1、 相似三角形的判定与性质综合运用经典题型考点一：相似三角形的判定与性质：例1、如图，PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且APB=120.求证：PACBPD； CD2 =ACBD2、如图,在等腰ABC中, BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=45（1）求证：ABDDCE（2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当为何值时AE取得最小值？（3）在AC上是否存在点E，使得ADE为等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由？ABCDEF3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作A
2、EBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B： 1）求证：ADFDEC ； 2）若AB=4，,AE=3，求AF的长。考点二：射影定理：例4如图，在RtABC中，ADB=90,CDAB于C，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点， 且AF=AD，EGCF于点G，（1） 求证：AEFBCE（2） EFC是直角三角形吗？为什么？（3）试说明：EA2=CG.FG6、 （2011深圳市中考）已知：如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和（）求证：四边形是菱形；
3、（）若，的面积为，求的周长；（）在线段上是否存在一点，使得2AEACAP？若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由考点三：相似之共线线段的比例问题例1.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证： 2如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F（1）求证：PC2=PEPF；（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB的长3如图，CD是RtABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F求证：BDCF=CDDF4如图：已知在等边
4、三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC延长线上的点，且BD=CE，直线CD与AE相交于点F（1）求证：DC=AE；（2）求证：AD2=DCDF5（2012泰安）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EFAE，EF分别交AC，CD于点M，F，BGAC，垂足为C，BG交AE于点H（1）求证：ABEECF；（2）找出与ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长6、如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHBM且与AC的延长线交于点E求证：（1）AEDCBM；（2）AECM=ACCD7、（泰安）如图，ABC是直角三角形，ACB=90，CD
5、AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F（1）求证：FD2=FBFC；（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由9、如图13，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.(1)ACF与ACG相似吗？说说你的理由.(2)求1+2的度数.图13考点四：相似三角形的实际应用：例1、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长PQ是宽PN的2倍，则边长是多少？2、已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=
6、8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C？3两颗树的高度分别为AB=6m，CD=8m，两树的根部间的距离AC=4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到 树CD的树顶D？4小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高CD=1.5m，地面影长BC=10m（1）如果图中没有围墙，请你在图中画出大
7、树在地面上的影子；（2）若此时1米高的标杆的影长恰好为2m请你求出这棵大树AB的高度5如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度考点五：相似三角形中的动点问题1在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0t6），那么当t为何值时，APQ与ABD相似？说明理由 2（2011乌鲁木齐）如图，在ABC中，B=
8、90，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t秒（1）当t=2.5秒时，求CPQ的面积；求CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，写出t的值；3（ 金华）如图所示，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x（1）当x为何值时，PQBC；（2）当，求的值；（3
9、）APQ能否与CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由4如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NPBC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒（1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；（2）设y=S四边形OMPC，求y的最小值，并求此时x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由5、如图，正方形的边长为，是边的中点，点在射线上，过作于（1
10、）求证：；（2）当点在射线上运动时，设，是否存在实数，使以为顶点的三角形也与相似？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由6（2012鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x27x+12=0的两根（OAOB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒（1）求A、B两点的坐标（2）求当t为何值时，APQ与AOB相似.（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由7
