1、高老师个性化教学 一次函数动点问题一、选择与填空图1M1.如图1，点A的坐标为(1，0)，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为A（0，0） B（，）C（，） D（，）2. 如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止设点P运动的路程为，ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则BCD的面积是（ ）A3B4C5D6图12O5xABCPD图2GDCEFABba（第3题图）3.如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合运动过程中与矩形重合部分的面积（S）随时间（t）变
2、化的图象大致是（ ）stOAstOBCstODstO4.如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（ ）OStOStOStOStAPBABCD（第4题）2、 存在性问题1.如图,以等边OAB的边OB所在直线为x轴,点O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动,点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动
3、停止.xyOABxyOABxyOAB 点A坐标为_，P、Q两点相遇时交点的坐标为_; 当t=2时，_;当t=3时，_; 设OPQ的面积为S，试求S关于t的函数关系式; 当OPQ的面积最大时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是Rt，若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由。2如图，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有_个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标_；（3）如图，请在
4、直线AB和y轴上分别找一点M、N使CMN的周长最短，在图中作出图形，并求出点N的坐标 自己选择的路，跪着也要走完。-学苑教育 20 / 20考点：一次函数综合题。分析：（1）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=x+6；再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；（2）首先根据直线AB的解析式可知OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则此时CMN的周长最短由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即
5、可求出点N的坐标解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把（1，5），（4，2）代入得，kx+b=5，4k+b=2，解得k=1，b=6，直线AB的解析式为y=x+6；当x=2，y=4；当x=3，y=3；当x=4，y=2；当x=5，y=1图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）一共10个；（2）直线y=x+6与x轴、y轴交于A、B两点，A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6），OA=OB=6，OAB=45点C关于直线AB的对称点为D，点C（4，0），AD=AC=2，A
6、BCD，DAB=CAB=45，DAC=90，点D的坐标为（6，2）；（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则NC=NE，点E（4，0）又点C关于直线AB的对称点为D，CM=DM，CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短设直线DE的解析式为y=mx+n把D（6，2），E（4，0）代入，得6m+n=2，4m+n=0，解得m=，n=，直线DE的解析式为y=x+令x=0，得y=，点N的坐标为（0，）故答案为10；（6，2）AyxDCOB3.如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交轴于点和点，点是直线上的一个动点（1）求点的坐标（2）
7、当为等腰三角形时，求点的坐标（3）在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？4如图，四边形OABC为直角梯形，BCOA，A（9，0），C（0，4），AB=5 点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动（1）求直线AB的解析式；（2）t为何值时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分；（3）当t=1时，连接AC、MN交于点P，在平面内是否存在点Q，使得以点N、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 考点：一次函数综合
8、题。分析：（1）作BDOA于点D，利用勾股定理求出AD的值，从而求出B点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）梯形面积分为1：2的两部分，要注意分两种去情况进行分别计算，利用面积比建立等量关系求出t的值（3）M、N两点的坐标求出MN的解析式和AC的解析式，利用直线与方程组的关系求出P点坐标，利用三角形全等求出Q、Q1的坐标，求出直线Q1P、QN的解析式，再求出其交点坐标就是Q2的坐标解答：解：（1）作BD0A于点DBD=4，AB=5，由勾股定理得AD=3OD=6B（6，4）设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得解得：直线AB的解析式为：；（2）设t秒后直线MN将梯形OABC的
9、面积分成1：2两部分，则BN=t，CN=6t，OM=2t，MA=92t当S四边形OMNC：S四边形NMAB=1：2时解得：t=1（舍去）当S四边形OMNC：S四边形NMAB=2：1时，解得t=4t=4时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分（3）存在满足条件的Q点，如图：Q（9.5，2），Q1（8.5，2），Q2（0.5，6）点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式，图形的面积，直线的解析式与二元一次方程组的关系，勾股定理及三角形全等的性质的运用 5在平面直角坐标系中，AOC中，ACO=90把AO绕O点顺时针旋转90得OB，连接AB，作BD直线CO于D，点A
10、的坐标为（3，1）（1）求直线AB的解析式；（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设PQO的面积为S（S0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值 考点：一次函数综合题。分析：（1）先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式即可；（2）根据AB中点为M，求出点M的坐标，再求出CM的解析式，过
11、点P做PHCO交CO于点H，用t表示出OQ和PH的长，根据S=OQPH即可求出S与T的函数关系式；（3）此题需分四种情况分别求出T的值即可解答：解：（1）AOB=90，AOC+BOC=90BD垂直于CDBDO=90，OBD+BOD=90，AOC=BOD，OA=OBAOC=BOD=90，AOCOBD，AC=OD，CO=BDA（3，1），AC=OC=1，OC=BD=3，B（1，3），y=x+；（2）M（1，2），C（3，0），直线MC的解析式为：y=x+3MCO=45，过点P做PHCO交CO于点H，S=OQPH=（3t）t=t2+t（0t3）或S=（t3）t=t2t（3t4）；（3）t1=，t2=
12、，t3=，t4=2点评：此题考查了一次函数的综合应用，解题时要注意分类讨论，关键是能用t表示出线段的长度求出解析式3、 计算问题1.如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点（1）求直线的解析表达式；（2）求的面积；（3）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由 考点：一次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）结合图形可知点B和点A在坐标，故设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出
13、k，b的值；（2）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可得出点D在坐标；联立两直线方程组，求出交点C的坐标，进而可求出SADC；（3）ADP与ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距离；（4）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在4个这样的点，规律为H、C坐标之和等于A、D坐标之和，设出代入即可得出H的坐标解答：解：（1）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0；x=3，直线l2的解析表达式为 ；（2）由y=3x+3，令y=0，得3x+3=0，x=1，D（1，0）；由 ，解得 ，C（2，3），AD=3，SADC=3|3|=；（3）ADP与ADC
14、底边都是AD，面积相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|3|=3，则P到AB距离=3，P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，点P纵坐标是3，y=1.5x6，y=3，1.5x6=3x=6，所以点P的坐标为（6，3）；（4）存在；（3，3）（5，3）（1，3）点评：本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上2.如图，在RtAOB中，AOB=90，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为
15、t（0t4）（1）过点P做PMOA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）（2）求OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？（3）当t为何值时，OPQ为直角三角形？（4）证明无论t为何值时，OPQ都不可能为正三角形。若点P运动速度不变改变Q 的运动速度，使OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值。 3.如图1，直线y=kx+6k（k0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且AOB的面积是24（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OAOB运动；同时点E从点O出
16、发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动连接PE、PF，设PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tanMAB=时，求t值 考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。分析：（1）根据x=0时，y=6k，y=0时，x=6，得出OB=6k，OA=6再利用SAOB=24，求出即可；（2）根据当点P在OA上运动时，0t3，以
17、及当点P在AB上运动时，利用三角形相似的性质求出即可；（3）利用当点P在OA上时，点M在点F左侧，以及当点P在AB上时，分别得出t的值即可解答：解：（1）令x=0时，y=6k（k0）；令y=0时，x=6，OB=6k，OA=6SAOB=24， 解得，AB的解析式为；（2）根据题意，OE=t，EFOA，BEFBOA，当点P在OA上运动时，0t3，过P作PHEF，垂足是H，则PH=OE=t，； 当点P在AB上运动时，过P作PGOA，垂足是G，直线PG与EF相交于点R，则GR=OE=t在APG中，PGOBAPGABO，当P与F重合时，有PG=OE，此时 ，解得t=8PR=GRPG，当3t8时，综上所述
18、，求得的解析式是；（3）当点P在OA上时，点M在点F左侧过点M作MDAB，垂足是D，过点F作FSOA，垂足是S，FS=OE=t，EM=OP=2t在MFD中，在MAD中，AD=8k=AF+DF=AF+3k，AF=5k=MF在AFS中，MF=EFEM，解得，当点P在OA上时，点M在点F右侧可计算得出；当点P在AB上时，过点M作MDAB，垂足是D，在PMD中，=，令MD=3m，则PD=4m，MP=5m，AD=6mAP=ADPD，AP=2m，解得，综上所述，满足要求的t值是或或 点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的性质应用，根据已知得出M以及P点位置不同得出答案是解题关键4.如图，在
19、平面直角坐标系中四边形OABC是平行四边形直线经过O、C两点点A的坐标为(8，o)，点B的坐标为(114)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一CB相交于点M。当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒()MPQ的面积为S（1）点C的坐标为_，直线的解析式为_(每空l分，共2分)（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。（3）试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。（4）随着P、Q两点的
20、运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线相交于点N。试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？请直接写出t的值 5已知函数y=（6+3m）x+（n4）（1）如果已知函数的图象与y=3x的图象平行，且经过点（1，1），先求该函数图象的解析式，再求该函数的图象与y=mx+n的图象以及y轴围成的三角形面积；（2）如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1，求出m和n的值，写出这两个函数的解析式；（3）点Q是x轴上的一点，O是坐标原点，在（2）的条件下，如果OPQ是等腰直角三角形，写出满足条件的点Q的坐标考点：一次函数综合题；反比例函数与一次函数的交点问题。分
21、析：（1）根据所给的条件求出m，n的值，然后确定这两条直线，求出它们与y轴的交点坐标，以及这两条直线的交点坐标，从而求出面积（2）根据正比例函数可求出n的值，以及根据P点坐标的情况，确定函数式，P点的坐标有两种情况（3）等腰三角形的性质，有两边相等的三角形是等腰三角形，根据此可确定Q的坐标解答：解：（1）据题意得6+3m=3解得m=1把x=1，y=1代入y=3x+n4得n=8（1分）已知函数为y=3x+4当x=0时y=4，A（0，4）另一函数y=x+8当x=0时y=8，B（0，8）（2分）AB=4解得，C（1，7）（1分）（1分）（2）据题意可知n=4设正比例函数y=（6+3m）x（6+3m0
22、），反比例函数根据正反比例函数的图象可知，当点P的坐标为（1，1）或（1，1）时y=x，当点P的坐标为（1，1）或（1，1）时，y=x，（3分）；（3）Q（1，0）Q（2，0）（2分）点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是知道两直线平行斜率相等，以及正比例函数的形式以及反比例函数与一次函数的交点问题，以及等腰三角形的性质6如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD（1）若C（3，m），求m的值； （2）如图2，连AC，作BMAC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的O1交AC于S
23、，交AB的延长线于T，当O1的大小发生变化时，的值变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由考点：一次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）作CEx轴于E，可证OABEBC，再根据线段相互间的关系即可求出CE的长，即m的值；（2）作GEx轴于G，可以通过先求出AE与EB的关系，证明结论；（3）连接CT，ST，ST交BC于M，可知的值为45余弦的倒数，从而求解解答：解：（1）作CEx轴于E，易证OABEBC，OB=OEBE=3OA=2，CE=2，即m=2；（2）作GEx轴于G，BE=BF，1=2，3=4，EG=GB，AE=EB，AC=AB，AE+EB=AB，AE=（2）AB，AC+AE=2AB
24、；（3）连接CT，ST，ST交BC于M，则AS=TS，SC=SM，STA=45，ASCS=MT，=故的值不变点评：考查了一次函数综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理和三角函数的知识，难度较大四、二次函数1.如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点设点是平分线上的一个动点（不与点重合）（1）试证明：无论点运动到何处，总造桥与相等；（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标
25、解：（1）点是的中点，又是的角平分线，3分（2）过点作的平分线的垂线，垂足为，点即为所求易知点的坐标为（2，2），故，作，是等腰直角三角形，点的坐标为（3，3）yOxDBPEFM抛物线经过原点，设抛物线的解析式为又抛物线经过点和点，有 解得抛物线的解析式为7分（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于的平分线的对称点即为点连接，它与的平分线的交点即为所求的点（因为，而两点之间线段最短），此时的周长最小抛物线的顶点的坐标，点的坐标，设所在直线的解析式为，则有，解得所在直线的解析式为点满足，解得，故点的坐标为的周长即是（4）存在点，使其坐标是或14分3、已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点
26、其中、（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标ACxyBO（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由ACxyBO（第24题图）OACxyBEPD解：（1）由题意得 解得此抛物线的解析式为3分（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则4分解得此直线的表达式为5分把代入得点的坐标为6分（3）存在最大值7分理由：即即方法一：连结=8分
27、当时，9分方法二： =8分当时，9分2.如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；4x22A8-2O-2-4y6BCD-44(2)平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由提示：第（2）问，是“饮马问题”的变式运用，涉及到
28、抛物线左移。答案见参考图。方法一，A关于x轴对称点A，要使AC+CB最短，点C应在直线AB上； 方法二，由（1）知，此时事实上，点Q移到点C位置，求CQ=145，即抛物线左移145单位；设抛物线左移b个单位，则A（-4-b,8）、B（2-b,2）。CD=2,B左移2个单位得到B（-b,2）位置，要使AD+C B最短，只要AD+DB最短。则只有点D在直线AB上。(第24题(2)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44A(第24题(1)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44QP解：(1) 将点A(-4，8)的坐标代入，解得1分将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，则点B关于
29、x轴对称点P的坐标为(2，-2)直线AP的解析式是令y=0，得即所求点Q的坐标是(，0)(2)解法1：CQ=-2-=，1分故将抛物线向左平移个单位时，AC+CB最短，2分此时抛物线的函数解析式为1分解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A，B的坐标分别为A(-4-m，8)和B(2-m，2)，点A关于x轴对称点的坐标为A(-4-m，-8)直线AB的解析式为1分要使AC+CB最短，点C应在直线AB上，1分将点C(-2，0)代入直线AB的解析式，解得1分(第24题(2)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44AB故将抛物线向左平移个单位时AC+CB最短，此时抛物线的函数解析式为1分左右平移抛
30、物线，因为线段AB和CD的长是定值，所以要使四边形ABCD的周长最短，只要使AD+CB最短； 1分第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有AD+CBAD+CB，因此不存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短1分第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A和点B的坐标分别为A(-4-b，8)和B(2-b，2)因为CD=2，因此将点B向左平移2个单位得B(-b，2)，要使AD+CB最短，只要使AD+DB最短 1分点A关于x轴对称点的坐标为A(-4-b，-8)，直线AB的解析式为 1分要使AD+DB最短，点D应在直线AB上，将点D(-4，0)代入直线AB的解析式，解得故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为
