四棱锥 ABCDP 中， PA 平面 ABCD ， ABC 是正三角形， AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点，又 4ABPA ， 120CDA ，点 N 在线
7、段 PB 上，且 2PN （ I）求证： /MN 平面 PDC ； （ ）求二面角 BPCA 的余弦值 ANMBDCP（第 18 题） 19 （本题满分 15 分） 已知直线 )0(1: kkxyl 与椭圆 ayx 223 相交于 BA、 两个不同的点，记 l 与y 轴的交点为 C（ ）若 1k ，且 210| AB ，求实数 a 的值； （ ）若 CBAC 2 ，求 AOB 面积的最大值，及此时椭圆的方程 20 （本题满分 16 分） 已知函数 2( ) ( 1) | |f x x x x a （ 1）若 1a ，解方程 ( ) 1fx ； （ 2）若函数 ()fx在 R 上单调递增，求实数
8、 a 的取值范围； （ 3）若 1a 且不等式 ( ) 2 3f x x对一切实数 xR 恒成立，求 a 的取值范围 高二年级数学参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D C B B B C 二、填空题：本大题共 7 小题，第 9 题每空 2 分，第 10， 11， 12 题每空 3 分，第 13， 14，15 题每空 4 分，共 36分。 9 ( 2 , 1 ; ( , 2 ) ; ( , 2 2 , ) 10 74 ; 2 , 2 ; 4 , 4 ,3
9、3k k k Z11. 4,1 或 12 12. 3，3713, 2 14. 15.1 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16（本题满分 14 分） 16.【解析】 （ I） )8c o s ()8) s i n (8s i n (21)( xxxxf)8c o s ()8s i n (2)8(s i n21 2 xxx )42s in ()42c o s ( xx xxx 2c o s2)22s i n (2)442s i n (2 5 分 所以， )(xf 的最小正周期 22T. 7 分 （ ）由（ I）可知 )42c o s (2)8(2c
10、 o s2)8( xxxf. 9 分 12,2 x ， 125,4342 x ， 11 分 1,22)42c o s ( x ， 2,1)8( xf . 所以， )8( xf的值域为 2,1 . 14 分 17（本题满分 14 分） 18（本题满分 15 分） 【解析】 （ ）在正三角形 ABC 中， 32BM 在 ACD 中，因为 M 为 AC 中点， ACDM ， 所以 CDAD ， 120CDA ，所以332DM， 所以 1:3: MDBM 4 分 在等腰直角三角形 PAB 中， 24,4 PBABPA ， 所以 1:3: NPBN ， MDBMNPBN : ，所以 PDMN/ . 又
11、MN 平面 PDC ， PD 平面 PDC ，所以 /MN 平面 PDC . 7 分 （）因为 90C A DB A CB A D ， 所以 ADAB ，分别以 APADAB , 为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以 )4,0,0(),0,3 34,0(),0,32,2(),0,0,4( PDCB 由（ ）可知， )0,334,4( DB 为平面 PAC 的法向量 10 分 )4,0,4(),4,32,2( PBPC ， 设平面 PBC 的一个法向量为 ),( zyxn , z y x M A D B C P N 则00PBnPCn ，即 044 04322 zx
12、zyx ， 令 3z ,则平面 PBC 的一个法向量为 )3,3,3(n 13 分 设二面角 BPCA 的大小为 ， 则77|c o s DBn DBn, 所以二面角 BPCA 余弦值为77. 15 分 19（本题满分 15 分） 设 ),(),( 2211 yxByxA （ ）41,2101243 1 2121222 axxxxaxxayx xy ， 2210432|2| 21 aaxxAB 5 分 （ ） 012)3(3 1 2222 akxxkayx kxy， 221221 31,3 2 kaxxkkxx ， 7 分 由 212211 2)1,(2)1,(2 xxyxyxCBAC ，代入
13、上式得： 222221 3 23 2 kkxkkxxx ， 9 分 23323| 333|3|23|212221 kkkkxxxOCS A O B ， 12 分 当且仅当 32k 时取等号，此时32)3( 422,3 2 222222122 kkxxxkkx 又6131 221 akaxx ，因此 53261 aa 所以， AOB 面积的最大值为23，此时椭圆的方程为 53 22 yx 15 分 20（本题满分 16 分） 解：（ 1）当 1a 时，有 1,1 1,12)( 2 xxxxf 2 分 当 1x 时， 112 2 x ，解得： 1x 或 1x 当 1x 时， 1)( xf 恒成立
14、4 分 方程的解集为： 1| xx 或 1x 5 分 （ 2） axaxa axaxaxxf ,)1( ,)1(2)( 2 7 分 若 )(xf 在 R 上单调递增，则有0141aaa ，解得： 31a 10 分 （ 3）设 )32()()( xxfxg ，则 axaxa axaxaxxg 3)1( ,3)3(2)( 2 即不等式 0)( xg 对一切实数 Rx 恒成立 11 分 1a 当 ax 时， )(xg 单调递减，其值域为： ),32( 2 aa 22)1(32 22 aaa ， 0)( xg 恒成立 13 分 当 ax 时， 1a ， 43aa ， 08 )3(3)4 3()( 2m i n aaagxg，得 53 a 1a ， 13 a 15 分 综上： 13 a 16 分
