1、 武平一中 2014-2015 学年第二学期半期考试 高二实验班数学（理科）试题 参考公式 : （ 1） : （ 2）：,)()()( )( 22 dbcadcba bcadnK 其中 dcban 为样本容量。 （ 3） ：,1 221niiiniix y n x yb a y b xx n x (4): 6826.0)( XP;9544.0)22( XP9974.0)33( X一 选择题： 共 12 小题 ， 每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1已知复数 z 满足： izi 2 （ i 是虚数单位），则 z 的虚部为（ ） A i2 B
2、 i2 C 2 D 2 2. .若 B(n， p)且 E 6， D 3，则 P( 1)的值为 （ ） A 32 2 B 32 10 C 2 4 D 2 8 3. 椭圆 3cos5sinxy (是参数 ) 的离心率是（ ） A 35 B 45 C 925 D 1625 4. 有一段 “ 三段论 ” 推理是这样的：对于可导函数 ()fx，若 0( ) 0fx ，则 0xx 是函数 ()fx的极值点 .因为 3()f x x 在 0x 处的导数值 (0) 0f ，所 以 0x 是 3()f x x的极值点 . 以上推理中 （ ） Pk2（ K ）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0
3、.010 0.005 0.001 k1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确 5. 若 0, 0ab，当 abba 取最小值时，双曲线 12222 byax 的渐近线的夹角为（ ）A 60 B 120 C 90 D 150 6 设 *21 1 1 1 1( ) ( )1 2 3S n nn n n n n N，当 2n 时， (2)S （ ） 12 1123 111234 1 1 1 12345 7 生管人员安排 A， B， C， D， E 五位同学 住同一间宿舍 ， 每个人只分配一
4、个床位且床位编号分别为 1， 2， 3， 4 和 5 号， 如果 B 不排 1 号和 5 号床位 ，则不同的 安 排法共有（ ）种 . A 36 B 8 C 60 D 72 8. 设 (x 2x)6 的展开式中的 常数 为 M， 所有 二项式系数 和 为 N，则 MN （ ） A 304 B -304 C 136 D 136 9.将 3 个 大小形状完全相 同 但颜色不同 的小球放入 3 个盒子中， 恰有一个盒子是空的概率是 （ ） A 310 B 32 C 35 D 910 10. 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为（ ） A 1 B 1
5、2 C 13 D 14 11.若双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的右焦点 F 与圆 6cos42 （极坐标方程）的圆心重合，点 F 到双曲线的一条渐近线的距离为 1，则双曲线的离心率为 ( ) A 2 B 263 C 255 D 233 12. (1 )nx 的展开式中， kx 的系数可以表示从 n 个不同物体中选出 k 个的方法总数 .下列各式的展开式中 8x 的系数恰能表示从重量分别为 10,4,3,2,1 克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为 8 克的方法总数的选项是（ ） A 2 3 1 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x x x B
6、 (1 ) (1 2 ) (1 3 ) (1 1 0 )x x x x C 2 3 1 0(1 ) (1 2 ) (1 3 ) (1 1 0 )x x x x D 2 2 3 2 1 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x x x x x x 第 卷 二填空题：共四小题，每小题 4分 ，共 16分 13. 设复数 cos sinzi ， 0 ，则 1z 的最大值为 . 14. 若 2 20 (3 1)n x dx，则二项式21()nx x展 开式中的常数项为 . 15. 若不等式 zyxa 221 ,对满足 1222 zyx 的一切实数 x 、 y 、 z 恒成立，则实
7、数 a 的取值范围 16. 观察下表 1 1 3 5 8 7 9 11 27 13 15 17 19 64 据此你可猜想出的第 n 行是 _ 三 .解答题： 共六小题，共 74分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 10 分） 已知在平面直角坐标系 x O y 中 , 直线 l 的参数方程是123 232xtyt （ t 是参数） , 以原点 O 为极点 , O x 为极轴建立极坐标系 , 圆C 的极坐标方程为 2 cos( )3p . （ 1） 求圆心 C 的直角坐标 ; （ 2） 由直线 l 上 的点向圆 C 引切线 , 求切线长的最小值。 18. (本小题满
8、分 12 分 )一个盒子中装有 5 张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是 1、 2、 3、 4、 5，现从盒子中随机抽取卡片 （ 1）从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片 不放回 ，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率； （ 2）若从盒子中 有放回 的抽取 3 次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率； （ 3）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数 X 的分布列 和 期望 . 19. （本小题满分 12 分） 射击测试有两种方案，方案 1：先在甲靶射 击一次，以友
9、 情 提 示 ：17181 iii yx204281 ii x 后都在乙靶射击；方案 2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为 23 ，命中一次得 3 分；命中乙靶的概率为 34 ，命中一次得 2 分，若没有命中则得 0 分，用随机变量 表示该射手一次测试累计得分，如果 的值不低于 3 分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶 3 次，每次射击的结果相互独立。 （ 1）如果 该射手选择方案 1，求其 测试结束后所得分 的分布列和数学期望 E ； （ 2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。 20. (本小题满分 12 分 ) 某校高一年段理科有 8 个班
10、，在一次数学考 试 中 成 绩 情 况 分 析 如 下 ： 班级 1 2 3 4 5 6 7 8 大于 145 分人数 6 6 7 3 5 3 3 7 不大于 145 分人数 39 39 38 42 40 42 42 38 ( )145 分以上成绩 y 对班级序号 x 的回归直线方程。（精确到0.0001） ( )能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 7 班与 8 班的成绩是否优秀（大于 145 分）与班级有关系。 21. (本小题满分 14 分 ) 已知函数 2( ) ln ( )f x x a x x 在点 0x 处取得极值 （）求实数 a 的值； （）若关于 x 的方程 5(
11、) 2f x x b 在区间 0,2 上有两个不等实根，求 b 的取值范围； （）证明：对于任意的正整数 n ，不等式 2 11 n nn en 都成立 22. (本小题满分 14 分 ) 已知数列 na 的前 n 和为 nS , 满足 112 2 2 1n n nnnS a n N . ( )分别求出数列 na 中 1 2 3 4, , ,a a a a ; （ II）根据数列 na 中 1 2 3 4, , ,a a a a 猜想数列 na 通项公式并证明； ( ).若数列 na 满足 sinn n nb a S ， 为数列 nb 的前 n 项和， 求证：对任意 ,2nn N S . 武平
12、一中 2014-2015 学年第二学期半期考试 高二数学（理科）参考答案 1-5 DBBAC 6-10 CDABB 11-12 DA 13.2， 14.15 15. 4a 或 2a 16. 3n 17. （ 1） 圆 C 的极坐标方程为 =2cos（ +3 ），即 2=2cos12 -2sin 32 ， 化为普通方程是 x2+y2-x+ 3 y=0； （ 2） 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-x+ 3 y=0， 圆心为 13( , )22 ， 半径 R 为 1； 直线 l 的参数方程为123 232xtyt （ t 为参数）， 直线 l 上的点 P （ 13( , 2 3)22tt ）向
13、圆 C 引切线长是22PC R = 2 2 21 1 3 3( ) ( 2 3 ) 12 2 2 2tt = 27 2 3 2 3()2 4 2t 直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 232 18. 解： （ 1）因为 1,3,5 是奇数， 2,4 是偶数， 设事件 A 为 “ 两次取 到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数 ” P（ A） 113225CCC 35 或 P（ A） 1 223225CCC 35 . 设 B 表示事件 “ 有放回地抽取 3 次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数 ” ，由已知，每次取到的卡片上数字为 偶数的概率为 25 ， 则 P（
14、B） 23C （ 25 ） 2 （ 1 25 ） 36125 . （ 3）依题意， X 的可能取值为 1,2,3. P（ X 1） 35 ， P（ X 2） 2354 310 ， P（ X 3） 2135 4 3 110 ， 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 35 310 110 E（ X） 1 35 2 310 3 110 32 . 19. 解 :在 甲靶 射击命中记作 A,不中记作A；在 乙靶 射击命中记作 B,不中记作B， 其中 2 2 1 3 3 1( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) 13 3 3 4 4 4P A P A P B P B . 2 分 （ 1） 的所
15、有可能取值为0,2,3,4，则 1 1 1 1( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 4 48P P A B B P A P B P B ， ( 2) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P A B B P A BB P A P B P B P A P B P B (1 3 1 1 1 3 63 4 4 3 4 4 48 ， 2( 3) ( ) 3P P A ， 1 3 3 9( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 4 48P P A BB P A P B P B 的分布列为： 1 6 2 90 2 3 4 348 48 3 48E ， . 9 分
16、 （ 2）射手选择方案 1 通过测试的概率为1P，选择方案 2 通过测试的概率为2P, 1 2 9 41( 3 ) 3 48 48PP ； 2 1 3 3 3 1 3 3 3 27( 3 ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4 32P P BB B P BB B P BB , . 11 分 因为21，所以应选择方案 2 通过测试的概率更大 . 12 分 20. 解 (1) 5.4xy=5 17181 iii yx；204281 ii x2143.04295.48204 55.48171882228181 xxyxyxbiiiii 3 分 5.4)2143.0(5xbya5.
17、9643 （或 5.9644） 回归直线方程为：y bx a= -0.2143x+5.9643 6 分 (2) 8.110804545 )742383(90 22 k因为 1.86.635 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前 提下不能认为 7 班与 8 班的成绩是否优秀（高于145 分）与班级有关系。 12 分 0 2 3 4 P148 648 23 948 21.解：（） 2( ) ln ( )f x x a x x ， 121)( xaxxf 函数 2( ) ln ( )f x x a x x 在点 0x 处取得极值， 0)0( f ，即当 0x 时 0121 xax ， 011 a
18、 ，则得 1a . （） 5() 2f x x b , bxxxx 25)1ln ( 2 , bxxx 23)1ln ( 2 . 令 xxxxh 23)1ln ()( 2 )1( x , 则 1 3 ( 4 5 ) ( 1 )( ) 21 2 2 ( 1 )xxh x xxx . 1x , 令 ( ) 0hx , 解得 11x ；令 ( ) 0hx , 解得 1x ， 可得如下当 2,0x 时， )(),( xhxh 随 x 的变化情况表： x 0 （ 0,1） 1 （ 1， 2） 2 )( xh 52 + 0 - 136 )(xh 0 1ln2 2 ln31 “关于 x 的方程 5() 2f
19、 x x b 在区间 0,2 上有两个不等实根”等价于“在 0,2x 内，函数 xxxxh 23)1ln ()( 2 的图像和直线 by 有两个交点”， 由上表可知， 1ln 3 1, ln 2 )2b . （）由（）知 xxxxf 2)1ln ()( )1( x , 则 1 ( 2 3 )( ) 2 111xxf x xxx . 解 ( ) 0fx 得 10x ,解 ( ) 0fx 得 0x , ()fx在 1,0 递增，在 (0, ) 递减， 当 ,1x 时， ( ) (0) 0f x f. 11 n 且 01n ， 0)1( nf ,即 01)1()11ln ( 2 nnn , 2 1)1ln( nnnn , 1)1ln(2 nnnn , 2 11ln ( ) 1 lnnnn nen , 2 11 n nn en . 22.
