1、中考数学压轴题分类思想一、耐心填一填一锤定音1.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在圆C内,点B在圆C外,那么圆A的半径r的取值范围是_.解析:分A与C内切、外切两种情况.答案:1r8或18r252.在半径为1的O中,弦AB、AC分别是3和2,则BAC的度数为_.解析:(1)BAC=CAD-BAD=45-30=15.(2)BAC=CAD+BAD=45+30=75.答案:15或753.直角三角形三边之长为5、4、m,则此三角形斜边上的高为_.解析:5和m都有可能为斜边.答案:4.若正方形四个顶点分别在直角三角形三条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3
2、cm和4 cm,则此正方形的边长为_ cm.解析:分以下两种情况讨论.答案:5.一个等腰三角形的周长为14 cm,且一边长是4 cm,则它的腰长是_.解析:一边长为4 cm,可能为腰也可能为底.答案:4 cm或5 cm6.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分,则底边长为_.答案：9或57.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,欲使这两个三角形相似,三角形框架的另两边长可以是_.解析:与2对应的边中,4、5、6均有可能.答案:8.用一张边长分别为10 cm、8 cm的矩形纸片做圆柱的侧面,所得圆柱的底面半径为_(
3、结果可带).解析:10 cm、8 cm均有可能为圆柱的高.答案:二、精心选一选慧眼识金9.如图1-3-2,O的直径为10 cm,弦AB为8 cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有( )图1-3-2A.2个 B.3个 C.4个 D.5个答案：D10.在同一个平面内,四条直线的交点个数不能是( )A.2 B.3 C.4 D.5答案：A11.P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点,过点P作直线截ABC,使截得的三角形与ABC相似,满足这样条件的直线有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析:如图.答案:C12.如图1-3-3,在ABC中,AB=24,AC=18,D是
4、AC上一点,AD=12.在AB上取一点E,使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似,则AE的长为( )图1-3-3A.16 B.14 C.16或14 D.16或9解析:(1).答案:D13.若实数a、b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则的值为( )A.-20 B.2 C.2或-20 D.2或20解析:分a=b,ab两种情况.答案:D14.在直角坐标系中,已知点A(-2,0)、B(0,4)、C(0,3),过点C作直线交x轴于点D,使得以D、O、C为顶点的三角形与AOB相似,这样的直线最多可以作( )A.2条 B.3条 C.4条 D.6条答案：C15.若解方程产生增根,则m的值是( )
5、A.-1或-2 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2解析:原式化为x2-2x-m-2=0.原方程有增根,即x=0或x=-1.答案:D16.在RtABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是( )A.5 B.10 C.5或4 D.10或8解析:BC=8有可能是直角边,也有可能是斜边.答案:D三、用心做一做马到成功17.(2005安徽课改中考,21)下面是数学课堂的一个学习片断.阅读后,请回答下面的问题:学习等腰三角形有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“已知等腰ABC的角A等于30，请你求出其余两角”.同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手讲：“其余两角是30和120
6、”；王华同学说：“其余两角是75和75”.还有一些同学也提出了不同的看法(1)假如你也在课堂中,你的意见如何?为什么?(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?(用一句话表示)分析:此题应树立分类讨论思想,考虑问题要全面.答案:(1)上述两同学回答的均不全面,应该是其余两角的大小是75和75或30和120.理由如下:()当A是顶角时,设底角是.30+=180,=75.其余两角是75和75.()当A是底角时,设顶角是,30+30+=180,=120.其余两角分别是0和120.(2)感受中答:有“分类讨论”“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的即可.18.(2006广东深圳中考,21)如图1-
7、3-4,抛物线y=ax2-8ax+12a(a0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),抛物线上另有一点C在第一象限,满足ACB为直角,且恰使OCAOBC.图1-3-4(1)求线段OC的长.(2)求该抛物线的函数关系式.(3)在x轴上是否存在点P,使BCP为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由ax2-8ax+12a=0(a1),BP=1,OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求ACBC的值(结果用含m的式子表示);(3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围.(1)证明:AP=
8、2PB=PB+BO=PO,AO=2PO.PO=CO,.COA=BOC,CAOBCO.(2)解:设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m,OP是OA、OB的比例中项,x2=(x-1)(x+m),得x=,即OP=.OB=.OP是OA、OB的比例中项,即.OP=OC,.设圆O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P、点Q不重合时,AOC=COB,CAOBCO.;当点C与点P或点Q重合时,可得=m,当点C在圆O上运动时,ACBC=m.(3)解:由(2)得,ACBC,且AC-BC=(m-1)BC(m1),AC+BC=(m+1)BC,圆B和圆C的圆心距d=BC,显然BC(m+1)BC,圆B和圆C的位置关
9、系只可能相交、内切或内含.当圆B与圆C相交时,(m-1)BCBC(m+1)BC,得0m1,1m2.当圆B与圆C内切时,(m-1)BC=BC,得m=2.当圆B与圆C内含时,BC2.20.我市英山县某茶厂种植 “春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.http:/www.1230.org图1-3-6图1-3-7(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销
10、售单价y(元)与上市时间t(天)(t0)的函数关系式;(2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t0)的函数关系式;(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克)解:(1)依题意,可建立的函数关系式为y=(2)由题目已知条件可设z=a(t-110)2+20.图象过点(60,),=a(60-110)2+20.a=.z=(t-110)2+20(t0).(3)设纯收益单价为W元,则W=销售单价-成本单价.故W=化简得W=当W=- (t-10)2+100(0t120)时,有t=10
11、时,W最大,最大值为100;当W=- (t-110)2+60(120t90或BCP90.PCB为钝角三角形.又ECD为锐角三角形,ECD与CPB不相似.从而知在直线CB上方的抛物线上不存在点P使CPB与ECD相似.当P点在直线CB上时,点P与C点或B点重合, 不能构成三角形.在直线CB上不存在满足条件的P点.当P点在直线CB的下方时,若BCP=60,则P点与E1点重合.此时,ECD=BCE1,而,.BCE1与ECD不相似.若CBP=60,则P点与A点重合.根据抛物线的对称性,同理可证BCA与CED不相似.22.(2006广东深圳中考,22)如图1-3-9,在平面直角坐标系xOy中,点M在x轴的
12、正半轴上,M交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,且C为的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为(-2,0),AE=8.图1-3-9(1)求点C的坐标.(2)连结MG、BC,求证:MGBC.(3)如图1-3-10,过点D作M的切线,交x轴于点P.动点F在M的圆周上运动时,的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律.图1-3-10答案：(1)解:方法一:直径ABCD,CO=CD.,C为的中点,.CD=AE.CO=CD=4.C点的坐标为(0,4).方法二:连结CM,交AE于点N,C为的中点,M为圆心,AN=AE=4,CMAE.ANM=COM=90.在ANM和COM中,ANMCOM
13、.CO=AN=4.C点的坐标为(0,4).(2)证明:设半径AM=CM=r,则OM=r-2.由OC2+OM2=MC2得42+(r-2)2=r2.解得r=5.AOC=ANM=90,EAM=MAE,AOGANM.MN=OM=3,即.OG=.BOC=BOC,GOMCOB.GMO=CBO.MGBC.(说明:直接用平行线分线段成比例定理的逆定理不扣分)(3)解:连结DM,则DMPD,DOPM,MODMDP,MODDOP.DM2=MOMP,DO2=OMOP,(说明:直接使用射影定理不扣分)即42=3OP.OP=.当点F与点A重合时,当点F与点B重合时,.当点F不与点A、B重合时,连结OF、PF、MF.DM
14、2=MOMP,FM2=MOMP.AMF=FMA,MFOMPF.综上所述,的比值不变,比值为.23.(2006浙江中考,24)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1经过点A(-2,0)和点B(0,),直线l2的函数表达式为y=-,l1与l2相交于点P.C是一个动圆,圆心C在直线l1上运动,设圆心C的横坐标是a.过点C作CMx轴,垂足是点M.图1-3-11(1)填空:直线l1的函数表达式是_,交点P的坐标是_,EPB的度数是_.(2)当C和直线l2相切时,请证明点P到直线CM的距离等于C的半径R,并写出R=3-2时a的值.(3)当C和直线l2不相离时,已知C的半径R=-2,记四边形NMOB的面积为
15、S(其中点N是直线CM与l2的交点).S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)y= P(1,) 60(2)设C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示,D是切点,连结CD,则CDPD.过点P作CM的垂线PG,垂足为G,则RtCDPRtPGC.(PCD=CPG=30,CP=PC)所以PG=CD=R.当点C在射线PA上,C和直线l2相切时,同理可证.取R=-2时,a=1+R=-1或a=-(R-1)=3-.甲(3)当C和直线l2不相离时,由(2)知分两种情况讨论:如图乙,当0a-1时,S=.乙当a=-=3时(满足a-1),S有最大值,此时S最大值=.当3-a
16、0时,显然C和直线l2相切,即a=3-时,S最大,此时S最大值=|3-|=.综合以上和,当a=3或a=3-时,存在S的最大值,其最大面积为.24.(2006湖南常德中考,26)把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中ABC=DEF=90，C=F=45,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.(1)如图1-3-12(1),当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证APDCDQ.此时APCQ=_.(2)将三角板DEF由图1-3-12(1)所
17、示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为.其中090,问APCQ的值是否改变?说明你的理由.(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.(图1-3-12中(2)(3)供解题用).图1-3-12分析:(1)问比较简单但很重要;(2)类似上问的方法思想.解:(1)8(2)APCQ的值不会改变,理由如下: 如右图,在APD与CDQ中,A=C=45,APD=180-45-(45+)=90-,CDQ=90-,即APD=CDQ.APDCDQ.APCQ=ADCD=AD2=(AC)2=8.(3)如图,情形一:当045时,2CQ4,即2x4,此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ,过D作DGAP于G,DNBC于N, DG=DN=2.由(2)知APCQ=8得AP=.于是y=ABAC-CQDN-APDG=8-x-(2x4).情形二:当4590时,0CQ2时,即0x2,此时两三角板重叠部分为DMQ,由于AP=,PB=-4,易证:PBMDNM,.解得BM=.MQ=4-BM-CQ=4-x-.于是y=MQDN=4-x-(0x2).综上所述,当2x4时,y=8-x-.当0x2时,y=4-x-(或y=).用心爱心专心
