1、习题精选精讲线面垂直的证明中的找线技巧u 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD证明：连结MO，DB，DBAC， DB平面，而平面 DB 设正方体棱长为，则， 在Rt中， OMDB=O， 平面MBD评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明u 利用面面垂直寻求线面垂直2 如图2，是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求证：BC平面PAC 证明：在平面PAC内作ADPC交PC于D因为平面PAC平面PBC，且两平面交于PC，平面PAC，且ADPC， 由面面垂直的性质，得AD平面
2、PBC 又平面PBC，ADBC PA平面ABC，平面ABC，PABC ADPA=A，BC平面PAC （另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC平面PAC） 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直线面垂直面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理同学
3、们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明3 如图所示，ABCD为正方形，平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于求证：，证明：平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理可证评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化4 如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD评注：本题在运用判定定理证明
4、线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5 如图，是圆的直径，是圆周上一点，平面ABC若AEPC ，为垂足，是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC证明：AB是圆的直径，平面ABC，平面ABC，平面APC平面PBC，平面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBC评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系6. 空间四边形ABCD中，若ABCD，BCAD，求证：ACBD证明：过A作AO平面BCD于O
5、。 同理BCDO O为ABC的垂心 7. 证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 证明：连结AC AC为A1C在平面AC上的射影 8. 如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证： . 证：取PD中点E，则 9如图在ABC中， ADBC， ED=2AE， 过E作FGBC， 且将AFG沿FG折起，使AED=60，求证:AE平面ABC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解： FGBC，ADBCAEFGAEBC设AE=a，则ED=2a由余弦定理得：AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60=3a2ED2=AD2+AE2ADAE
6、AE平面ABC10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ANBC; SC平面ANM分析:要证ANBC, 转证, BC平面SAB。要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = ABC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM11已知如图，P平面ABC，P
7、A=PB=PC，APB=APC=60，BPC=90 求证：平面ABC平面PBC分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明：取BC中点D 连结AD、PD PA=PB；APB=60 PAB为正三角形 同理PAC为正三角形 设PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD为直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC12. 如图，直角BAC在外，求证：在内射影为直角。证：如图所示，、，为射影。确定平面 13 以AB为直径的
8、圆在平面内，于A，C在圆上，连PB、PC过A作AEPB于E，AFPC于F，试判断图中还有几组线面垂直。解：面AEF两个平面垂直例题解析1在三棱锥ABCD中，若ADBC，BDAD，BCD是锐角三角形，那么必有（）A平面ABD平面ADCB平面ABD平面ABCC平面ADC平面BCDD平面ABC平面BCD【解析】由ADBC，BDAD AD平面BCD，面AD平面ADC平面ADC平面BCD【答案】C2直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（）Aa Ba Ca Da【解析】取A1C的中点O，连结AO，AC=AA1，AOA1C，又该三棱柱是直三棱柱平面A1C
9、平面ABC又BCACBCAO，因AO平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离解得：A1O=a【答案】C3三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为（）A5 B5 C3 D2【解析】构造一个长方体，OP为对角线【答案】B4在两个互相垂直的平面的交线上，有两点A、B，AC和BD分别是这两个平面内垂直于AB的线段，AC=6，AB=8，BD=24，则C、D间距离为_【解析】如图，CD=265设两个平面、，直线l，下列三个条件：l，l， 若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为（）A3 B2 C1 D0【解
10、析】，其余都错【答案】C【典型例题精讲】例1 如图939，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面ABC平面BSC图939【证明】SB=SA=SC，ASB=ASC=60AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AOBC，SOBC，AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又BSC=90，BC=a，SO=a，AO2=AC2OC2=a2a2=a2，SA2=AO2+OS2，AOS=90，从而平面ABC平面BSC【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角这也是证两平面垂直的常用方法例2如图940，在三棱锥SABC中，SA平面A
11、BC，平面SAB平面SBC图940（1）求证：ABBC；（2）若设二面角SBCA为45，SA=BC，求二面角ASCB的大小（1）【证明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB，AH平面SBC，又SA平面ABC，SABC，而SA在平面SBC上的射影为SB，BCSB，又SASB=S，BC平面SABBCAB（2）【解】SA平面ABC，平面SAB平面ABC，又平面SAB平面SBC，SBA为二面角SBCA的平面角，SBA=45设SA=AB=BC=a，作AESC于E，连EH，则EHSC，AEH为二面角ASCB的平面角，而AH=a，AC=a，SC=a，AE=asinAEH=，二面角A
12、SCB为60【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法例3如图941，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND平面PCD（1）【解】PA平面ABCD，CDAD，PDCD，故PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在RtPAD中，PA=AD，PDA=45（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN CD AM，四边形ENMA是平行四边形，EAMNAEPD，AECD，AE平面PCD，从而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD【注】 证明面面垂直通常是
13、先证明线面垂直，本题中要证MN平面PCD较困难，转化为证明AE平面PCD就较简单了另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围例4如图942，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点图942（1）求证：平面MNF平面ENF（2）求二面角MEFN的平面角的正切值（1）【证明】M、N、E是中点，即MNEN，又NF平面A1C1，MNNF，从而MN平面ENFMN 平面MNF，平面MNF平面ENF（2）【解】过N作NHEF于H，连结MHMN平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影，由三垂线定理得MHEF，MHN是二面角ME
14、FN的平面角在RtMNH中，求得MN=a，NH=a，tanMHN=，即二面角MEFN的平面角的正切值为例5在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF平面AB1C【证明】如图943，E、F分别是AB1、CB1的中点，图943EFACAB1=CB1，O为AC的中点B1OAC故B1OEF在RtB1BO中，BB1=，BO=1BB1O=30，从而OB1D1=60，又B1D1=2，B1O1=OB1=1（O1为BO与EF的交点）D1B1O1是直角三角形，即B1OD1O1，B1O平面D1EF又B1O平面AB1C，平面D1EF
15、平面AB1C1棱长都是2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为_【解】过A1作A1GC1D1于G，由于该平行六面体是直平行六面体，A1G平面D1C，连结CG，A1CG即为A1C与侧面DCC1D1所成的角A1G= A1 D1 sinA1 D1 G=2sin60=2=而AC=A1C=，sinA1CG=【答案】2E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点，EF、BD相交于O，以EF为棱将正方形折成直二面角，则BOD=_【解析】设正方形的边长为2a则DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4
16、a2+a2=6a2cosDOB=，DOB=1203如图944，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面成的角，侧面ABB1A1垂直于底面，图944（1）证明：B1CC1A（2）求四棱锥BACC1A1的体积（1）【证明】过B1作B1OAB于O，面ABB1A1底面ABC，面B1O面ABC，B1BA是侧棱与底面所成角，B1BA=，又各棱长均为2，O为AB的中点，连CO，则COAB，而OB1CO=O，AB平面B1OC，又B1C平面OB1C，B1CAB，连BC1，BCC1B1为边长为2的菱形，B1CBC1，而ABBC1=B，B1C面ABC1A1C面ABC1B1CAC1（2）【解】在RtB
17、B1O中，BB1=2，BO=1，B1O=，V柱=Sh=4=3，=V柱=1，=V柱=31=24如图945，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PA底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB图945（1）求证：平面PCE平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离（1）【证明】PA平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又四边形ABCD为矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面PAD，PDA为二面角PCDB的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45，取RtPAD斜边PD的中点F，则AFPD，AF 面PAD CDAF，又PDCD=DAF平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则
18、GF CD又AE CD，GF AE四边形AGEF为平行四边形AFEG，EG平面PDC又EG 平面PEC，平面PEC平面PCD（2）【解】由（1）知AF平面PEC，平面PCD平面PEC，过F作FHPC于H，则FH平面PECFH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离在PFH与 PCD中，P为公共角，而FHP=CDP=90，PFHPCD，设AD=2，PF=，PC=，FH=A到平面PEC的距离为5已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，对角线AC=2，BD=2，E、F分别为棱CC1、BB1上的点，且满足EC=BC=2FB图946（1）求证：平面AEF平面A1ACC1；（2）求异面直
19、线EF、A1C1所成角的余弦值（1）【证明】菱形对角线AC=2，BD=2BC=2，EC=2，FB=1，取AE中点M，连结MF，设BD与AC交于点O，MO EC FB平面AEF平面ACC1A1（2）在AA1上取点N，使AN=2，连结NE，则NE ACA1C1故NEF为异面直线A1C1与EF所成的角，连结NF，在直角梯形NABF中易求得NF=，同理求得EF=在ENF中，cosNEF=，即EF与A1C1所成角的余弦值为【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加在有平面垂直时
20、，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用【拓展练习】一、备选题1如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面（1）【证明】C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径BCAC；又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平面PACBC 平面PBC，平面PAC平面PBC（2）【解】平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；
21、平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD2ABCABC是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB，CC上的一点，BDa，ECa（1）求证：平面ADE平面ACCA；（2）求截面ADE的面积（1）【证明】分别取AC、AC的中点M、N，连结MN，则MNAABB，B、M、N、B共面，M为AC中点，BC=BA，BMAC，又BMAA且AAAC=ABM平面AACC设MN交AE于P，CEAC，PNNA又DBa，PNBDPNBD， PNBD是矩形，于是PDBN，BNBM，PDBMBM平面ACCA，PD平面ACCA，而PD平面ADE，平面ADE平面ACCA（2）【解】PD平面ACCA，PDAE，而PDBMa，AEaSADEAEPD
