1、 2015-2016学年 高三 暑假入学考试 数学 试卷 试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分 一、 选择题 ： (本大题共 12 小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 ) 1 设集合 A=x|x2 5x+6=0， B=x|y=log2（ 2 x） ，则 A （ RCB） = A 2， 3 B 1， 6 C 3 D 6 2 设 xR ，则 “ 1x ” 是 “ 复数 2( 1) ( 1)z x x i 为纯虚数 ” 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3 与椭圆 2 2 16x y共焦点 ,且渐近线为 2yx 的双曲线方程是 A 22 14
2、yx B 22 14xy C 2 2 14x y D 2 2 14y x 4 已知命题 :P 存在 23 1, xxRx ；命题 :q ABC 中， “ BA 是 “sinsin“ BA 的充分条件；则下列命题是真命题的是 .A p 且 q .B p 或 q .C p 且 q .D p 或 q 5. 某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的 x=0.1，则运行后输出的 y 值是 A 1 B.0.5 C 2 D 10 6设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为 A 11 B 10 C 9 D 8.5 7 已知向量 =（ sin（ + ）， 1）， =（ 4
3、， 4cos ），若 ，则 sin（ + ）等于 A B C D 8 等比数列na中，3，5是方程022 kxx（ k为常数）的两根，若02a，则65432 aaaaa的值 为（ ） A24B C24D 8 9 已知函数 y xf x 的图象如图 (其中 fx 是函数 fx的导函数 ),下面四个图象中 , y f x 的图象可能是 10函数 f（ x） =Asin（ x+ ）（其中 ）的图象如图所示， 为了得到 g（ x） =sin2x 的图象，则只需将 f（ x）的图象 A向右平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位 C向左平移 个长度单位 D向左平移 个长度单位 11已知 P 是双曲线 上
4、的点， F1， F2是其焦点，双曲线的离心率是 54 ，且 的面积为 9，则 a+b 的值为 A 5 B 6 C 7 D 8 12 定义域为 R 的函数 21 2|2|lg)( xxxxf，若关于 x 的方程 0)()(2 cxbfxf 恰有 3 个不同的实数解321 , xxx ，则 )( 321 xxxf 等于 A 0 B l C 3lg2 D 2lg2 二、填空题 ： (本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分 .) 13 已知 x 和 y 之间的一组数据： x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 求得关于 y 与 x 的线性回归方程 y 2.1x 0.85，则 m 的值为 .
5、 14 若在区间内任取一个实数 a，使直线 x+y+a=0 与圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=2 有公共点的概率 . 15 若函数 f（ x） =x3+a|x 1|在，得到的频率分布直方图如图所示 （ ）若从第 3， 4， 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动，应从第 3， 4， 5 组各抽取多少名志愿者？ （ ）在（ ）的条件下，该县决定在 这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率 19 （ 本小题满分 12 分） 设数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 12n n nS na a c (c 是常数 , *
6、Nn ), 2 6a= . ( )求 c 的值及数列 na 的通项公式 ; ( )证明 :81111 13221 nn aaaaaa . 20.（ 本小题满分 12 分） 已知圆 16)3(: 221 yxF ，定点 )0,3(2F ，动圆 M 过点 2F ，且与圆 1F 相内切 . （）求动圆圆心 M 的轨迹方程； （）若 O 为坐标原点， CBA , 是轨迹 M 上的三个点，当点 B 不落在坐标轴上时，试判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由 . 21.（ 本小题满分 12 分） 设函数 f（ x） =alnx bx2（ x 0） （ ）若函数 f（ x）在 x=1 处与直线 y
7、= 相切，求实数 a、 b 的值； （ ）当 b=0 时，若不等式 f（ x） m+x 对所 有的 a ， x （ 1， e2都成立（ e 为自然对数的底数），求实数 m的取值范围 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 . 22.（ 本小题满分 10 分） 选修 4-1：几何证明选讲 如图已知 ABC 中的两条角分线 AD 和 CE 相交于 H， B=60， F 在 AC 上，且 AE=AF （）证明： B， D， H， E 四点共圆 ； （）证明： CE 平分 DEF. 23 （ 本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参
8、数方程 已知曲线1 4 c os:(3 si nxtCtyt 为 参 数 ），2 8 c os:(3 si nxC y 为 参 数 ）（）化 C1， C2的方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线； （）若 C1上的点 P 对应的参数为 2t ， Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线3 32:(2xtCtyt 为 参 数 ）距离的最小值 . 24（ 本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲 如图， O 为数轴的原点， A， B， M 为数轴上三点， C 为线段 OM 上的动点，设 x 表示 C 与原点的距离， y 表示 C 到 A 的距离 4 倍与 C 到距离的 6 倍的和
9、（）将 y 表示为 x 的函数； （）要使 y 的值不超过 70， x 应该在什么范围内取值？ 数学参考答案 一选择题 1 12 DCABA CBABD CD 13 0 5 14 25 15 16 322 17解 :() 由已知得 2cosB 2cosBsin2A ， .2 分 由于 ABC 为斜三角形， cosB0 ， sin2A 1. .4 分 A(0 ， ) ， 2 A 2 ， A 4 . 6 分 () sin 2 cosBC ， 由 (1)知 sin ( ) 2 c o s4 CC ， 即 22s in c o s 2 c o sC C C .9 分 tanC1， 0 C34 ， 4
10、C2 . 12 分 18解 :() 由题设可知，第 3 组的频率为 0.065 0.3，人数为 0.3100 30 人； 第 4 组的频率为 0.045 0.2， 人数为 0.2100 20 人； 第 5 组的频率为 0.025 0.1，人数为 0.1100 10 人 .3 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者，若利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者，则每组抽取的人数分别为：第 3 组为 30606 3；第 4 组为 20606 2；第 5 组为 10606 1. 所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 名， 2 名， 1 名志愿者 .6 分 () 记第 3 组
11、的 3 名志愿者为 A1， A2， A3，第 4 组的 2 名志愿者为 B1， B2，第 5 组的一名志愿者为 C. 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者的可能情况有： (A1， A2)， (A1， A3)， (A1， B1)， (A1， B2)， (A1， C)， (A2， A3)，(A2， B1)， (A2， B2)， (A2， C)， (A3， B1)， (A3， B2)， (A3， C)， (B1， B2)， (B1， C)， (B2， C)，共 15 种 9 其中第 4 组的 2 名志愿者至少有一名志愿者被抽中的可能情况有： (A1， B1)， (A1， B2)， (A2， B1)
12、， (A2， B2)， (A3， B1)， (A3， B2)， (B1， B2)， (B1， C)， (B2， C)，共 9种 11 分 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 915 35. .12 分 19 () 解 :因为 12n n nS na a c , 所以当 1n= 时 ,1 1 112S a a c ,解得 1 2ac= , 当 2n= 时 , 2 2 2S a a c ,即 1 2 22a a a c ,解得 2 3ac= , 所以 36c ,解得 2c ; 则 1 4a ,由递 推作差累乘得 22nan. () 因为 1 2 2 3 11 1 1nna a a a a
13、 a + + +L1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 4 6 2 6 8 2 2 2 2 4nn= - + - + + -+L 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 4 6 6 8 2 2 2 4nn= - + - + + -+L 1 1()2 4 2 4n=-+ 118 4( 2)n=- + . 因为 *Nn 所以 1 2 2 3 11 1 1 18nna a a a a a + + + L20. （ 1）由定义可推出 x24 y2 1 (2)假设四边形 OABC 为菱形 因为点 B 不是 M 的顶点，且直线 AC不过原点，所以可设 AC 的方程为
14、y kx m(k0 ， m0) 由 x2 4y2 4，y kx m 消 y 并整理得 (1 4k2)x2 8kmx 4m2 4 0. 设 A(x1， y1)， C(x2， y2)，则 x1 x22 4km1 4k2，y1 y22 kx1 x22 mm1 4k2. 所以 AC 的中点为 H 4km1 4k2，m1 4k2 . 因为 H 为 AC 和 OB 的交点， 所以直线 OB 的斜率为 14k. 因为 k 14k 1，所以 AC 与 OB 不垂直 所以 OABC 不是菱形，与假设矛 盾 所以当点 B 不是 M 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形 21 解：（ ） ( ) 2af x b
15、xx ， 又 函数 ()fx在 1x 处与直线 12y 相切 ， (1) 2 01(1)2f a bfb ， 解得 112ab 5 分 （ ）当 b=0 时， ( ) lnf x a x ， 若不等式 ()f x m x对所有的 230 , , 1,2a x e 都成立，即 lnm a x x对所有的 2,1,23,0 exa 都成立，令 ( ) lnh a a x x，则 ()ha 为一次函数， min()m h a 8 分 21, , ln 0 ,x e x 3( ) 0 , 2h a a在 上单调递增 m in( ) (0 )h a h x mx 对所有的 21,xe 都成立 221 ,
16、 1 ,x e e x 2m in()m x e 12 分 （注：也可令 ( ) l n , ( )h x a x x m h x 则所有的 21,xe 都成立，分类讨论得 2m in( ) 2m h x a e 对所有的30, 2a 都成立， 22m in( 2 )m a e e ，请根据过程酌情给分） 22解：（）在 ABC 中，因为 B=60，所以 BAC+ BCA=120 .因为 AD,CE 是角平分线，所以 HAC+ HCA=60， 故 AHC=120 .于是 EHD= AHC=120 .因为 EBD+ EHD=180， 所以 B,D,H,E 四点共圆。 （）连结 BH，则 BH 为
17、 ABC 的平分线，得 HBD30 由（）知 B， D， H， E 四点共圆， 所以 CED HBD 30又 AHE EBD 60，由已知可得 EF AD ，可得 CEF30 所以 CE 平分 DEF 23解：（） 222212: ( 4 ) ( 3 ) 1 , : 16 4 9xyC x y C 1C 为圆心是 ( 4,3) ，半径是 1 的圆 。 2C 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆。 （）当 2t 时， ( 4 , 4 ) . (8 c o s , 3 s in )PQ ，故 3( 2 4 c o s , 2 s in )2M ， 3C 为直线 2 7 0xy ， M 到 3C 的距离 5 | 4 c o s 3 s in 1 3 |5d 从而当 43co s , sin55 时， d 取得最小值 855 24解：（） 4 | 1 0 | 6 | 2 0 |, 0 3 0y x x x （）依题意， x 满足 4 | 10 | 6 | 20 | 70 ,0 30xxx 解不等式组，其解集为 9,23 所以 9,23x
