1、解析几何中的定值定点问题（一）一、定点问题【例1】已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程；设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线与轴相交于定点解：由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或设点，则，直线的方程为，令，得，将代入整理，得 由得代入整理，得，所以直线与轴相交于定点【针对性练习1】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与
2、轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；当时，求与的关系，并证明直线过定点解：点到，的距离之和是，的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，其方程为 将，代入曲线的方程，整理得 ，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以 设，则， 且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，由，得将、代入上式，整理得所以，即或经检验，都符合条件，当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点即直线经过点，与题意不符当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点，且不过点综上，与的关系是：，且直线经过定点点【针对性练习2】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M
3、、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考
4、虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为（）求椭圆C的标准方程；（）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标解: （）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，
5、半焦距为，则 解得 椭圆C的标准方程为 4分（）由方程组 消去，得 6分由题意， 整理得： 7分设，则， 8分由已知， 且椭圆的右顶点为， 10分即 ，也即 ，整理得解得 或 ，均满足 11分当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；当时，直线的方程为 ，过定点， 二、定值问题【例2】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.()求椭圆的标准方程和离心率；()若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解：()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得
6、. 所以椭圆的标准方程为. 离心率 (),设由得化简得，即故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为 【例3】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点()若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；()若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由解：() 设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，即，故抛物线C的方程是 ()设圆心()，点A，B. 因为圆过点P(2，0)，则可设圆M的方程为. 令，得.则，. 所以. ，设抛物线C的方程为，因为圆心M在抛物线C上，
7、则. 所以. 由此可得，当时，为定值故存在一条抛物线，使|AB|为定值4. 解析几何中的定值定点问题（二）1、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆的方程为。1分，。4分椭圆的方程为。5分（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分,若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分设与交于点由得设与交于点由得10
8、，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分解法二：（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分取得，直线的方程是直线的方程是交点为若交点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证即证式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。解法三：（）由得即。记，则。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分2、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为 （）求椭圆的方程； （）过点
9、作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由解：（I）设椭圆E的方程为,由已知得：。2分椭圆E的方程为。3分（）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：。5分当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则由得7分所以9分对于任意的值，为定值，所以，得，所以；11分当直线的斜率不存在时，直线由得综上述知，符合条件的点存在，起坐标为13分法二：假设存在点，又设则：=.5分当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得7分9分设则11分当直线的斜率为0时，直线，由得：综上述知，符合条件的点存在，其坐标为。13分3、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好
10、是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。 （I）求椭圆的标准方程； （）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围； （）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。解法一： （I）设椭圆方程为，由题意知故椭圆方程为 （）由（I）得，所以，设的方程为（）代入，得 设则,由，当时，有成立。（）在轴上存在定点，使得、三点共线。依题意知，直线BC的方程为， 令，则的方程为、在直线上，在轴上存在定点，使得三点共线。解法二：（）由（I）得，所以。设的方程为 代入，得设则 当时，有成立。 （）在轴上存在定点，使得、三点共线。 设存在使得、三点共线，则， ， 即 ，存在，使得三点共线。4、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。解：（I）圆过点O、F，M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为11
