1、五种辅助线助你证全等 姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等例1如图1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB求证：AC=AE+CD分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD证明：在AC上截取AF=AE，连接OFAD、CE分别平分BAC、ACB，A
2、BC=601+2=60，4=6=1+2=60显然，AEOAFO，5=4=60，7=180（4+5）=60在DOC与FOC中，6=7=60，2=3，OC=OCDOCFOC， CF=CDAC=AF+CF=AE+CD截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例2：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是C
3、D=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4。在FDE与ADE中，FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长
4、部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。二、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路例3已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长的取值范围是（ ）分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三
5、角形的三边关系才能进行分析和判断解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x延长AD至E，使DE = AD=xAD是BC边上的中线，BD=CDADC=EDB（对顶角）ADCEDBBE=AC=5在ABE中 AB-BEAEAB+BE即7-52x7+5 1x6例4：已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF提示：倍长AD至G，连接BG，证明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形例5：已知：如图，在中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分提示：方法1：倍长AE至G，连结DG方法2：倍长FE
6、至H，连结CH例6：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线，求证：C=BAE提示：倍长AE至F，连结DF 证明ABEFDE（SAS）进而证明ADFADC（SAS）5、分析：要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。6、分析：欲证AC=BF，只需证AC、BF所在两个
7、三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在三角形BFH中方法一：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明ADC和HDB全等，得AC=BH。通过证明H=BFH，得到BF=BH。ADCHDB(SAS)AC=BH，H=HACEA=EFHAE=AFE又BFH=AFEBH=BFBF=AC方法二：过B点作BH平行AC，与AD的
8、延长线相交于点H，证明ADC和HDB全等即可。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形。而过一点作已知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。思路二、以三角形BFD为基础三角形。转移线段BF，使AC、BF在两个全等三角形中方法三：延长FD至H，使得DH=FD，连接HC。证明CDH和BDF全等即可。三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件例7如图3，在等腰ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD连接D
9、E交BC于F求证：DF=EF分析：要证DF=EF，必须借助三角形全等而现有图形中没有全等三角形由等腰三角形条件，可知B=ACB，作DHAE，可得DHB=ACB则DBH为等腰三角形证明：作DHAE交BC于HDHB=ACB，AB=AC，B=ACBDHB=B，DH=BDCE=BD DH= CE又DHAE，HDF=E DFH=EFC（对顶角） DFHEFC（AAS） DF=EF四、补全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决例8如图4，在ABC中，AC=BC，C=90，BD为ABC的平分线若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长
10、分析：题设中只有一条已知线段AD，且为直角边，而要求的BE为斜边要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形证明：延长AD、BC相交于F由BD为ABC的平分线，BDAF易证ADBFDB FD= AD=a AF=2a F=BAD 又BAD+ABD=90，F+FAC=90ABD=FAC BD为ABC的平分线 ABD=CBEFAC=CBE，而ECB=ACF=90，AC=BCACFBCE（ASA） BE=AF=2a五、利用角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角
11、形是常用的证明方法例5如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分ABC，A+C=180证明：AD=CD分析：由角的平分线条件，在BC上截取BE=BA，可构造ABDEBD，从而AD=DE则只要证明DE=CD证明：在BC上截取BE=BA，连接DE由BD平分ABC，易证ABDEBDAD=DE A=BED又A+C=180，BED+DEC=180DEC=C，DE=CDAD=CD2、已知，如图2，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD。求证：BAP+BCP=180。证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图2-2全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到
12、等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答
