1、2017-2018学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题数学（文）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：,所以，故选A.考点：集合的运算.视频2. 已知复数在复平面内对应的点位于直线上，则的值为（ ）A. 2 B. C. D. -2【答案】B【解析】,在复平面内对应的点为位于直线上，所以 故选B3. “”是“直线和直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】
2、根据题意，若l1l2，则有13=a（a-2），解可得a=-1或3，反之可得，当a=-1时，直线l1：x-y+6=0，其斜率为1，直线l2：-3x+3y-2=0，其斜率为1，且l1与l2不重合，则l1l2，当a=3时，直线l1：x+3y+6=0，直线l2：x+3y+6=0，l1与l2重合，此时l1与l2不平行，所以l1l2a=-1，反之，a=-1l1l2，故l1l2a=-1，故选C4. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】C【解析】A中,也可能两平面相交，A错。B中，两平面垂直，并不能推出两平面的任取一直线相互垂直，B错.C
3、中由经过一平面垂线的平面与另一平面垂直，B对。D中，两平面平行只有被第3个平面相交所得的交线平行，其余情况不平行，D错，选C.5. 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线为，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线的焦距为，得, 即a2+b2=5，双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，可得a=2b，解可得a=2，b=1所求的双曲线方程为：故选D6. 数列满足 ，数列满足，且，则（ ）A. 最大值为100 B. 最大值为25 C. 为定值24 D. 最大值为50【答案】C【解析】，所以-即数列是等差数列，公差为1，又，所以 ，所以，故.故选C7. 已知正数满足，则
4、曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】则，可得f（x）在点（m，f（m）处的切线的斜率为k=m2+n2，由正数m，n，满足mn=，可得k=m2+n22mn=，则倾斜角的范围是.故选A8. 如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A. 15 B. 13 C. 12 D. 9【答案】B【解析】题中的几何体的直观图如图所示,其中底面ABCD是一个矩形(其中AB=5,BC=2),棱EF底面ABCD,且EF=3,直线EF到底面ABCD的距离是3.连接EB,EC,则题中的多面体的体积等于四棱锥E-ABCD与三棱锥E
5、-FBC的体积之和,而四棱锥E-ABCD的体积等于(52)3=10,三棱锥E-FBC的体积等于因此题中的多面体的体积等于10+3=13.故选B. 9. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，原点到直线的距离椭圆C的离心率e= 故选A10. 已知在三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】SA平面ABC，ABAC，故三棱锥外接球等同于以AB，AC，SA为长宽高的长方体的外接球，故三棱锥外接球的表面积S=（22+
6、22+32）=17.故选D.11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，交准线于点，若，则（ ）A. B. C. 3 D. 5【答案】B【解析】得p=2,作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|， 故选B点睛：本题考查抛物线的定义的应用,体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算，解题过程中相似比的应用是关键.12. 已知函数满足，当时，若在区间内，函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当时 作出f（x）在，4上的函数图象如图所示：因为函数有
7、三个不同的零点，与有3个交点，若直线经过点（4，ln4），则a=,若直线y=ax与y=lnx相切，设切点为（x，y），则 此时切线斜率为，所以故选D点睛：本题充分体现了转化思想以及数形结合的思想，即把根的问题转化为函数零点问题，再进一步转化为两个函数图象交点的问题，做出图象直观的判断，再进行计算.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知直线与直线垂直，且与圆相切，则直线的一般方程为_【答案】或（和）【解析】由直线l1与直线l2：4x-3y+1=0垂直，则可设l1的方程是3x+4y+b=0由圆C：x2+y2=-2y+3，知圆心C（0，1），半径r=2，或
8、l1的方程为3x+4y+6=0或3x+4y-14=0故答案为3x+4y+6=0或3x+4y-14=014. 已知是定义在上的奇函数，当时，则_【答案】15【解析】当时，所以，因为是定义在上的奇函数，所以 故答案为1515. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交双曲线于两点，线段与双曲线的另一交点为，若，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】如图所示：因为，所以|AC|=4|F2C|由x=-c，代入双曲线的方程，可得，取A（-c，），直线AF2的方程为：y-0= 化为：y=- 代入双曲线可得：（4c2-b2）x2+2cb2x-b2c2-4a2c2=0，xC（-c）= c-（-c）=
9、5（c- 化为：3a2=c2，解得e= 故答案为16. 已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当的周长最大时，的面积为_【答案】.故答案为点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用定义找到了的周长最大时点P在AF的延长线上，此时直线的倾斜角为，根据余弦定理即可得的长，对的面积进行分割即可得解.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，内角的边长分别为，且.（1）若，求的值；（2）若，且的面积，求和的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1），根据余弦定理即得,再由正弦定理即可得的值；（2）利用降幂公式化简得即，又得，结合这两个等
10、式即可得和的值.试题解析：（1）由余弦定理得. 由正弦定理得. （2）原式降幂得 化简得 即=10 又得 18. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，且，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接AB1与A1B交于点，则PB1C，由此能证明B1C平面A1PB；（2）利用得出体积为1，由是直角三角形得出面积为，则利用可得点到平面的距离.试题解析：（1）法一 连交于，连. 依题，为矩形，为中点，又为的中点.为的中位线，. 又平面，平面平面 （2）=. 易得，为直角三角形， 设点到平面的距离为，.即点到平面的距离为.19. 已知抛物线上
11、一点到其焦点的距离为4，椭圆 的离心率，且过抛物线的焦点.（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，求证：为定值.【答案】（1）抛物线的方程为，椭圆的标准方程为；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用抛物线C1：y22px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；求出p，即可得到抛物线方程，通过椭圆的离心率e，且过抛物线的焦点F（1，0）求出a，b，即可得到椭圆的方程；（2）直线l1的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C2交于A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线l的方程为y=k（x-1），N（0，-k），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以
12、及判别式，通过向量关系式即可求出+为定值试题解析：（）抛物线的准线为， 所以,所以抛物线的方程为所以，,解得所以椭圆的标准方程为 ()直线的斜率必存在,设为,设直线与抛物线交于则直线的方程为,联立方程组:所以 , (*)由得: 得: 所以将(*)代入上式,得20. 已知椭圆：的焦点的坐标为，的坐标为，且经过点，轴.（1）求椭圆的方程；（2）设过的直线与椭圆交于两不同点，在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由的坐标为，且经过点，轴，得，解得的值即可得椭圆的方程；（2）假设存在符合条件的点M（x0，
13、y0），当斜率不存在，推出矛盾不成立，设直线l的方程为，与椭圆的方程联立得到根与系数关系，利用平行四边形的对角线相互平分的性质可得点M的坐标，代入椭圆方程解得即可试题解析：（1），解得.所以椭圆的方程. （2）假设存在点，当斜率不存在，不成立；当斜率存在，设为，设直线与联立得. .，则的中点坐标为 AB与的中点重合， 得 ， 代入椭圆的方程得.解得.存在符合条件的直线的方程为：.21. 设函数，已知曲线在处的切线的方程为，且.（1）求的取值范围；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）因为， 所以切线方程为由，得的取值范围为 （2）令，得， 若，则从而当时，；当时，即在
14、单调递减，在单调递增故在的最小值为而，故当时， 若，当时，即在单调递增故当时， 若，则从而当时，不恒成立故综上的的最大值为点睛：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，对于不等式恒成立问题，转化为求最值是关键.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上任意一点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根
15、据直线的极坐标方程，即可求得直线l的直角坐标公式，由椭圆C的参数方程即可求得曲线C的直角坐标方程；（2）由（1）可得丨x-y-4丨=丨2cos-sin-4丨，根据辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得|x-y-4|的最小值试题解析：（1）由cos-sin=4，将x=cos，y=sin代入即得直线l的直角坐标方程为 ；曲线的参数方程为（为参数）所以.（2）设，则丨x-y-4丨=丨2cos-sin-4丨=|cos（+）-4丨=4-cos（+）（tan=）当cos（+）=1时，|x-y-4|取最小值，最小值为4-.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，解不等式；（2）若的解集为， ，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当时，利用零点分段法解得的范围，即可得不等式解集；（2）若的解集为得，利用均值不等式得，代入得关于的不等式，即可解得.试题解析： （1）当时， 或 或 所以解得或即不等式的解集为.（2）由的解集为得，由均值不等式得，当且仅当时取等.得.点睛：本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，利用分类讨论法去掉绝对值符号是解题的关键，注意计算的准确性.
