1、等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等 差 数 列等 比 数 列定 义 一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫公差一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比 递推关系 （） （） （） （） （） （）通项公式 （） （） （）（）求和公式 （） ()()求积公式 () () (，)主要性质若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则.对任意c0,c1,为等比数列.若、分别为两等差数列，则为等差数列.数列为等差数列.若为正项等差自然数列，则为等差数列.为等差数列
2、.，n2m，m、n.若则.若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则.对任意c0,c1, 若an恒大于0，则为等差数列.若、为两等比数列，则为等比数列.若an恒大于0，则数列为等比数列.若为正项等差自然数列，则为等比数列.为等比数列.，n2m，m、n，.若则.此外，还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论，这些结论之间不具有对偶关系：重要结论等 差 数 列等 比 数 列若p、q，且,则.若且,则 p、q. =.若|q|1,则.求数列an通项公式的方法1=+型累加法：=（）+（）+（）+ =+例1.已知数列满足=1，=+（nN+），求.解 =+ =+1 =1 =1 （nN+）3=p+q 型（p
3、、q为常数）方法：（1）+=， 再根据等比数列的相关知识求. （2）= 再用累加法求. （3）=+，先用累加法求再求.例3.已知的首项=a（a为常数），=2+1（nN+，n2），求.解 设=2（），则=1+1=2（+1）为公比为2的等比数列.+1=（a+1）=（a+1）12型累乘法：=例2.已知数列满足（nN+），=1，求.解 = =（n1）（n2）11=（n1）！ =（n1）！ （nN+）4=p+型（p为常数） 方法：变形得=+，则可用累加法求出，由此求.例4.已知满足=2，=2+.求.解 =+1为等差数列.=n5= pq 型（p、q为常数）特征根法：（1）时，=+（2）时，=（+n）例5.
4、数列中，=2，=3，且2=+（nN+，n2），求.解 =2 =（+n）=+n 7“已知，求”型方法：=（注意是否符合）例6.设为的前n项和，=（1），求（nN+）解 =（1） （nN+）当n=1时，=（1）=3当n2时，=（1）（1）=3 =（nN+）6= 型（A、B、C、D为常数）特征根法：=（1）时，=C（2）时， =例6. 已知=1，=（nN+），求.解 = =+C =1，=，代入，得C= 为首项为1，d=的等差数列.= =（nN+）8“已知，的关系，求”型方法：构造与转化的方法.例8. 已知的前n项和为，且+2（）=0（n2），=，求.解 依题意，得+2=0=2=+2（n）=2n= ，
5、=-=2=（）=练一练1an是首项a11，公差为d3的等差数列，如果an2 005，则序号n等于( )A667B668C669D6702在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5( )A33B72C84D1893如果a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则( ) Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a54已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则mn等于( )A1BCD 5等比数列an中，a29，a5243，则an的前4项和为( ).A81 B120 C168 D1926若数列an是等
6、差数列，首项a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是( )A4 005B4 006C4 007D4 008 7已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2( )A4B6C8D 108设Sn是等差数列an的前n项和，若，则( )A1B1C2D9已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是( )1C解析：由题设，代入通项公式ana1(n1)d，即2 00513(n1)，n6992C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力设等比数列an的公比为q(q0)，由题意得a1a
7、2a321，即a1(1qq2)21，又a13，1qq27解得q2或q3(不合题意，舍去)，a3a4a5a1q2(1qq2)3227843B解析：由a1a8a4a5，排除C又a1a8a1(a17d)a127a1d，a4a5(a13d)(a14d)a127a1d 12d2a1a84C解析：解法1：设a1，a2d，a32d，a43d，而方程x22xm0中两根之和为2，x22xn0中两根之和也为2，a1a2a3a416d4，d，a1，a4是一个方程的两个根，a1，a3是另一个方程的两个根，分别为m或n，mn，故选C解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x42，x1x2m，x3x
8、4n由等差数列的性质：若gspq，则agasapaq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2，于是可得等差数列为，m，n，mn5B解析：a29，a5243，q327， q3，a1q9，a13， S41206B解析：解法1：由a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a10，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003a2 004，即a2 0030，a2 0040.S4 0060，S4 007(a1a4 007)2a2 0040，故4 006为Sn0的最大自然数. 选B(第6题)解法2：由a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，同解法1的分析得a2 0030，a2 0040，S2 003为Sn中的最大值Sn是关于n的二次函数，如草图所示，2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，在对称轴的右侧根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左侧，4 007，4 008都在其右侧，Sn0的最大自然数是4 0067B解析：an是等差数列，a3a14，a4a16，又由a1，a3，a4成等比数列，(a14)2a1(a16)，解得a18，a28268A解析：1，选A9A解析：设d和q分别为公差和公比，则413d且4(1)q4，d1，q22，
