1、高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 广东省广州市 2014-2015 学年高二下学学期期末 五校联考数学（理科）试题 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为 150 分。考试时间为 120 分钟。 注意事项： 1、答卷前 ,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和学号填写在第II 卷和答题卡上，并在 答题卡上 用 2B 铅笔将相应的信息点涂黑。不按要求填涂的，答卷无效。 2、 单项选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
2、。 3、 非单项选择题必须用黑色字迹钢笔或 签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上 ;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案 ;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、 考生必须保持答题卡的整洁， 考试结束后，将第 II 卷及答题卡一并交回。 第一部分 选择题 （共 40 分） 一、选择题：（本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。） 1. 集合 0,2,Aa , 21,Ba ,若 0 ,1, 2 , 4 ,16AB ,则 a 的值为 ( ) A.0 B.1 C.4 D.2 2、复数 1zi （
3、 i 为虚数单位）， z 为 z 的共轭复数，则下列结论正确的是 A. z 的实部为 1 B. z 的虚部为 1 C. 2zz D. z iz 3、已知等差数列 na 中， 12497 ,1,16 aaaa 则 的值是（ ） A . 15 B . 30 C. 31 D. 64 4 如图所示， 正四棱锥 (底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心 ) P ABCD 的底面边长为 6cm， 侧棱长为 5cm，则它的正视图的面积等于 A. 37 B. 67 C.12 D.24 5.在 ABC 中， 4cos 5A ， 8AB AC，则 ABC 的面积 为 （ ） . A. 65 B.3 C. 12
4、5 D.6 6、 下列命题中正确的是 （ ） A若 pq 为真命题，则 pq 为真命题 B“ 0a ， 0b ”是“ 2baab”的充分必要条件 C命题“若 2 3 2 0xx ，则 1x 或 2x ”的逆否命题为“若 1x 或 2x ，则2 3 2 0xx ” P A B C D 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 11第 题 图D命题 :p Rx ，使得 2 10xx ，则 :p Rx ，使得 2 10xx 7、将编号为 1、 2、 3、 4 的四个小球任意地放入 A、 B、 C、 D 四个小盒中，每个盒中放球的个数不受限制，恰好有一
5、个盒子是空 的概率为（ ） 169A 41B 43C 167D 8. 在平面 直角坐标系中 ,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数 ()fx的图象恰好通过 ()nn N 个整点，则称函数 ()fx为 n 阶整点函数 .有下列函数： ( ) sin2f x x ； 3()g x x 1( ) ( ) ;3 xhx ( ) lnxx ， 其中是一阶整点函数有 ( ) 个 A.1 B.2 C.3 D.4 第二部分 非选择题 （共 110 分） 二、填空题（本题共 7 小题，考生作答 6小题，每小题 5 分，共 30 分） (一 )必做题 (9 13题 ) 9. 函数 21)( xxxf 的定
6、义域为 _. 10.关于 x 的二项式 41(2 )x x 展开式中的常数项是 11. 如右图，是一程序框图，则输出结果为 12 如果关于 x 的不等式 axx 32 的解集为 R, 则 a 的取值范围是 . 13 设平面区域 D 是由双曲线 1422 xy 的两条渐近线和抛物线 2 8yx 的准线所围成的三角形（含边界与内部）若点Dyx ),( ，则目标函数 yxz 的最大值为 （二）选做题（ 14、 15 题 ,考生只能从中选做一题 ,两题全答的 ,只计前一题 的得分） 14 （ 坐标系与参数方程选做题 ）极坐标系下，直线 2)4co s( 与圆2 的公共点个数是 _； 15（几何证明选讲
7、选做题） 如图， AB 是圆 O 的直径， DEAD ，6,8 BDAB ,则 DEAC ; 三、解答题：本大题共 6 小题， 满分 80 分解答 须 写出文字说明、 证明过程和 演算步骤 16（本题满分 12 分） 已知函数 xxaxf c o ss in)( 的图象经过 点 )1,2( （ 1） 求函数 xf 的 最小正周期与 单调 递增 区间 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 第 19 题图 （ 2） 若 0,2 ，且 12f ，求 sin2 的值 . 17（本题满分 12 分） 数列 nb Nn 是递增的等比数列，且 4,5 3
8、131 bbbb . ( )若 3log 2 nn ba ,求证：数列 na 是等差数列 ; ( )若 3221 aaa 46aam ,求 m 的最大值 . 18、（本题满分 14 分）某班共有学生 40 人，将一次数学考试成绩 （单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示 （ 1）请根据 图中所给数据，求出 a 的值； （ 2）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在 50， 70）内的学生中随机选取 3 人的成绩进行分析，用 X表示所选学生成绩在 60， 70）内的人数，求 X的分布列和数学期望 19 （本题满分 14 分） 如图，已知 E ， F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD
9、 的中点， EF 与AC 交于点 O ， PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ，且 4PA AB， 2NC ， M 是线段PA 上一动点 （）求证：平面 PAC 平面 NEF ； （）若 /PC 平面 MEF ，试求 :PM MA 的值； （）当 M 是 PA 中点时，求二面角 M EF N的余弦值 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 20（本题满分 14 分）已知椭圆 C ： )0(12222 babyax ，左、右两个焦点分别为 1F 、2F ，上顶点 ),0( bA ， 21FAF 为正三角形且周长为 6. （ 1）求椭圆 C
10、的标准方程及离心率； （ 2） O 为坐标原点， P 是直线 AF1 上的一个动点，求 | 2 POPF 的最小值，并求出此时点 P 的坐标 21 (本题满分 14 分 ) 已知函数 32( ) ( )f x ax bx b a x （ a， b 是不同时为零的常数），其导函数为 ()fx . （ 1）当 13a 时，若不等式 1() 3fx 对任意 x R 恒成立，求 b 的取值范围 ； （ 2）若函数 ()fx为奇函数，且在 1x 处的切线垂直于直线 2 3 0xy ， 关于 x 的方程 1() 4f x t 在 1, ( 1)tt 上有且只有一个实数根，求实数 t 的取值范围 . 高考资
11、源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 2014-2015 学年度下学期期末模块考试 五校联考高二年级数学（理科）试题答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A A B D A B 二、填空题（本大题共 7 小题，考生作答 6小题，每小题 5 分，共 30 分） (一 )必做题 (9 13 题 )9 ),2()2,1 10 24 11 511 12 1, 13. 3； （二）选做题（ 14、 15题 ,考生只能从中选做一题 ,两题全答的 ,只计前一题的得分） 14. 1；
12、15.43三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，要写出详细的解答过程或证明过程） 16（本题满分 12 分） 已知函数 xxaxf c o ss in)( 的图象经过 点 )1,2( （ 1） 求函数 xf 的 最小正周期与 单调 递增 区间 （ 2） 若 0,2 ，且 12f ，求 sin2 的值 . 16 解： （ 1）因为函数 xxaxf c o ss in)( 的图象经过 点 )1,2( ， 所以 1)2( f 1 分 即 12c o s2s in a ，解得： 1a 2 分 xxxf s inc o s)( )4cos(2 x 4 分 212 T 所以函数 xf 的 最小正周
13、期为 2 5 分 因为函数 xy cos 的单调递增区间为 Zkkk ,2,2 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 所以 kxk 242 解得： 42245 kxk 6 分 所以函数 xf 的单调递增区间为 Zkkk ,24,245 7 分 （ 2） 解法 1： 12f ， 12 cos42. 2cos44. 9 分 s in 2 c o s 22 21 cos 4 22124 34 . 12 分 解法 2： 12f ， 12 cos42 12 c o s c o s sin sin4 4 2. 1cos sin 2. 9 分 两边平方得
14、 22 1c o s 2 c o s s i n s i n 4 . 11分 3sin2 4 . 12分 17 （本题满分 12 分） 数 列 nb Nn 是递增的等比数列，且 4,5 3131 bbbb . ( )若 3log 2 nn ba ,求证数列 na 是等差数列 ; ( )若 3221 aaa 46aam ,求 m 的最大值 . 17. 本题满分 12 分 解 :( )由 543131 bbbb 知 31,bb 是方程 0452 xx 的两根 ,注意到 nn bb 1 得 4,1 31 bb . 2 分 43122 bbb 得 22b . 4,2,1 321 bbb 等比数列 .n
15、b 的公比为 212bb , 111 2 nnn qbb 4 分 .23132lo g3lo g 122 nnba nnn 5 分 12211 nnaa nn 6 分 数列 na 是首项为 3,公差为 1 的等差数列 . 7 分 ( ) 由 ( )知 数列 na 是首项为 3,公差为 1 的等差数列 ,有 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 3221 aaa ma = 32121 aaaa 1aam = 236312 133 22 mmmmmm 9 分 46 46 2 48a 48236 2 mmm ,整理得 08452 mm ,解得 7
16、12 m . 11 分 m 的最大值是 7. 12 分 18（本小题满分 14 分）某班共有学生 40 人，将一次数学考试成绩 （单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示（ 1）请根据图中所给数据，求出 a 的值； （ 2）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在 50， 70）内的学生中随机选取 3 人的成绩进行分析，用 X表示所选学生成绩在 60， 70）内的人数 ，求 X的分布列和数学期望 解： （ 1） 根据频率分布直方图 中的数据 ， 可得 1 (0 . 0 0 5 0 . 0 0 7 5 0 . 0 2 2 5 0 . 0 3 5 ) 1 0 0 . 1 0 . 0 7 0 . 0
17、 310a ， 所以 0.03a 2 分 （ 2） 学生成绩在 50,60) 内 的 共 有 40 0.05=2 人，在 60,70) 内 的 共 有 40 0.225=9人 ， 成绩在 50,70) 内的学生共有 11 人 4 分 依题意， X 的可能取值是 1， 2， 3 5 分 2129311 3( 1) 55CCPX C ； 7 分 1229311 24( 2 ) 55CCPX C ； 9 分 28( 3) ( ) 55P X P A 3931128() 55CPAC 11 分 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 355 2455 2855 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投
18、稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 3 2 4 2 8 2 71 2 35 5 5 5 5 5 1 1EX 14 分 19 如图，已知 E ， F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点， EF 与 AC 交于点 O ， PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ，且 4PA AB， 2NC ， M 是线段 PA 上一动点 （）求证：平面 PAC 平面 NEF ； （）若 /PC 平面 MEF ，试求 :PM MA 的值； （）当 M 是 PA 中点时， 求二面角 M EF N的余弦值 19（本题满分 14 分） 解：法 1： （ ） 连结 BD ， PA 平面 A
19、BCD ， BD 平面 ABCD ， PA BD ， 又 BD AC ， AC PA A ， BD 平面 PAC ， 又 E ， F 分别是 BC 、 CD 的中点， /EF BD ， EF 平面 PAC ，又 EF 平面 NEF ， 平面 PAC 平面 NEF ； -4 分 （ ）连结 OM ， /PC 平面 MEF ，平面 PAC 平面 MEF OM ， /PC OM ， 14PM OCPA AC，故 : 1: 3PM MA -8 分 （ ） EF 平面 PAC ， OM 平面 PAC ， EF OM ， 在等腰三角形 NEF 中，点 O 为 EF 的中点， NO EF ， MON 为所求
20、二面角 M EF N的平面角， -10 分 点 M 是 PA 的中点， 2AM NC， 所以在矩形 MNCA 中，可求得 42MN AC， 6NO ， 22MO ， -12分 在 MON 中，由余弦定理可求得 2 2 2 33c o s 2 3 3M O O N M NM O N M O O N ， 第 19 题图 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 二面角 M EF N的余弦值为 3333 -14 分 法 2： （ ） 同法 1； （ ）建立如图所示的直角坐标系，则 (0,0,4)P ， (4,4,0)C ， (4,2,0)E ， (2
21、,4,0)F ， (4,4, 4)PC ， ( 2,2,0)EF ， 设点 M 的坐标为 (0,0, )m ，平面 MEF 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 (4,2, )ME m， 所以 00n MEn EF ，即 4 2 02 2 0x y mzxy ，令 1x ，则 1y ， 6z m ， 故 6(1,1, )n m ， /PC 平面 MEF ， 0PCn ，即 244 4 0m ，解得 3m ， 故 3AM ，即点 M 为线段 PA 上靠近 P 的四等分点；故 : 1: 3PM MA -8分 （ ） (4,4,2)N ，则 (0,2,2)EN ，设平面 NEF 的法向量为
22、 ( , , )m x y z ， 则 00m ENm EF ，即 2202 2 0yzxy ，令 1x ， 则 1y ， 1z ，即 (1,1, 1)m， 当 M 是 PA 中点时， 2m ，则 (1,1,3)n ， 1 1 3 3 3c o s ,333 1 1mn ， 二面角 M EF N的余弦值为 3333 -14 分 20（ 14 分）已知椭圆 C ： )0(12222 babyax ，左、右两个焦点分别为 1F 、 2F ，上顶点 ),0( bA ， 21FAF 为正三角形且周长为 6.（ 1）求椭圆 C 的标准方程及离心率；（ 2） O为坐标原点， P 是直线 AF1 上的一 个
23、动点，求 | 2 POPF 的最小值，并求出此时点 P 的坐标 20.解： （ 1） 解：由题设得222622cbacaaca 2 分 解得： 3,2 ba ， 1c 3高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 分 故 C 的方程为 134 22 yx. 4 分 离心率 e 21 5 分 （ 2） 直线 AF1 的方程为 )1(3 xy ， 6 分 设点 O 关于直线 AF1 对称的点为 ),( 00 yxM ，则 2323)12(3213000000yxxyxy所以点 M 的坐标为 )23,23( 9 分 PMPO ， 222 MFPMPFP
24、OPF ， 10 分 | 2 POPF 的最小值为 7)023()123(| 222 MF 11 分 直线 2MF 的方程为 )1(123023 xy 即 )1(53 xy 12 分 由3332)1(3)1(53yxxyxy ，所以此时点 P 的坐标为 )33,32( 14 分 21 (本小题满分 14 分 ) 已知函数 32( ) ( )f x ax bx b a x （ a， b 是不同时为零的常数），其导函数为 ()fx . （ 1）当 13a 时，若不等式 1() 3fx 对任意 x R 恒成立，求 b 的取值范围 ； （ 2）若函数 ()fx为奇函数，且在 1x 处的切线垂直于直线 2 3 0xy ， 关于 x 的方程 1() 4f x t 在 1, ( 1)tt 上有且只有一个实数根，求实数 t 的取值范围 . 21 解：（ 1） 当 13a 时， 2 1( ) 2 3f x x bx b ， 分 依题意 2 1( ) 2 3f x x bx b 13 即 2 20x bx b 恒成立 24 4 0bb ，解得 01b所以 b 的取值范围是 (0,1) 3 分 （ 2）因为 32( ) ( )f x ax bx b a x 为奇函数，所以 0b ， 所以 3()f x ax ax，
