1、第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初三 第1试试题2013年3月17日 上午8：30至10：00竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。答案于今日10：00在以下网站和微博公布：“希望杯”官方网站：http:/www.hopecup.org“希望杯”微博：http:/ 的值是( )(A)2(B)4(C) 6(D) 82设O的半径是5，点P不在O外，若点O与点P的距离|OP|=m2-2m+2，则m的取值范围是( )(A)m-1或m3(B)-1m3(C)m-1(D)m33如图1，O内的点P在弦AB上，点C在圆O上，PCOP，若BP=2，AP=6，则CP的长等于( )(A)2(B) 4(C) 2(D)
2、34图2是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形，等腰直角三角形构成，如果标在数字“13”的正方形的边长是，那么标有数字“2”的等腰直角三角形斜边的长是( )(A)4(B)2(C)2(D)5若m，n分别是的整数部分和小数部分，则与(m+n)(n-m)的差的绝对值最小的整数是( )(A)-55(B)-56(C)-16(D)-156如图3，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，QON=30点A在OQ上，AO=240(米)当火车行驶时，周围200米以内会受噪音的影响，现有一列火车沿MN方向以72千米/时的速度行驶(火车的长度忽略不计)，那么，A处受噪音影响的时间为( ) (A)12秒(B)16秒(C)2
3、0秒(D)24秒7In ABC as shown in fig4，AB=AC ，BD=EC，BE=CF，if A=50， then the degree of DEF is( )(A)60(B)65(C)70(D)758如图5，O1的半径是1，正方形ABCD的边长是6，点O2是正方形的中心，O1O2垂直AD于P点，O1O2=8若将O1绕点P按顺时针方向旋转360，在旋转过程中，O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )(A)3次(B)5次(C)6次(D)7次9如图6，在同一个坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c(a0)和一次函数y2=dx+e(d0)的图象相交于点A(m，n
4、)和点B(p，q)当y1y2时，用m，p表示x的取值范围，则是( )(A)mxp(B)xm(C)xp(D)xm 10如图7，在正方形ABCD中，点M、N分别在边AB、BC上运动(不与正方形的顶点重合)，且BN=2AM，若图中的三个阴影三角形中至少有两个相似，则这样的点M有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、A组填空题(每小题4分，共40分)11已知实数a，b不相等，并且a2+1=5a，b2+1=5b，则 + = 12If a1=1-，a2=1-，a3=1-，then a2003 in terms of m is 13如图8，在32的方格纸上，以某三个格点为顶点的三角形中，等腰三角
5、形共有 个14若实数x，y，z使2x+y+z=0和3x+2y+5z=0成立，并且z0，则的值是 15若一个三角形的三边的长是，则此三角形的面积是 16已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，当-2x5时，y的最大值为12，则该抛物线的解析式为 17如图9，直角梯形纸片ABCD中，ADBC，ABBC，AB=10，BC=25，AD=15，以BD为折痕，将ABD折起，旋转180后，点A到点A1，则凹五边形BDCEA1的面积为 18如图10，将边长为a的正方形ABCD绕其顶点C顺时针旋转45，得四边形ABCD，则图中阴影部分的面积是 19If -=7，then
6、 the value range of real number a is 20如图11，从边长为5的正方形纸片ABCD中剪去直角EBF(点E在边AB上，点F在边BC上)若EB+BF=，则五边形AEFCD的面积的最小值是 三、B组填空题(每小题8分，共40分)21图12是由若干个棱长为1厘米的正方体堆成的几何体，它的三视图中，面积最大的是 平方厘米，这个几何体的体积是 立方厘米22如图13，在ABC中，A=30，AB=AC=2，BD是边AC上的高，利用此图可求得tan15= ，BC= 23在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点若凸n边形的顶点都是整点，并且多边形内部及
7、其边上没有其它整点，则n= 24如图14，直角梯形ABCD中，AB=15，CD=2，AF=1，AD=3，ABEFCD，A=90，分别以AD，FE所在的直线为x轴，y轴建立坐标系(AD，FE为正方向)，若抛物线y=ax2+bx+c过点B、C，并且它的顶点M在线段EF上，则a= ，b= ，c= 25如图15，ABC中，B=90，A=60，AB=AD=2，点M在DC上，以M为圆心，以DM为半径的半圆切边BC于点N，交MC于点P，则DM= ，曲边NCP的面积= 附加题(每小题10分，共20分)1若f(x)=6x3-11x2+ax-6可以被g(x)=2x-3整除，则a= ，当f(x)0时，x的取值范围是
8、 2有一堆黑，白围棋子，如果从中每次取出3枚黑子和2枚白子，当黑子被取完或剩下1枚或2枚时，则还剩35枚白子，如果每次取出5枚黑子和7枚白子，当白子被取完或剩下不足7枚时，则还剩下35枚黑子，那么这堆棋子中，原有黑子 枚，白子 枚第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初三第1试答案与解析一、选择题(每小题4分，共40分)1选：D；【解析】根据一元二次方程根与系数的关系有：m+n=2，mn=1，= =2=82选：B；【解析】|OP|=m2-2m+2=(m-1)2+15，|m-1|2，-1m33选：A；【解析】根据垂径定理及相交弦定理可得：APBP=PC2，PC=24选：B；【解析】正方形11边长为2
9、；正方形9边长为2；正方形7边长为4；正方形5边长为4；正方形3边长为4，标有数字“2”的等腰直角三角形斜边的长是25选：C；【解析】m=4，n=-4，(m+n)(n-m)=(-8)=20-16-15.77716选：B；【解析】作AB于MN于B，以A为圆心，以200m为半径作圆交MN于C、D，AB=OA=12，BC=160，CD=2BC=320米，72千米/时=20米/秒，32020=16秒 7选：B；【解析】BDECEF，DEC=DEF+FEC=B+BDE，DEF=B=658选：B；【解析】与AB相切两次，与BC相切一次，再与CD相切两次9选：A；【解析】利用函数图象解不等式，可以直接得到结
10、论10选：B；【解析】设正方形边长为a，AM=x(xa)，BM=a-x，NB=2x，NC=a-2x，当DAMDCN时，x=a-2x，x=a，有意义；当DAM与MBN相似时，a：x=(a-x)：2x，无有意义解，或a：x=2x：(a-x)，无有意义解；当MBN与DCN相似时，a：(a-2x)=(a-x)：2x，x=a，或a：(a-2x)=2x：(a-x)，无解所以只有两种二、A组填空题(第小题4分，共40分)1123；【解析】a、b是方程x2-5x+1=0的两根，所以a+b=5，ab=1，+= =2312m；【解析】a1=1-=，a2=1-=，a3=1+m-1=m，变化周期为3，3|2013，a
11、2003 =m1368；【解析】“”这样的有64=24个；“”这样的有72=14个；“”这样的有24=8个；“”这样的有24=8个；“”这样的有24=8个；“”这样的有14=4个；“”这样的有12=2个；共68个14；【解析】2-得：x=3z，代入得：y=-7z，代入原式=15；【解析】如图：，可算出S=8-3-2- = 16y=x2-2x-3或y=-3x2+6x+9；【解析】对称轴是x=(-1+3)2=1，在-2x5这个范围内，当a0时，过(1，12)，可得y=-3x2+6x+9；当a0时，由于|-2-1|5-1|，所以过(5，12)，可得y=x2-2x-317145 ；【解析】S梯形ABC
12、D=(15+25)10=200，设BE=x，作DFBC于F，DE=BE=x，根据勾股定理，x2-(15-x)2=102，得：x=，SBED=10=，S五边形BDCEA1=SA1BD+ SCED= SABD+ SCED= S梯形ABCD -SBED=200-=14518(-1)a2；【解析】旋转45，A、B、C共线，(AD、AB交于E)，S阴影=SACD-SAEB=a2-(a-a)2=(-1)a219a3；【解析】-=7，|a+4|-|a-3|=7，这个等式可以理解为在数轴上a与-4的距离比a与3的距离大7，而3与-4的距离刚好是7，所以3及3右边的点都满足，所以a32023；【解析】设BE=x
13、，五边形ABCFE的面积为y，则y=25-x(-x)=-x2-x+25=-(x-)2+23，y最小值=23三、B组填空题(第小题8分，共40分)216；7；【解析】主视图面积为：4；左视图面积为：4；俯视图面积为：6所以最大面积为6；共7个小正方体，所以体积为7；222-；-；【解析】CBD=15，BD=1，AD=，CD=2-；tan15=2-；BC= = =-233或4；【解析】通过画图可以验证，满足条件的三角形、四边形可以画出，而五边形以上画不出；24；0；【解析】此抛物线过(-1，1.5)、(2，2)，对称轴x=0，可求出a=；b=0；c=；25；-；【解析】DM=MN=MC，可得半径M
14、D=，S曲边NCP=SMNC-S扇形MNP=-()2=-附加题17；x；【解析】g(x)|f(x)，f(x)= g(x)h(x)，当x=时，g()=0，f()=0，即6()3-11()2+a-6=0，解得：a=7；6x3-11x2+7x-6=(2x-3)(3x2-x+2)，3x2-x+2=3(x-)2+0恒成立，f(x)0，即2x-30，得x；2110；107；【解析】设第一次取x次，则白子有：2x+35枚，黑子有3x或3x+1或3x+2枚；设第二次取y次，则黑子有5y+35枚；则有7y2x+357y+7当5y+35=3x时，x=2y+11+(y是除以3余2的整数)，有7(x-7)2x+357(x-7)+7，解得14y，y=15，无满足条件的整数解；当5y+35=3x+1时，x=2y+11+ (y是除以3余1的整数)，有7y2()+357y+7，解得y，y=14或15，无满足条件的整数解；当5y+35=3x+2时，x=2y+11- (y是被3整除的整数)，有7y2()+357y+7，解得y，y=14或15，其中y=15满足条件；代入得x=36黑子有5y+35=110枚；白子有：2x+35=107枚初三 第 5 页 共 5 页
